6 = |
1/2 |
|
• амплитуда |
падающей волны в |
конце ли |
|
1/2 U1 |
^2^В |
нии; |
|
|
|
|
с = |
амплитуда- |
отраженной |
волны |
в |
конце |
|
|
|
линии; |
|
|
|
|
d = ] / 2 |
|
-а/ |
• амплитуда |
отраженной |
волны |
в |
начале |
линии; Величина у определяет изменение как амплитуды, так и фазы
падающей и отраженной волн на единицу длины линии.
В гиперболических функциях напряжение и ток выражаются общими формулами (13.12):
Ü = Ü2chyy + !2ZBshyy, |
/ = / a c h W + -^shYJ/. (15.3) |
Входное сопротивление в произвольном сечении линии
2 = ^ = Z ^ c h ѴУ + 4^в sh yy
ІB i2ZB ch yy + Ù2sh yy
Учитывая равенство 0$ = I2Z2, окончательно имеем
Z = Z B ! * c h h T y + ^ s , h w . |
(15.4) |
Как и для линии без потерь, коэффициент отражения от конца линии с потерями определяется отношением напряжения (тока) отраженной волны к напряжению (току) падающей волны в конце линии. В соответствии с этим, полагая х = I и учитывая равенство Ü2 = I2Z2, из (15.2) находим
|
и,2 отр |
'2 отр |
Z, |
Р-2- |
|
(7, |
|
•Z-VZ-- |
|
|
|
'2пад |
'2пад |
^ г т ^ - в |
Модуль и аргумент коэффициента отражения можно полагая ZB = R B + /Х в :
I Pa I V (Ъ + *В)* + (Х*+ХВ)*' |
|
argp2 _arctg|_ |
г * _ ч |
J . |
|
|
|
|
|
|
(15.6) |
В более широком смысле коэффициент отражения |
определяется |
для произвольного сечения линии |
0 |
|
у < ; /: |
|
|
и,отр |
^2 |
|
ZB |
-2уу |
|
|
|
|
|
|
|
U пад |
Z 2 |
+ |
Z B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§15.2. Волновые параметры
1.Волновое сопротивление. Как было показано в § 13.3, общее выражение для волнового сопротивления имеет комплексный ха рактер:
|
7 |
_ |
Л f |
Ro + |
jaLp |
(15.7) |
|
Л |
в - |
| / |
00 + |
/<аС„ |
|
|
Выделяя |
модуль и аргумент, получаем |
|
|
_ |
у Rj + aflL* |
/ ф |
ф ! - ф 3 |
т . _ |
Я Г С І 0 ( |
<»Ц\ |
Z»~V |
G s + ^ q е |
' |
- |
Фі —arctg(.-^— |
|
|
9 2 |
= a r c t g ( - Ç - ) . |
|
(15.8) |
Практически модуль za в кабельных линиях в 5—10 раз меньше, чем в воздушных (см. п. 3 § 14.3). Это объясняется сравнительно большой емкостью кабеля С0 и его меньшей индуктивностью L 0 по сравнению с таковыми для воздушных линий. Аргумент ф обычно отрицателен, т. е. фх < ф2 , в связи с тем, что во всех линиях практи-
0 |
f |
0 10 20 40 80 1В0320тШ256Юіт0^гц |
\Рис. 15.3
чески G0 <^ соС0. Лишь при больших потерях в диэлектрике может оказаться фх > ф2 и ф > 0. На рис. 15.3, а и б приведены кривые примерных зависимостей от частоты величин zB я ц> в широком ди апазоне. Из кривых, как и из формул (15.8), следует
г-(0) = | / Г ^ , |
Ф(0) = 0, гЛ°°) |
= Уъ' |
Ф(°°) = 0. |
(1 5 -9) |
т. е. ZB вещественно |
лишь при со = |
0 и со = |
оо. С ростом |
со = |
= 2л/ величина zB монотонно убывает, ф растет до максимума и за тем убывает по абсолютной величине.
2. |
Коэффициенты затухания и фазы. Коэффициент |
распростра |
нения |
определяется формулой |
(13.5) |
|
|
|
Y = а + /ß = V(Ro |
+ J®Lo) (G0 |
+ /соС0). |
(15.10) |
Очевидно, квадрат модуля |
у |
имеет вид |
|
|
|
а 2 + ß 2 = YiRl |
+ ^Ll) (GJ + |
CD'C*. |
|
Возводя Y в квадрат и приравнивая вещественные части получен ного равенства, имеем
а 2 — ßä = R0G0 — co2L0C0.
Решая совместно два последних уравнения относительно а и ß, находим
(15.11)
Выражения (15.11) являются точными расчетными формулами, справедливыми для линий со сколь угодно значительными потерями. Они показывают, что а и ß зависят как от первичных параметров линии, так и от угловой частоты генератора.
На рис. 15.3, б и г приведены кривые примерных зависимостей а и ß от f в широком диапазоне. Из этих кривых, как и из формул (15.11), следует, что с ростом / величина а монотонно растет и стре мится к пределу — некоторой постоянной величине а (оо). Величина ß неограниченно возрастает от нуля, постепенно переходя в прямую линию, образующую угол ô с осью абсцисс [значения а (оо) и ô определены в § 15.7].
Зависимость а и ß от / при передаче по линии какого-либо сиг нала, спектр которого состоит из колебаний различных частот,
вызывает |
появление искажений |
(см. § |
15.7). |
|
|
|
|
3. Скорость распространения |
и длина |
волны. Фазовая |
скорость |
распространения |
может |
быть |
определена |
в соответствии |
с |
(14.9): |
V = -^-. Подставляя |
значение |
ß и вынося |
в знаменателе |
CÖ2 L0 C0 за |
знак радикала, |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = - |
J |
= - |
|
г . |
|
|
1 |
|
|
_ . |
|
(15.12) |
ѴЦРо |
л/ |
1 |
R0G0 |
|
ЛГ(л |
,_Rl\(, |
, Gl |
\] |
|
|
|
|
|
У |
2|_ |
ш а д , + |
у |
|
|
|
|
|
|
Сравнение |
этого |
выражения |
с выражением |
(14.10) |
показывает, |
что наличие |
потерь |
уменьшает |
фазовую скорость, т. е. ѵ < |
1 |
-.г-г-тт • |
Например, ѵ для кабельных линий может оказаться в 2—2,5 раза
|
|
|
|
|
меньше величины с = 3-108 місек. |
Лишь при очень высоких со |
результаты расчета по (15.12) и |
(14.10) |
практически совпадают. |
На рис. 15.3, д приведены кривые зависимости ѵ от / для различ |
ных типов линий связи: медных и биметаллических |
воздушных ли |
ний (кривая / ) , стальных воздушных (кривая 2), |
телефонных и |
морских телеграфных кабелей (кривая 3) |
и |
симметричных кор- |
дельных кабелей (кривая 4). Из рис. 15.3, д |
видно, что скорость ѵ |
увеличивается с ростом /. При / ^ |
1 кгц скорость ѵ воздушных ли |
ний (кривая /) почти достигает с. В других линиях |
(кривые 2 и 3) |
V значительно ниже и сильно зависит от f; при / « 1,5 кгц фазовая скорость еще примерно вдвое меньше с. Зависимость ѵ от / показывает что колебания различных частот распространяются с различной скоростью; это вызывает фазовые искажения при передаче сигналов (см. § 15.7).
В соответствии с уменьшением ѵ длина волны Хл в линии с поте |
рями всегда меньше длины волны X в воздухе (в линии без потерь): |
|
|
|
%я = Тѵ<і X. |
|
На основании (15.12) коэффициенту |
фазы можно придать смысл |
волнового |
числа: |
|
|
|
|
|
|
|
о |
со |
2л |
2л |
|
|
|
§ 15.3. |
Согласованная линия |
|
Пусть |
линия |
замкнута |
на |
сопротивление, равное |
волновому |
Z2 = ZB , т. е. R2 |
— RB, Х2 |
= Хв. |
Тогда, учитывая,- что |
Ü2 = I2Z2, |
из (15.2) легко получить |
|
|
|
|
|
О = Ü2ea(l-xkfW-x), |
|
/ = |
/ 2 е а ( ' - * > е ^ <'-*>. |
(15.13) |
При х = 0 из (15.13) имеем выражения для напряжения и тока в на
чале |
линии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ut = |
Üt&'e/fii, |
|
îl = / 2 |
e a W |
(15.14) |
С помощью (15.14) можно представить (15.13) в виде |
|
|
|
Ù = иге-^е-Я*, |
|
|
І = /іе-^е-Л5 *. * |
(15.15) |
Так как в данном |
случае |
Ü2 |
= t2ZB, |
|
входное сопротивление |
|
|
7 |
J7 |
U\ |
7 |
|
|
7 |
у |
|
|
|
L , — — — Z/B X — — Z,2 — Z,B , |
|
|
|
|
' |
'1 |
|
|
'2 |
|
|
|
т. e. Z везде постоянно и равно |
волновому |
сопротивлению |
линии. |
Мгновенные значения напряжения и тока |
|
|
и = Ulme-ax |
sin (ait - |
ßx + ^ ) , |
|
i = -^12- |
e~ax sin (at - ßx + |
ifc - <p), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15.16) |
где |
— начальная фаза напряжения # і , |
Ф — аргумент волнового |
сопротивления. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно |
считать, |
что равенства |
(15.16) |
соответствуют |
режиму |
бегущих волн в линии с потерями, но тогда необходимо пересмот реть признаки бегущих волн, указанные в § 14.2. При наличии по терь признаки бегущих волн таковы:
а) амплитуды напряжения и тока в любой точке зависят от ее положения и убывают с расстоянием по одному и тому же закону;
