Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл (17,93Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 215

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2.2) ВИДЫ ВНЕШ НИХ ВОЗМУЩ ЕНИИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Угол ср определяется на корабле ГН, а углы ф и Ѳ— ГВ. Сле довательно, указанные приборы воспроизводят на качающемся корабле земные оси 0%т^.

Преобразование системы координат Olrf, в систему Oxyz можно

представить в матричном	виде *)
[х,	у, z] =	A[l,	7і,	С],	(2.6)
где элементы матрицы преобразования А:
А		« П	«12	«13	(2.7)
А	(J.V I	«21	а 22	«23 >	(2.7)
		«31	«32	«33

являются косинусами углов между единичными векторами §°, rf,

£° и х°,	у 0, «°	(рис. 2. 2). Матрица А имеет вид			—sin Ф
COS cp COS ф			sinjp cos ф		—sin Ф
А = cos <рsin ф sinö — sin у cos Ѳ cos cp cos Ѳ+ sin <p sin ф sin 0					COS Фsin Ѳ.
sin cp sin Ѳ+		cos cp sin ф cos Ѳ sin cp sin ф cos Ѳ— cos cp sin Ѳ COS Фcos Ѳ
					(2.8)
Обозначим через w мгновенную угловую скорость вращения
корабля;	имеем	(рис 2. 2)
			со = ср£° -ф- фу \ -f 0ас°.		(2.9)
Проекции вектора w на оси Oxyz определяются равенствами
		и>х =	Ѳ— Фsin ф,	I
		о) =	ф сон ф sin Ѳ-)-ф cos Ѳ,	I	(2.10)
		сог =	ф cos ф cos Ѳ— ф sin Ѳ. J
б)	К о р р е л я ц и о н н ы е ф у н к ц и и у г л о в к а ч к и .
Волнение в морях и океанах является нерегулярным					[60]. Следо

вательно, углы качки корабля и координаты его центра тяжести являются случайными функциями времени (случайными процес сами). Вероятностные характеристики качки корабля можно опре делить теоретически по вероятностным характеристикам волне ния [61] или путем статистической обработки натурных записей качки однотипных кораблей в интересующих нас условиях волне ния. Для случайных функций ф (t), 6 (t), cp (t) введем следующие обозначения:

X1(t) = ^(t), x 2(t) = b(t), Xs (i) = «p(i).

(2.11)

Углы X . (t) (/=1, 2, 3) можно считать нормальными и для не осо

бенно больших промежутков времени стационарными. Поэтому их достаточными характеристиками являются математические ожидания и корреляционные функции. Математические ожидания

*) Здесь и далее под [х, у, z] и [?, і), С] понимаются матрицы-столбцы.

СИЛЫ И МОМЕНТЫ, ДЕЙСТВУЮ Щ ИЕ НА ГУ

[ГЛ. 2

углов качки могут быть приняты равными нулю *):

жу (і) = М[Ху («)] = 0.

(2.12)

На рис. 2.3 приведена примерная записьѲ (t) угла крена корабля на нерегулярном волнении, являющаяся типичной реализацией стационарного случайного процесса. Статистическая обработка натурных записей углов качки ж. (t) позволяет получить корреля

ционную

функцию

углов

качки.

(О методах

стати

стической

обработки

ре

ализаций

случайных

про

цессов см. главу 8.)

На рис. 2.4 приведена

нормированная

корреля

Рис.

2.3.

Запись

угла

крена

корабля

ционная

функция кГі ( т)

на нерегулярном волнении.

угла

крена корабля.

Кор

Kxj(r) случайных

функций X

реляционные

функции

. (t) углов качки достаточно хорошо

могут быть аппроксимированы формулами

KXj(x)=alje

н | соч Х/ t -f-

sinXy|x|j

(/ =

1 , 2 , 3 ) , (2.13)

где

fjI . — параметр,

характеризующий

степень

нерегулярности

качки;

— частота,

определяю

щая положение максимума спек

тральной плотности угла X . (t).

Числовые

значения

коэффици

ентов р . и X устанавливаются пу

тем статистической обработки за

писей качки кораблей. Коэффи

циент X для килевой и бортовой

качки

можно

принимать

равным

Рис. 2.4. Нормированная корре

соответствующим

частотам

собст

венных

колебаний корабля

[81];

ляционная

функция

углов крена

корабля.

коэффициент р . может изменяться

в)

от

сотых до десятых долей

1 /сек.

С п е к т р а л ь н ы е п л о т н о с т и у г л о в к а ч к и .

В соответствии с формулой (1.124)

для корреляционной функции

(13)

спектральная плотность

имеет вид **)

Sx И

_ 2а|р

(ш2 +

;J2 _

Х2

4jj.2X2

(2.14)

>.2)2

*) Могут быть случаи, когда xj (t)j-0. Однако это не влияет, например,

на расчет погрешностей ГУ при качке корабля, так как для стационарного процесса качки xj (t)=x

**) Индекс «/» в дальнейшем опускаем.

§ 2.2] ВИДЫ ВНЕШ НИХ ВОЗМУЩ ЕНИЙ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ		47
или
S, И =	-f- 2а2м- + № ’	(2.15)
где	Ъ2= [I2 + X2.	(2.16)
■X2,	Ъ2= [I2 + X2.	(2.16)

В качестве примера рассмотрим график спектральной плот ности S q( (о) (рис. 2.5) угла крена сравнительно крупного корабля,


для которого среднее квадратиче
ское значение углов кренааѳ=7°,4,
ae2 = D[Ö (£)] = 1,674-10-2 рад2, у2=
=0,1	1/сек, Х2^ со2=0,7 1/сек ( ш2 —
собственная частота бортовой кач
ки). График показывает, что функ
ция	( со) достигает максимума
при	co^X2^co2, т.		е. при частоте
собственных		колебаний		корабля.		1,2 1А	си, 1/сек
При совместном воздействии на О 0,2 0,4 0,0 Ш 1,0						1,2 1А
ГУ килевой и бортовой качки весь					V
ма важно выявить			взаимную за		Рис. 2.5. График спектральной
висимость		случайных		функций	Рис. 2.5. График спектральной
висимость		случайных		функций	плотности		(ш).
ф (t)	и Ѳ(t), которая характери
зуется взаимной			корреляционной		функцией	[см.	(1. 58)]
			% () = МГФ () 9 (f+ ■')]■				(2.17)

Обычно принимается [61], что килевая и бортовая качки корабля на нерегулярном волнении являются несвязанными слу-

чайными7функциями, т. е.
			Яфе(*) = 0.			(2-18)
	г)	В е р о я т н о с т н ы е х а р а к т е р и с т и к и у г л о
в ы х с к о р о с т е й и у г л о в ы х у с к о р е н и й к а ч к и .
При расчетах погрешностей ГУ необходимо знать вероятностные
характеристики угловых скоростей £ (t)					и угловых	ускорений
X	(t)	качки, являющихся		производными	случайного	процесса
X	(t).	В согласии	с (1.74)	имеем
			К * Ѵ = - - Ш КЛ')-			(2.19)
	Пользуясь (13),		опуская в нем индекс		«/» и учитывая (16),
находим
		К&(т) = а%Ъ2е~^ И ^cos Хт —			si n X \| т .	(2.20)

48	СИЛЫ И МОМЕНТЫ,	ДЕЙСТВУЮ Щ ИЕ		НА ГУ	[ГЛ. 2
	Для дисперсии D [X (Д] случайной функции X (t) имеем
	D 11 (0] = К ± (0) = Ъ % 1 =		(р2+ X*) о%.		(2.21)
	Корреляционная функция	Кх ( т)	является	корреляционной

функцией недифференцируемого процесса, и следовательно, повтор ное применение формулы (19) для нахождения К%(т) при аппро ксимации (13) невозможно.

Приближенное значение величины дисперсии ускорения X (і) можно получить, если принять, что корреляционная функция скорости X (t) также достаточно хорошо аппроксимируется выра-

жением (13). В этом случае, учитывая	(16),
D[X5( t ) ] ^ b 4 =	b^i.	(2.22)

Сделанное выше допущение тем меньше искажает величину дис

персии D [X (Д ], чем меньше отношение ц/Х, так как с его уменьше нием повышается точность формул, получаемых с помощью метода огибающих (см., например, [66]), которые в этом случае дают

для дисперсии D [X (Д] выражение, мало отличающееся от (22). Для спектральной плотности угловых скоростей качки в соот

ветствии с (1. 111) имеем

Sx (со) = (AS* (ш).	(2.23)
Для спектральной плотности S x (ш) угловыхускорений	качки
Х (Д в общем случае справедлива формула (1.111)
S(«d) = ü>S*(<o).	(2.24)
Однако при принятой аппроксимации (13) функция	X (t)

не дифференцируема дважды, и следовательно,формулу (24) можно применять только в том случае, когда Sx ( ш) входит в выра жения вида (1. 97), т. е. делится на полином от ш такой степени, что интеграл от полученного выражения в бесконечных пределах остается конечным. Поэтому при аппроксимации корреляционной функции формулой (13) выражением (24) для Sx ( “>), например,

нельзя пользоваться при определении дисперсии D (X (Д).

При решении ряда задач, связанных с анализом и синтезом ГУ, необходимо знать взаимные корреляционные функции случайных

функций X (Д и X (Д, а также X (Д и X (t). Согласно (1.112)

Rx± (х) = М [X (Д X (t + т)І = ± - Кх (т).

(2.25)

Тогда, учитывая (13) и (16), получаем