вому графу. Так,
В то же время, если совокупность пар i—j, к—/ , ... , s—t, которые соединены линиями, меняется, это дает новый граф. Различными бу дут, в частности, графы
: / > — ( J
Разложение (XI.25) можно представить теперь следующим образом: величина ZNKOH^, есть сумма всех возможных Л'-частичных графов.
В общем случае TV-частичный граф можно разделить на более прос тые графы, например, записать граф (ХІ.26) как произведение сле дующих сомножителей:
Ь Ѳ |
0 v É [GHD] m ш |
=JJfn |
d%ßrsfd/%fffffsshs f$7 fse dr5 di$dr7 dr8 |
Подразделение графов соответствует разделению переменных под ин тегралом; разделяются координаты частиц, не связанных чертой на соответствующей диаграмме. Путем рассмотрения возможных способов подразделения N-частичных графов на более простые можем упростить выражение для конфигурационного интеграла.
Определим /-группу как /-частичный граф, в котором к каждому кружку подходит по крайней мере одна линия, причем каждый кру жок соединен прямым или косвенным образом со всеми остальными кружками. Например, граф
есть /-группа.
Простейшая /-группа состоит из одной молекулы (1-группа). Моле кула образует 1-группу, если она не связана чертой ни с одной моле кулой на диаграмме для N частиц, т. е. индекс этой молекулы не
встречается ни у одной функции ftj члена, соответствующего данной диаграмме.
Двойная группа состоит из пары связанных между собой кружков, ни один из которых не связан с каким-либо другим кружком УѴ-час- тичного графа. В соответствующем члене разложения индексы і и / молекул двойной группы встречаются только при функции ftj оба вместе, но не встречаются в комбинации с другими индексами (под интегралом нет сомножителей вида fiK, где к Ф /, или fjK, где к Ф і).
Группа из трех молекул i, у и к может быть образована четырьмя способами:
Число /-группы для данного Л^-частичного графа [данного члена раз ложения (ХІ.25)] обозначим через m,. Очевидно, должно выполнять ся условие
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
£ |
Ыі = |
N. |
|
|
(ХІ.27) |
Заданному набору целых неотрицательных чисел \ т,) = |
ти тг, |
mN |
отвечает некоторая |
совокупность графов. |
Сумму |
этих |
графов |
обозначим |
Swim,}. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
ZN конф = |
ИSN |
{щ}, |
|
|
(XI.28) |
|
|
|
|
{ті\ |
|
|
|
|
где суммирование |
проводится |
по всем наборам чисел |
{m,}, удовлет |
воряющим |
условию |
(XI.27). |
|
|
|
|
|
Найдем |
сумму |
S^jm,} всех |
графов |
при |
заданном |
наборе |
Диаграммы, образующие сумму SN{m,}, |
могут отличаться, во-первых, |
способом распределения пронумерованных частиц по группам. На
пример, при N = 4, mt — 1, mz |
= 0, т3 |
= 1 возможны распределе |
ния, указанные в табл. 11. |
|
|
|
|
Т а б л и ц а 11 |
Номер ч а с т ц ы в |
Номера |
частиц в |
1-группэ |
3 - группе |
1 |
2. |
3, |
4 |
2 |
1. |
3, |
4 |
3 |
1, |
2, |
4 |
4 |
1, |
2, |
3 |
Во-вторых, для / >- 3 существует несколько способов построения /-группы из данных пронумерованных частиц. Так, при распределе нии 1; 2—3—4 различными будут следующие диаграммы:
Подсчитаем вначале сумму всех диаграмм при заданном способе рас пределения пронумерованных частиц по группам. Для рассмотренно го выше случая = 1 ; т2 = 0; т3 = 1 (распределение, допустим, 1 ; 2—3—4) интересующая нас сумма может быть записана как
м[А+Л+Д+А]
Заметим, что нумерация частиц существенна лишь для подсчета чис ла диаграмм. Диаграммам, отличающимся только нумерацией, отве чает, очевидно, интеграл одной и той же величины. Поэтому номера частиц на диаграммах можем не указывать. Чтобы найти общее вы ражение для интересующей нас суммы, учтем следующее. Мы долж ны просуммировать все возможные комбинации диаграмм при задан ном способе распределения пронумерованных частиц по группам. Если число /-групп равно mlf то появляется сомножитель (сумма всех /-групп)"1 / . В частности, 3-группы дадут сомножитель
[ с / \ ) + с ^ - о + о^>+с^ь] (Л
|
|
|
|
Для иллюстрации |
на рис. 47 изображены |
различные диаграммы при |
N = 6; Ші = т2 = |
0; т3 = 2 и заданном |
распределении пронуме |
рованных частиц |
по 3-группам |
(распределение 1—2—3; 4—5—6). |
Легко убедиться, что сумма всех графов, |
изображенных на рис. 47, |
равна выражению |
(XI.29) при т3 |
= 2*. В общем виде сумма графов |
* Следует учесть, что
ß M 0
Рис. 47. Диаграммы для случая Л7 =6, mi = т г = 0 , |
тз—2; распреде |
ление нумерованных частиц по группам следующее: |
1—2—Зи4—5—6 |
при заданных ти тг, ... , ты и заданном способе распределения прс^ нумерованных частиц по группам запишется в виде
[°Г [o-o]" с / \ э + |
с^——о о — d ^ b j • • • |
••• ^ у ш г всех і-грцтР^1 ... |
(Л.30) |
Каждый член суммы, которая получится из выражения (XI.30) после возведения в степень и перемножения, содержит, в силу условия (ХІ.27), N кружков.
Для оценки суммы SN {Щ), далее, следует учесть, сколько сущест вует способов разделить N пронумерованных частиц на /-группы так,
чтобы |
число /-групп равнялось т1 (/ = 1, 2, ... ) . Искомое число спо |
собов |
определится |
выражением |
|
|
|
|
|
|
N1 |
|
[(1 |
(21)m « . . . ] [ и , І я , ! |
|
(XI.31) |
|
П |
(llflml\ |
|
|
|
l=i
так как 1) перестановка /-групп (таких перестановок для каждого значения / может быть т г І , а всего П/п,!) не ведет к новым графам;
2) перестановки частиц внутри группы (для одной /-группы таких перестановок / !, для ті /-групп (/ \)тг ) не дают нового способа разде ления пронумерованных частиц на группы; различные способы обра зования группы из данных / пронумерованных частиц уже учтены при подсчете суммы (XI.30).
Принимая во внимание выражения (XI.30) и (XI.31), можем за писать:
