и вещественная часть спектральной плотности
|
+ |
0 0 |
Re{F(ja)} |
= |
$ f (t) cos at dt = 0. |
|
— |
CO |
При этом модуль спектральной плотности
|
-f-co |
со |
|
\FU<Ù)\= |
$ |
/ (/) sin со/Л = 2 \f (t) sin <ùt dt. |
(12.16a) |
|
— оо |
0 |
|
Перейдем теперь к обратному преобразованию Фурье. Предва рительно спектральную плотность запишем в показательной форме:
F(/(o) = |F(/û))|e-/ *.
Формулу (12.12) обратного преобразования Фурье представим в три гонометрической форме:
-f-oo
f® = -k |
l \F(M\éiat-Vd<* |
= |
— оо |
|
- f CO |
- f - oo |
|
J2it_ jj IF (/со) |cos (at |
— гр) dû) + /2-L ^ |
I F (/со) I sin (со/— гр) dco. |
Согласно выражениям (12.14) и (12.15) аргумент спектральной плотности гр есть нечетная функция со. Модуль спектральной плот-
Рис. 12.8
ности есть четная функция со. Поэтому второй интеграл последнего выражения равен нулю. Окончательно
+ |
0 0 |
0 0 |
|
= |
I \f(M\cos((ot-rp)dw |
= ^ J |
\F(M\cos(<0t-ty)d<o. |
— со |
О |
(12.17) |
|
|
|
В качестве расчетной последняя формула обратного преобразо вания Фурье не имеет преимуществ по сравнению с формулой (12.12). Однако она весьма полезна и дает наглядное представление о том, что практически любую функцию времени, встречающуюся при расчете электрических цепей, можно разбить на гармонические составляющие.
§ 12.2. Изображение по Фурье некоторых форм импульсов
1. Спектр прямоугольного импульса. Пусть задан прямоуголь ный импульс, изображенный на рис. 12.4, г, и требуется определить его спектральную плотность. Высота импульса Е и длительность его х. Начало отсчета времени выбрано таким, что импульс ока зался симметричным относительно оси ординат подобно тому, как это имеет место на рис. 12.3. Аналитическое выражение импульса можно представить в такой форме:
|
о |
t < - } , |
/( 0 = |
Е при |
— у < / < + — |
|
|
0 |
t > \ |
Для разложения импульса можно воспользоваться формулой (12.16) вместо общей формулы (12.11):
F(j<ù)= § f (t) cos at dt = 2Е ^ cos at dt = ~ sin Y . (12.18)
Выскажем некоторые соображения по поводу результатов раз ложения прямоугольного импульса. Предварительно определим значения со, при которых амплитуды гармонических составляющих
|
|
|
|
|
2л |
4я |
импульса |
равны нулю. Эти |
частоты |
равны: соі= — , и>2 |
==••—, |
CÜ3 = - ^ |
... и т. д. (см. рис. |
12.5 и 12.7). |
Полосы частот |
между |
соседними нулевыми значениями амплитуд равны |
|
|
с о л + 1 - с о л = |
2 ( я + 1 ) я |
2пл |
2л |
|
|
|
- |
— = Т ' |
|
Следовательно, с уменьшением длительности импульсов расши ряется полоса частот между соседними нулевыми значениями ам плитуд гармонических составляющих.
Для передачи импульса от генератора к приемнику с помощью электрической системы передачи эта система должна обладать опре деленной полосой пропускания равной или большей ширины спект ра. Под шириной спектра в инженерном смысле понимают огра
ниченный спектр, т. е. полосу частот, необходимую для передачи |
импульса с допустимыми искажениями. В ряде случаев достаточная |
полоса частот равна частотам спектра между со = |
0 и тем значением |
со, при котором амплитуда спектра впервые равна |
нулю. |
При прямоугольном импульсе |
ширина спектра, определенная |
2л |
1 |
подобным образом, ©х = — или |
fx = —. Во всяком случае необхо- |
димая полоса частот обратно пропорциональна времени существова ния импульса. Чем короче импульс, тем больше необходимая для передачи полоса частот. Это положение справедливо и для любой формы импульса.
На основании формулы (12.18) может быть определена спектраль ная плотность импульсной функции. Для этого предположим, что продолжительность прямоуголь
ного |
импульса т стремится к |
О) |
fft) |
нулю, |
а произведение Ех числен |
|
|
но равно единице при любом значении т. Тогда
г, |
,. |
. |
2Е . ют |
2 |
(ОТ |
Г |
(/СО) |
= — Sin -н- = |
|
Sin -TT-. |
|
u |
' |
(ü |
2 |
сот |
2 |
При |
X ->• О F (/со) -> |
1. |
|
При |
уменьшении |
длительно |
сти |
|
импульса |
будет |
увеличи |
ваться |
расстояние между нача |
лом |
|
координат |
и |
значением |
2л•, при котором спектраль-
|
f,(t) |
|
|
|
0,5 |
0 |
6 |
t |
|
fz(t) |
|
|
|
0,5 |
-0,5 |
0 |
t |
ная |
плотность |
впервые прохо |
Рис. 12.9 |
дит |
через |
нуль |
(см. рис. 12.5, г). |
При |
т = |
0 это |
расстояние ста |
|
нет равным бесконечности. Огибающая спектральной плотности превратится в прямую, параллельную оси абсцисс, поднятую над осью абсцисс на высоту, в относительных единицах, равную еди нице. Это означает, что импульсная функция содержит все гармо нические составляющие с частотами от — оо до + оо и амплитуды этих составляющих одинаковы.
2. Спектр единичной функции (единичного скачка). Сложность определения спектра единичной функции / (/) = 1 (/) объясняется тем, что непосредственная подстановка 1 (/) в выражение прямого преобразования Фурье не приводит к разложению на гармонические
со
составляющие, так как интеграл § 1 (г) e~faf dt не сходится в беско-
о
нечных пределах. Поэтому для разложения 1 (/) на постоянную и гармонические составляющие воспользуемся искусственным при емом.
Изобразим единичную функцию 1 (t) (рис. 12.9, а) в виде суммы слагаемых:
і (О = Ы ' ) + / « ( ' ) •
Первое слагаемое fx (t) (рис. 12.9, б) представляет собой вели чину, равную 1/2 при всех значениях / от — оо до + оо. Иными сло вами, спектр fx (/) содержит только постоянную составляющую, рав ную 1/2.
Второе слагаемое единичной функции /2 (0. изображенное на рис. 12.9, в, можно рассматривать как последовательность пря моугольных импульсов, изображенных в первой строке табл. 8.1. Предположим, что продолжительность периода повторения импуль сов увеличивается и Т -> оо. Спектр функции при этом из линейча того превратится в сплошной. Разность между соседними (нечетными) частотами Асо = 2со0. При Т -> оо она будет уменьшаться, т. е. А со ->• dco. Линейчатый спектр с дискретными частотами ßco0 пре вратится в сплошной спектр с текущей частотой со. Тогда
, |
1 |
ш0 |
|
Асо |
и в |
1 |
da> |
/гсо0 = со, |
т |
= ^ |
= Г щ |
пределе т |
= ш . |
Предел суммы (см. табл. 8.1) |
превратится в |
интеграл |
М О = |
|
со |
|
s i n A w |
= со |
d(ö |
Hm |
2^ |
|
|
°' -H^ - |
|
|
k = l |
|
|
|
о |
|
Этот интеграл называется интегралом Дирихле. Значения ин теграла Дирихле зависят от величины t:
|
|
1_ |
при |
t^>0, |
sin at |
, |
2 |
|
|
|
|
|
±5 |
асо = |
0 |
при |
/ = 0, |
|
і |
1 |
при |
/ < 0 . |
|
2 |
|
|
Таким образом, разложение единичной функции на составляю щие приводит к выражению
со
о
Выражение (12.19) можно переписать иначе:
со
О
Сравнение последнего интеграла с выражением (12.17) позволяет сделать следующее заключение:
|/Ч/со)| = і и. г|> = | .
Следовательно, спектр единичной функции, кроме постоянной составляющей, содержит синусоиды, амплитуды которых убывают с ростом частоты, а начальные фазы их постоянны. В комплексной форме спектральная плотность единичной функции может быть выра жена следующим образом:
* / , ч |
|
со |
|
|
|
Ч- со |
|
1 , 1 |
f e^ - e - ' f f l f |
, |
1 |
. 1 I* е ' и / |
, |
П 0 = |
2 + й } |
2/со |
d a |
= -2 |
+ 2 д |
) l^da- |
