Из уравнений (12.27) и (12. 28) определяются kx и k%
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
! |
|
|
kX |
= |
|
2U |
|
|
|
2Ue |
_аТ |
|
|
|
_ о Г \ > |
^ 2 — |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r l l + e |
2 J |
|
Д і + е |
2 |
|
Подставляя |
эти значения |
в |
(12.26), |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
2е |
а / |
|
|
г |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
І 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + е |
|
|
|
1 + е |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, задача решена.
Теперь покажем, как она решается методом гармонического синтеза. Комплексную амплитуду напряжения находим согласно (12.6):
(Т_
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ukm |
= Y J J е _ / * И о ' Л - J е - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
четных |
значений |
|
& комплексная |
амплитуда |
равна |
нулю, |
для нечетных значений |
k, |
которые |
обозначим |
через |
q = |
1, 3, 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AU |
|
|
|
|
|
|
|
|
Комплексная |
амплитуда |
тока |
щ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АѴ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 nq(r |
|
+ |
|
jqcù0L) |
nu>0Lql |
|
— |
+jq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ток |
в цепи |
согласно |
|
(12.5) выражается |
|
в |
виде |
ряда |
Фурье: |
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
2(7 |
|
|
v i |
|
е'А и »г |
|
|
. |
„ |
|
_ |
|
|
|
1 |
= - І Ш І |
|
L |
|
(а |
. \ 1 |
« 7 = 1 . 3 ' |
5 - |
|
|
|
|
|
|
|
« = - " ' v a » |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно |
п.10 табл. 12.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Іл = |
2(7ясо0 |
1 - |
( 1 + |
th |
|
е" а Г |
|
l - |
( |
l |
+ |
t h f ) |
e - ^ ] , |
|
nco0La |
|
|
|
|
2m, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(/ясо01 |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
] - |
|
|
|
»2 = |
TOü0La[ |
|
|
|
1+ Ш ^ ) е ~ ^ ( 0 |
) |
0 ' - Я ) |
|
|
=^ [ l _ ( , + t h ^ ) e - a ( ' - ^ .
Что совпадает с предыдущим решением классическим методом анализа переходных процессов, так как
1 + t h ? - |
|
2 |
|
аТ |
|
|
|
І + е |
2" |
|
|
§ 12.6. Распределение энергии в спектре импульса
При определении ширины полосы пропускания системы пере дачи импульсов границы полосы устанавливаются в зависимости от требований, предъявляемых к системе передачи. Эти требования могут заключаться в передаче сигналов с минимальными искажения ми формы импульса или только его фронта или же в сохранении определенной доли энергии генерируемых импульсов.
Энергия, выделяемая импульсом тока в приемнике, согласно закону Джоуля—Ленца пропорциональна квадрату тока или напря жения, создаваемого импульсом на приемнике:
- f c o |
-f-oo |
W= $ ï « r d / = |
$ u2gdt. |
— оо |
— с о |
Если считать, что сопротивление или проводимость равны еди нице, что не снижает общности вывода, то выражению энергии им пульса можно придать вид
- f оо
W= $ f2(t)dt.
— со
Воспользовавшись обратным преобразованием Фурье (12.12), напишем
- f c o - f c o - f c o - f c o
§ /»(/)# |
= ^f(t)f(t)dt |
= ± $ f(t)dt |
5 |
Fd^e^da. |
— CO |
— C O |
— C O |
— C O |
|
Так как время и частота — независимые друг от друга пере менные, порядок интегрирования можно изменить:
-\ • со + со -(-со
5 t'(t)dt = ± |
§ |
F (ja) da J f(t)e>"'dt. |
(12.29) |
— со |
— со |
—со |
|
Интеграл § f(t)erm'dt |
есть |
комплексная функция |
частоты, |
— со
записанная согласно формуле (12.15) в виде
F(/co) = Re{F(/co)}+/Im{F(/cù)}.
-fco
Интеграл \ f(t) е/аІ Лесть также комплексная функция частоты.
—0 0
Отличается эта функция от выражения (12.11) знаком мнимой, нечетной относительно со части комплексной функции.
Запишем |
это |
комплексное выражение, сопряженное с комплекс |
ным F ( / С |
О ) |
в виде |
F ( - /со) = Re {F (/со)} - / Im {F (/со)}.
Произведение комплексной величины на сопряженную с ней комплексную величину равно квадрату модуля этой величины:
|
FU<Ù)F{-J<Ù) |
= \F(J(Ù) |
|
Поэтому |
|
|
|
|
с о |
|
с о |
с о |
|
\p(t)dt |
= |
^ \ \F (/со) |
dco = 1 jj j F (/со) |* dco. |
(12.30) |
— со |
|
— с о |
О |
|
Равенство (12.30) |
называется |
равенством Парсеваля |
(иногда |
его называют теоремой Релея).
Из равенства Парсеваля следует, что энергия импульса может быть определена в том случае, если импульс задан в форме функции времени / (t), и в том случае, если известен только амплитудный спектр импульса. Энергия импульса, заключенная между частотами щ и со2, может быть подсчитана как величина, пропорциональная
\ I F (/со) I2 dû),
«i
Согласно сказанному ток, возникший в момент tv в сопротивлении г и закончившийся в момент 4> выделит в этом сопротивлении энергию, равную
і г со
\ |
Prdt |
= ^ J I F (/со) I* r dû>, |
ti |
|
о |
^ |
где I F (/со) I — модуль спектральной |
плотности импульса тока, |
продолжавшегося от іх |
до t2. |
Посмотрим, какую полосу частот необ |
ходимо передать, чтобы сохранить значительную часть энергии одиночного прямоугольного импульса напряжения U длитель ностью т. В сопротивлении г выделится энергия
№0 = -т( У 2 т
в том случае, если импульс будут передан без искажений, иначе говоря, если будет передана вся бесконечная полоса частот спектра импульса. Если же электрическая цепь будет передавать лишь полосу частот от нуля до сог р , то согласно (12.30) в сопротивлении г выделится энергия
W = ± |
J |
|
\F(j<ù)\*dv>. |
|
о |
|
|
Подставляя значение F (/со) из (12.18), получаем |
|
СП |
. о СОТ |
|
Г |
Р |
sin* |
W = |
\ |
|
— у - d û ) . |
КГ |
J |
|
CÜ2 |
|
Интеграл |
вычисляется |
по частям: |
|
|
|
|
|
|
fP |
Sill 2 |
2 |
|
(ОТ |
C)l |
X |
|
|
|
|
|
û) |
. |
„ |
ШС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
da : |
|
rp |
sin (ОТ |
du): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SicûrpT — |
|
|
|
-тр |
|
|
|
|
|
|
где |
интегральный синус. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2U2T |
I |
1—cos со,. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W = — — ( Si cor p T |
— - |
|
|
|
|
|
|
При сог р , стремящейся к бесконечности, интегральный синус |
стремится к я / 2 , второй член в скобках — к нулю |
и W к W0, как |
это |
и должно |
быть. При сог р —— |
интегральный |
синус |
равен |
1,85 |
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
и W = 0,77№0 , |
а |
при согр = 2я% |
интегральный |
синус |
имеет зна- |
чение 1,42 и |
|
= |
0,9№„. Таким образом, если граничную частоту |
/ г р |
взять равной |
величине |
обратной длительности |
импульса |
г или |
|
2я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= — (см. рис. 12.5, 12.7 и § 12.2), то сохранится 90% энергии |
импульса, что при передаче сигналов можно считать вполне удов летворительным.
§ 12.7. Прохождение импульса через электрическую цепь
1. Скачок напряжения. На основании простых соображений, высказанных в § 12.4, можно утверждать, что неискаженная пере дача электрического импульса со входа электрической системы на
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ее выход возможна только в том случае, если модуль |
коэффициента |
передачи |
системы | Т (/со) | не зависит |
\г(М\ |
|
от со в пределах диапазона |
передавае |
|
мых частот, |
а аргумент |
передаточной |
|
|
функции |
пропорционален |
со. В реаль |
|
|
ных системах передачи |
электрических |
|
|
сигналов |
неизбежны |
искажения вы |
|
|
ходного сигнала |
по сравнению с вход |
|
|
ным. Эти |
искажения |
будут тем боль |
|
|
ше, |
чем |
шире |
необходимая |
полоса |
|
|
пропускания |
системы и чем меньшим |
|
|
постоянством обладает Т (/со). |
^ |
|
|
Предположим, что системой |
пере |
Рис. |
12.20 |
дачи |
сигналов |
является |
электриче |
|
|
ская |
цепь, |
коэффициент |
передачи |
которой при |
некоторой на |
грузке изображен на рис. 12.20. Такой коэффициент передачи имеет четырехполюсник, представляющий собой идеальный фильтр
