Файл: Смирнова Н.А. Методы статистической термодинамики в физической химии учеб. пособие.pdf

Определим спектральную функцию g (ѵ) для случая упругих ко­ лебаний непрерывной изотропной среды. Показано, что при макроско­ пических размерах кристалла граничные условия не влияют на спект­ ральную функцию. Можем принять, что кристалл является кубом с неподвижными стенками (длина ребра L, объем куба V = L 3 ) . В ре­ зультате отражения упругих волн от неподвижных стенок в упругой среде устанавливается система стоячих волн.

Уравнение стоячей волны в одномерном случае имеет вид

q(x, 0=4sin(Kx)sin(27cv*+S), (XII.51)

где q (х, t) — смещение в точке с координатой х в момент времени t,

Таким образом, число к может принимать только дискретные значе­

В трехмерном случае волновое движение с частотой ѵ характери­ зуется волновым вектором к с составляющими кх, ку, кг. Направле­ ние этого вектора определяет направление распространения волны. Для выполнения граничных условий (нулевые смещения на стенках) необходимо, чтобы

Связь волнового числа к с длиной стоячей волны в трехмерном случае, как и в одномерном, отвечает соотношению (XII.53).

Каждое волновое движение (стоячая волна) определяется тремя положительными числами: пх, пу, пг. По аналогии с тем, как это было сделано в гл. V I I , § 3 для частицы в потенциальном ящике, мы можем подсчитать число колебательных состояний в интервале значений

361

модуля вектора л от n до п+Дп:

Подстановка (XII.58) в равенство (XII.57) даст число состояний в заданном интервале частот как функцию ѵ, т. е. получим спектраль­ ную плотность g (ѵ). При подсчете полного числа колебательных со­ стояний в интервале значений частот от ѵ до ѵ + йч следует, однако, учесть, что имеются одно продольное и два поперечных колебания, которым может отвечать одинаковый вектор к (или п). Так как ско­ рости распространения продольных (/) и поперечных (t) колебаний различны, запишем два соотношения:

для поперечных. Полное число стоячих волн, частоты которых заклю­

362

число колебаний равно 3N:

b

После подстановки в (XII.61) спектральной функции (XII.60) полу­ чим

(считаем, что скорости с1 и с, не зависят от частоты);

< х , , 6 2 )

•-{ігтТ-

Спектральную функцию (XII.60) можем записать теперь в виде

Л ѵ ч і а х

Определим характеристическую температуру Дебая равенством

363

Характеристическая температура Дебая, как видно из формулы (XII.67), зависитот плотности кристалла и от скорости распростране­ ния упругих колебаний (скорости звука) в кристалле. Теория упру­

о

Интеграл в правой части выражения (XII.71) аналитически не берет­

Характер зависимости показан на рис. 49 (сплошная кривая). Спе­ цифика веществ проявляется через величину характеристической температуры Дебая. Для нахождения численных значений теплоем­ кости в зависимости от значений 77Ѳ0 составлены таблицы.

364

Так как во всей области интегрирования переменная у в правой

интегрирования в выражении (XII.71) для функции Дебая можем заменить на бесконечность, так как этот предел — большое число, а при очень больших значениях у — подынтегральная функция, со­ держащая в знаменателе величину е-ѵ, обращается практически в нуль; расширение области интегрирования за счет тех значений, где подын­ тегральная функция нулевая, ничего не изменяет. Можно показать,

Таким образом, при низких температурах

и в согласии с формулой ( X I 1.69)

*Интеграл вычислим, разложив подынтегральную функцию в ряд:

ОО00

365