Файл: Смирнова Н.А. Методы статистической термодинамики в физической химии учеб. пособие.pdf

заданы краями зоны проводимости, можем взять за верхний предел интегрирования бесконечность, поскольку подынтегральная функция быстро убывает с ростом е и вклад очень больших значений энергии в величину интеграла практически нулевой. Можем записать:

В полупроводниках, в отличие от металлов, плотность электронов проводимости NJV при средних температурах мала*. Электронный газ поэтому можно рассматривать как невырожденный. Пренебрегая единицей в знаменателе подынтегрального выражения (VIII.71) и используя формулу (VIII.70), получаем:

Плотность газа, образованного электронами проводимости, опреде­ лится формулой

Распределение для дырок найдем следующим образом. Если Nеі — среднее число электронов в заданном квантовом состоянии, опреде­

квантовом состоянии (при выбранной системе отсчета для электронов

220

энергию «дырки» [см. равенство (VII 1.48)], запишем*:

Nhi = , . (VIII.76)

Учитывая, что для энергетической плотности состояний справедли­ ва зависимость (ѴІІІ.45), определяем среднее число дырок с кинети­ ческой энергией от е' до e' + de':

Если принять, что дырочный газ имеет очень малую плотность и не вырожден, для числа дырок в валентной зоне на единицу объема будет справедливо следующее выражение [аналог формулы (VIII.73) для плотности электронов проводимости]:

пл = Ж = е к Т 2 ^ ± j . (VIII.79)

Определим среднее число электронов и дырок на примесных уров­ нях. Будем полагать, что на каждом уровне может находиться только один электрон или одна дырка. Так как возможны два состояния элек­ трона, отличающиеся по ориентации спина, для данного примесного уровня допустимы следующие три варианта: уровень не занят, уровень занят электроном с положительным спином, уровень занят электроном с отрицательным спином. Энергию электрона на і-м акцепторном уров­ не обозначаем г А£ , на j-м донорном уровне еа — е 0 / . (рис. 31, г). Вначале обсудим вопрос о состоянии электронов на акцепторных уровнях. Будем рассматривать как систему частицу на і-м акцептор­ ном уровне. Электроны с различной ориентацией спина будем счи­ тать частицами разного типа. Пусть Nx и N2, соответственно, числа электронов с положительным и отрицательным спином на данном уров­ не. Возможны следующие значения чисел заполнения:

При этом химический потенциал ц для частиц обоих типов одинаков, одинакова также их энергия еА[ . Систему следует описывать как откры­

221

тистическую сумму:

S i = 2 e ^ = 1 + 2e . (VIII . 80)

Среднее число электронов на і-м акцепторном уровне определим соглас­ но равенству

Аналогичным образом найдем среднее число дырок на донорных

Вероятность того, что донорный уровень Dj свободен (имеется дырка), есть

222

где суммирование проводится по всем донорным уровням. При равен­ стве энергий всех донорных уровней

: Из выражений (VIII.68), (VIII.73), (VIII.79), (VIII.83) и (VIII.87)

норов. Напомним, что при выводе формулы были сделаны определен­ ные допущения: предполагалось, что электроны проводимости и дырки в валентной зоне подчиняются классической статистике (для полу­ проводников при средних температурах это обычно выполняется); всем акцепторным уровням была приписана одна и та же энергия, аналогичное предположение было сделано относительно донорных уровней. Соотношение (VIII.88) является исходным для определения

(VIII . 90)

223