Файл: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf

на входе фильтра. Проведенное исследование представляет и боль­ шой практический интерес несмотря на то, что объектом исследо­ вания был идеализированный фильтр.

решения той же задачи. Временные методы определения напряжения м2 (0 на выходе требуют знания переходной h (t) или импульсной g (t) характеристик цепи. Для решения задачи спектральным мето­ дом необходима передаточная функция цепи Т (/со). Сравнение выра­ жений одного и того же напряжения и2 (t), найденного различными методами, позволит определить связь между частотной Т (/со) и вре­ менными h (t) и g (t) характеристиками цепи.

1. Связь между h(t) и Т (/со). Предположим, что к входным зажимам линейной системы передачи электрических сигналов при­ ложено напряжение в виде единичной функции их (/) = 1 (/). Тогда напряжение на выходе, определенное временным методом, совпадает

где T (0) — напряжение на выходе системы, создаваемое постоянной составляющей единичного скачка. Связь между h (t) и Т (/со) выра­ жается формулой (12.31) и знание одной из этих характеристик позволяет найти другую.

2. Связь между вещественной и мнимой составляющими частот­

ной характеристики цепи. Выражение связи между h{t)uT (/со) может быть упрощено, потому что между вещественной и мнимой частями Т (/со) существует определенное соотношение и для определения Т (/со) достаточно найти значение только вещественной Re {Т (/со)} или только мнимой Im {Т (/со)} ее части.

Для отыскания соотношения между Re {Т (/со)} и Im {Т (/со)} перепишем комплексное выражение Т (/со) в виде:

Т (/со) = 1Т (/со) 1 cos а — Л Т (/со-) | sin а = m + jn.

376

При значениях / < 0 переходная функция h (/) = 0, так как напряжение на вход системы поступает только при / ^ 0. Следо­ вательно, при / < 0

Складывая и вычитая соответственно правые и левые части

Соотношение между m = Re {Т (/со)} и п = Im {Т (/со)} будет проще, если взять производные по времени от обеих частей послед­ него равенства:

со оо

оо

Последнее выражение убеждает в том, что вещественную и мни­ мую части передаточной функции Т (/со) одновременно нельзя выби­ рать произвольно. Иначе говоря, нельзя выбирать произвольно амплитудно-частотную и фазочастотные характеристики. Это свя­ занные между собой функции частоты.

функцией системы предположим, что на вход системы с передаточной функцией Т (/со) = I Т (/со) | е~/ а приложено напряжение в виде импульсной функции.

Если на вход системы воздействует импульс напряжения в виде импульсной функции, то выходной сигнал будет представлять собой импульсную характеристику. Этот выходной сигнал определим спек­ тральным методом с помощью обратного преобразования Фурье,

377

Г л а в а т р и н а д ц а т а я ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

§ 13.1 Понятие о цепях с распределенными параметрами

В предыдущих главах рассматривались электрические цепи (системы) с сосредоточенными параметрами, т. е. предполагалось, что емкости сосредоточены в конденсаторах, индуктивности —

вкатушках, активные сопротивления также локализованы в виде отдельных элементов — резисторов. При таком представлении электрической цепи считают, что ток, входящий в любой ее элемент, равен току, выходящему из того же элемента; что во всех точках любой ветви цепи ток имеет одну и ту же величину и фазу; что паде­ ние напряжения вдоль любого соединительного проводника равно нулю. Электрическое и магнитное поля считаются сосредоточенными

вконденсаторах и катушках соответственно, причем не учитываются

э.д. с. самоиндукции, возникающие во всей системе под влиянием переменного магнитного поля, пересекающего соединительные про­ вода; токи смещения между отдельными проводниками и между витками катушек; токи проводимости (утечки) между проводниками цепи и пластинами конденсаторов, обусловленные несовершенством разделяющих их диэлектриков.

Подобное представление электрической цепи допустимо лишь при определенных условиях. Строго говоря, систем с сосредоточен­ ными параметрами не существует.

Действительно, даже в простой последовательной цепи, состо­ ящей из г, L и С, которую считаем системой с сосредоточенными параметрами, активное сопротивление обычно является суммой активных сопротивлений нагрузки, соединительных проводов, катушки и внутреннего сопротивления генератора. Индуктивность цепи — это не только индуктивность включенной в нее катушки. Она обусловлена переменным магнитным полем, создаваемым всей системой при протекании по ней тока. Емкость цепи — это не только емкость включенного в нее конденсатора. Она обусловлена перемен­ ным электрическим полем, создаваемым всей системой при движе­ нии изменяющихся во времени зарядов. Таким образом, в любой цепи индуктивность, емкость, активное сопротивление и проводи­ мость изоляции не сосредоточены, а распределены по всей цепи. Возникает вопрос о тех условиях, при которых представление цепи как системы с сосредоточенными параметрами может считаться практически правильным и не приводит к недоразумениям.

379

и напряжения в различных ее точках. Скорость ѵ распространения электромагнитных возмущений конечна и примерно равна скорости света. Поэтому воздействие генератора на цепь проявляется в дан­ ной точке цепи не мгновенно, а с запаздыванием на время, завися­ щее от длины пути тока между генератором и этой точкой. Указан­ ную длину пути тока будем условно называть «расстоянием» между генератором и данной точкой и обозначать буквой х. Максимальное для данной цепи расстояние назовем «длиной» цепи. Пусть, напри­ мер, некоторое изменение тока (напряжения) возникло в момент времени t в точке, находящейся на расстоянии х от генератора. Это значит, что в начале цепи, где х = 0 и где включен генератор, соот­

промежутку времени t — t', по истечении которого изменение э. д. с. вызвало изменение тока в точке х. Если длина цепи равна /, то мак-

симальное запаздывание равно - .

Предположим, что включенная э. д. с. является периодической функцией времени с периодом Т. Тогда в цепях достаточной длины за время одного периода Т электромагнитное возмущение проходит

расстояние, равное длине волны X = vT = j - , где / — частота

генератора. Если бы цепь имела длину, равную X, то пока данное мгновенное значение э. д. с. вызвало бы соответствующие изме­ нения тока и напряжения в ее конце, в начале цепи произошло бы изменение э. д. с. на целый период, т. е. максимальное запазды­ вание было бы равно Т. В других точках, расположенных ближе к генератору, оно было бы меньше Т. Таким образом, ток и напря­ жение в любой точке системы оказались бы функциями не только времени t, но и пространственных координат этой точки. Это явля­ ется типичным для систем с распределенными параметрами, в кото­ рых физические процессы описываются дифференциальными урав­ нениями в частных производных.

При достаточно малой длине цепи по сравнению с К можно считать, что запаздывание равно нулю и во всех точках мгновенно изменя­ ются токи и напряжения под влиянием изменения э. д. с. В данном случае токи и напряжения являются функциями только одной пере­ менной — времени t, поэтому физические процессы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, что типично для систем с сосредоточенными параметрами.

Из изложенного следует, что для решения вопроса о том, считать данную цепь системой с сосредоточенными или распределенными

380