Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

Подставив эти выражения в ряд Фурье (12.1), получим (12.2):

Удобно ввести отрицательные значения порядковых номеров коэффициентов ряда. Согласно (8.3) и (8.4) при изменении знака k

a„k = —ak, b_k = —bk.

Кроме того, при k = О коэффициенты ак= а0 и bk = 0. Поэтому

Комплексные амплитуды N[k отличаются от комплексных ампли­ туд гармонических составляющих ряда Фурье только начальными фазами. Подставив (12.4) в выражение (12.3), получим

0 0

Согласно (8.3) и (8.4) комплексная амплитуда

^2

341

По причине, которая станет ясной после получения конечного результата производимых преобразований, заменим обозначение те­ кущего времени t в формуле (12.6) буквой х, пользуясь тем, что оп­ ределенный интеграл не зависит от обозначения переменной. При новом обозначении

k — — со

Величина k в (12.5) и (12.7) принимает все положительные и отри­ цательные целочисленные значения, включая и k = 0. Напомним, что k означает номер гармонической составляющей, a k а>0 — угло­ вую частоту этой составляющей. Так как &со0 может быть и положи­ тельно и отрицательно, возникает представление о положительных и отрицательных частотах. Отрицательные частоты удобны при ма­

ность амплитуд гармонических составляющих этой функции. На­ чальные фазы гармонических составляющих образуют фазовый спектр функции. Спектр функции может быть выражен аналити­ чески, а также изображен в виде графика, связывающего амплитуды

счастотами гармонических составляющих разлагаемой функции. Исследование спектра периодической последовательности им­

пульсов и выяснение закономерностей общего характера произве­ дем путем обобщения результатов анализа разложения бесконеч­ ной последовательности прямоугольных импульсов, изображенной на рис. 12.3. Этот путь исследования позволит нам на частном при­ мере разложения установить связь между спектром периодической последовательности импульсов и спектром одиночного импульса этой последовательности.

342

Выберем начало координат в середине импульса, как показано на рис. 12.3. Тогда согласно (8.3) и (8.4)

Изобразим постоянную составляющую и амплитуды гармониче­ ских составляющих на графике в некотором масштабе в виде вер­ тикальных прямых, проведенных из точек, соответствующих угло­ вым частотам со = 0, о> = соа, со = 2соа, со = Зсоа и т. д., отложен­ ным в масштабе угловой частоты со вдоль оси абсцисс.

Рис. 12.5, а изображает спектр периодической последовательно­ сти прямоугольных импульсов рис. 12.4, а. В данном случае спектр содержит дискретные частоты. Такой спектр называется линейча­ тым, или дискретным. Ясно, что всякая периодическая функция времени, в частности всякий периодический ряд импульсов, имеет линейчатый спектр, что соответствует разложению в ряд Фурье.

Условимся в дальнейшем при изображении спектров в виде ор­ динат откладывать не сами амплитуды гармонических составляю­ щих, а их относительные значения, определяемые как отношения амплитуд соответствующих составляющих к постоянной составляю­ щей разложения или к амплитуде первой гармонической, если постоянная составляющая отсутствует.

При периодической последовательности прямоугольных импуль­ сов согласно принятому выше условию в качестве ординат спектра на рис. 12.5, а—-г отложены единица и коэффициенты при всех слагаемых, заключенных в квадратные скобки в выражении (12.8 а)

343

5) *o

Изображение относительных значений амплитуд гармонических составляющих позволяет сохранить масштаб по оси ординат оди­ наковым для всех изменений периода повторения импульсов.

На рис. 12.5, а—г индексы угловых частот to гармонических составляющих совпадают с индексами у обозначений периодов сле­ дования импульсов на рис. 12. 4, а—г. Относительные значения амплитуд являются важной характеристикой спектра. Это объяс­ няется тем, что для выяснения влияния электрической цепи на

ном начале разложения представляет собой кривую, симметричную относительно начала координат, ряд Фурье содержит только сину­ соидальные функции, и начальные фазы синусоидальных составляю­ щих могут быть равны 0 или я . Если последовательность импульсов при соответствующем выборе начала координат окажется симметрич­ ной относительно оси ординат, в ряде Фурье сохранятся только косинусоидальные функции и начальные фазы составляющих будут

Рис. 12.7

равны я/2 или —я/2. Вообще же начальные фазы гармонических составляющих могут иметь любые значения от —я до я . Спектр начальных фаз рассматриваемой последовательности прямоуголь­ ных импульсов (см. рис. 12.4, а) изображен на рис. 12.6. Значения ординат равны ± я / 2 .

Спектр может быть изображен иначе, чем на рис. 12.5, в соот­ ветствии с введенными отрицательными частотами гармонических составляющих. Например, в равенстве (12.8 a) cos &со0/ можно за­ менить на ~ cos k(û0t - f -g- cos (— k(ù0t). При этом ширина спектра

удваивается и изображение спектра становится симметричным от­ носительно оси ординат. Изображение спектра с отрицательными частотами дано на рис. 12.7. Амплитуда каждой гармонической со-

345