3. Спектр отрезка синусоиды. Пусть отрезок синусоиды содер жит целое число периодов, симметрично расположенных относи тельно начала координат (рис. 12.10). Согласно рисунку / (t) =
= Е sin со0 t при значениях t, лежащих в пределах от t — — ~Т.
до t = + ~ T, k — целое число периодов, укладывающихся в отрезке
Рис. 12.10
(на рис. & = 4). Спектральную плотность функции ищем с помощью выражения (12.16а):
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1F (/to) |
I = |
2Е § |
sin щі sin at dt = |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
E |
^ [cos (co0 |
— to) t — cos (co0 |
+ |
<*>) t] dt = |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E sin |
° |
|
kT• |
+ Ш sm |
Mo + Cü kT. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш0 |
|
|
|
После ряда |
простых |
преобразований с |
учетом того, |
что |
k — |
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
целое число и потому sin со0 -у = sin nk = 0, |
выражение |
модуля |
спектральной плотности отрезка |
синусоиды приведем к виду |
|
|
|
\Р(І«>)\ = |
¥ |
|
1 |
sin — kn |
|
|
|
|
1-1-5- |
|
|
|
|
|
C ù 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,ш0 |
|
|
|
|
|
Изображение |
спектральной |
плотности, |
|
построенной |
по |
этой |
формуле в форме одной кривой, дано на рис. 12.11. При —k, рав-
ном целому числу, амплитуда гармонической составляющей равна нулю. При со = «о амплитуда гармонической составляющей мак симальна. Полосы частот между значениями со, при которых F (/со)
обращается в нуль, равны "~ • Отсюда следует, что с увеличением
длительности импульса, т. е. с увеличением числа периодов импульса k, график кривой спектральной плотности сжимается.
Приведенные примеры прямого преобразования Фурье знакомят с техникой определения спектральной плотности непериодических
\\F(J(I))\ |
|
\\F(id))\ |
функций |
времени. |
Спект- |
|
ральные |
плотности некото |
|
|
|
рых |
импульсов |
приведены |
|
|
|
в табл. 12.1. Однако обыч |
|
|
|
но определение |
спектраль |
|
|
|
ной |
плотности ряда |
функ |
|
|
|
ций |
времени |
проще произ |
|
|
|
водить с |
помощью |
таблиц |
|
|
|
изображений |
по |
Лапласу, |
|
|
|
заменяя в последних р на |
|
Рис. |
12.11 |
/со. При |
отсутствии |
в таб |
|
|
|
лице искомого изображения |
существенную помощь в его отыскании может |
оказать исполь |
зование |
свойств |
преобразований Фурье. |
|
|
|
|
|
§ |
12.3. Некоторые свойства |
преобразований |
Фурье |
|
Рассматриваемые далее свойства преобразований Фурье часто позволяют наиболее просто по заданной непериодической функции времени / (t) находить ее спектральную плотность F (/со) или по заданной спектральной плотности F (/со) находить оригинал, т. е. функцию f (t).
Доказательства справедливости ряда рассмотренных свойств преобразований Фурье не проводятся ввиду того, что аналогичными свойствами обладают и преобразования Лапласа. Эти доказательства можно использовать при рассмотрении свойств преобразований Фурье, заменив р на /со во всех соотношениях. Отметим еще раз, что сказанное справедливо в том случае, если рассматриваемые функции вообще допускают преобразования Фурье.
1. Изменение масштаба функции. Если / (/) имеет своим изобра жением F (/со), то af (t) будет иметь своим изображением aF (/со). Математическое выражение этого свойства просто записать, обо значив связь между оригиналом и изображением по Фурье подобно тому, как это делалось в операторном исчислении с помощью знака равенства с двумя точками.
Если f (t) = F (/со), то af (t) == aF (/со).
2. Свойство линейности. При преобразованиях Фурье вслед ствие их линейности может быть использован принцип наложения, в силу которого изображение суммы функций равно сумме изобра жений этих функций. Если
Ы 0 # ^ ( / « ) и М О т ^ О ' ю ) . то /і(0 + М 0 # Л ( / с о ) + Г2(/с<>).
Иными словами, спектральная плотность суммы двух функций равна алгебраической сумме спектральных плотностей каждой из функций в отдельности.
П р о д о л ж е н и е табл . 12.1
3.Теорема подобия. Пусть задана функция времени и известна
ееспектральная плотность / (/) ф F (/со). Спектральная плотность новой функции времени / (kt), где к — постоянная, определится выражением
Следовательно, увеличение продолжительности преобразуемого импульса, как уже отмечалось, вызывает сжатие его спектральной характеристики и уменьшение амплитуд гармонических составля ющих спектра. Это равенство подтверждает ранее обнаруженное
\F(jCO)\
-Сг) |
~й)0 |
|
О |
|
+О0 |
Ù) |
|
|
|
Рис. |
12.12 |
|
|
|
|
свойство — при передаче сигналов в форме |
отдельных |
импульсоз |
ширина полосы пропускания должна быть тем больше, |
чем короче |
передаваемые |
импульсы. |
Если / (t) ф |
F (/со), то |
f (t ± |
t0) Ф |
4. Теорема |
запаздывания. |
Ф F (jw) е±і<0'°. |
Согласно этой |
теореме |
запаздывание функции на |
время т0 вызывает смещение |
фазового |
спектра функции на |
угол |
сот0, но амплитудный спектр |
не |
изменяется. |
|
|
С помощью теоремы запаздывания может быть найдена спектраль ная плотность - последовательности одинаковых импульсов, если известна спектральная плотность одного импульса. Спектральная плотность последовательности из двух одинаковых импульсов при запаздывании второго импульса на т0 на основании теоремы линей ности определяется в виде суммы:
F2 (/со) = F (/со) + F (/со) е - ' т \
Спектральная плотность последовательности из п одинаковых импульсов, следующих друг за другом с периодом т0 :
Fn (/со) = F (/со) + F (/со) е - ' м т ° + F (/со) e-'2 f f l T ° + ...
. . . - f J F(/ co ) e - / ( " - 1 ) u , T « .
Сумму членов ряда можно преобразовать с помощью формулы
суммы |
членов |
геометрической прогрессии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
WOT,, |
— і(п~ |
1)ит0 |
|
|
|
|
S = |
F(jw) |
= |
F (ja)- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 _ е /<ит 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Теорема |
смещения. |
Если |
/ (0 = |
F (/<•>), |
то |
f(t)e±i°>°( |
= |
= F (/со =р /со0). Иными |
словами, смещение |
спектра |
функции |
на |
|
|
|
|
±со 0 , |
т. е. |
изменение |
угловых |
|
|
|
|
частот |
всех |
гармонических |
со |
F(jù)).-f(t) |
|
|
ставляющих |
на |
величину |
± с о 0 ) |
|
|
связано с |
умножением |
выраже |
|
|
|
|
|
|
|
|
ния импульса на оператор е '- |
|
|
|
|
|
На рис. 12.12, а изображена спек |
|
|
|
|
тральная |
плотность |
некоторой |
|
|
|
|
функции f (t), а на рис. 12.12, |
б— |
|
|
|
|
спектральные |
плотности |
функ |
|
|
|
|
ций / (/) е - |
|
и / (0 е+''">•*. |
|
|
Рис. |
12.15 |
|
На основании свойства смеще |
|
|
|
|
ния спектра функции можно най |
ти спектры отрезков синусоид и косинусоид по известным спектрам огибающих этих гармонических функций. Так, например, зная спектральную плотность прямоугольного импульса (см. рис. 12,5, г),
\І\У(ѵ+а0)\ {\FJ(0)-ù)o)
можно найти спектральную плотность отрезка косинусоиды. Дей ствительно, пусть задана функция / (t) cos со0 t и известно, что спектральная плотность / (f) = F (/со). Преобразуем заданную функ цию, записав cos со0 / в показательной форме:
/ (0 cos со„/ = 1 f (t) ем + ! / ( / ) е - /«•'.
Согласно предыдущему спектральная плотность заданной функ ции будет иметь вид
f (t) cos щіф 1 F (/со - /со0) + 1 F (/со + /со0). |
(12.21) |
