Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 214
Скачиваний: 1
§ 2.2] |
ВИДЫ ВНЕШ НИХ ВОЗМУЩЕНИЙ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ |
49 |
откуда*) |
R M 0) = 0. |
(2.27) |
|
Взаимная корреляционная функция Нхх (т) случайных функций
X (£) и X (£) определяется формулой [см. (1.112)] |
|
||
R x, (X) = М [X (£) X (£ + X)] = ~ |
Кх (т). |
(2.28) |
|
Следовательно, в нашем случае, |
учитывая |
(19) и (20), |
получим |
Н-сх (т) — — |
^cos Хт — |
sin X| т . |
(2.29) |
Поэтому |
|
|
|
д**(0) = — |
|
(2.30) |
|
Выражая в (25) и (28) корреляционную функцию Кх (т) через спектральную плотность Sx {со) по формуле (1.95), дифференцируя под знаком интеграла и учитывая формулу (1. 105), для взаимных спектральных плотностей Sxx (u>) и SXx (ш) получим
|
S** (») = iuSx (<»), |
|
SXx((ö) = —ü)25x(w). |
(2-31) |
|
д) |
В е р о я т н о с т н ы е |
х а р а к т е р и с т и к и |
п о с т у п а |
||
т е л ь н о г о |
д в и ж е н и я |
м е с т а |
у с т а н о в к и ГУ. По |
||
ступательные движения места установки ГУ на корабле, |
помимо |
||||
его хода, обусловливаются прежде всего орбитальным движе нием его центра тяжести, которое характеризуется, как было
указано выше, |
тремя линейными координатами %с(t), (t) и |
(t). |
Вертикальное |
перемещение Сс (£) центра тяжести корабля |
вдоль |
оси OnZ (рис. |
2.1) характеризует вертикальную качку корабля и |
|
может считаться стационарной случайной функцией времени. |
Гори |
|
зонтальные перемещения £<? (t) и т\с (t) центра тяжести корабля вдоль осей О0Е и О0Н, именуемые продольно-горизонтальным и поперечно горизонтальным движениями, не сопровождаются появлением вос станавливающих сил. Поэтому случайные функции la{t) и тр? (£) не являются стационарными, хотя их первые и вторые производные можно считать стационарными. Для исследований и расчетов ГУ
необходимы вероятностные характеристики ускорений \с (t) и % (t), которые являются уже, как и Сс (t), стационарными случайными функциями. Получение вероятностных характеристик случайных функций ijc (t), 7\с (/), (с (£) не связано с какими-либо принципиальны ми трудностями. На рис. 2.6 приведены примерные записи ускоре ний lc(t), % (t) и Сc(t) центра тяжести корабля**). Обработка этих
*) |
Это свойство справедливо |
при любом виде корреляционной функции |
Кх ( т) |
и является следствием ее |
четности [аа]. |
**) Измерение ускорений орбитального движения центра тяжести корабля производилось на научно-исследовательском судне «Академик Курчатов» [37].
4 А. А. Свешников, С. С. Ривкин
50 |
СИЛЫ И МОМЕНТЫ, ДЕЙСТВУЮ Щ ИЕ НА ГУ |
[ГЛ. 2 |
записей на корреляторе позволяет получить корреляционные фун кции Кіс (т), К:г.с (т) и К?с (т) указанных случайных*"процессов/ На
$с ,ш/секг
10
|
о! |
I |
■I |
I |
20 |
I |
1- |
1 |
1 _ |
) |
I Г При |
|
|
W |
20 |
30 |
50 |
50 |
70 |
80 |
90 |
100’ |
|
Рис. 2.6. |
Записи линейных ускорений центра тяжести корабля на волнении. |
||||||||||
рис. 2.7 |
в качестве |
примера дан график нормированной корреля |
|||||||||
ционной функции Aijff(x), а на рис. |
2.8 |
представлен график спек |
|||||||||
тральной плотности |
(<ü). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1,0
0,8
0.6
ОА
0,2
О
0,2
ОА
Рис. 2.7. Нормированная коррелляционная функция горизонтально-попереч ных ускорений центра тяжести корабля.
Другой причиной поступательного движения места установки ГУ являются вибрации корабельных конструкций. Эти вибрации также представляют собой случайные функции времени. Обозна чим линейные ускорения вибраций в проекциях на корабельные
§ 2.2] ВИДЫ ВНЕШ НИХ ВОЗМУЩ ЕНИИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 51
оси через xs (t), ув (t), і в (t). Определение их вероятностных харак теристик возможно путем статистической обработки соответствую
щих натурных записей кора |
|
||||||
бельных |
вибраций. |
|
|
|
|||
Вследствие |
орбитального |
|
|||||
движения центра тяжести ко |
|
||||||
рабля, качки, нестабильности |
|
||||||
скорости корабля и вибрации |
|
||||||
места |
установки |
ГУ |
в не |
|
|||
которой точке^’корабля |
с ько- |
|
|||||
ординатами х, у, z возни |
|
||||||
кают |
линейные |
ускорения |
|
||||
W. При вычислении состав |
|
||||||
ляющих |
ускорения w |
углы |
|
||||
качки корабля, их скорости |
|
||||||
и ускорения |
можно |
считать |
|
||||
малыми величинами. |
Поэтому |
|
|||||
вместо |
нелинейных |
соотно |
|
||||
шений между этими |
углами |
(о,1/сек |
|||||
и составляющими ускорения |
|||||||
можно |
пользоваться разло |
|
|||||
жениями |
по |
степеням |
этих |
Рис. (2.8. График спектральной плот |
|||
«малых» величин. |
|
Для со |
ности 5^о (ш). |
||||
ставляющих wx(t), |
wy(t), we(t) |
|
|||||
ускорения w в корабельной системе координат с учетом слагае
мых первого порядка малости имеем [53] |
|
|
У) = |
+ г\ + + 4 — уір, |
|
wa(0 = |
% + У*+ Щ — ZÖ, |
( 2 . 3 2 ) |
|
|
|
wz (t) = Сс + z„ + уѲ — жф,
где нк (t) — случайное отклонение скорости корабля от ее сред него значения; жв, ув, zB— составляющие линейного ускорения вибрации места установки ГУ.
Выражения для составляющих ускорения гѵх (t), wy (t), wz (t),
учитывающие и слагаемые второго пордка малости, |
имеют вид [83]: |
||||||
wx (t) = |
S<7 + |
0, + тібг? — |
+ |
oé3— ж (ф2 + |
ф2) + |
|
|
|
|
У ( — ? + |
ф 9 2 ф Ѳ ) + |
z ( ф + <рѲ + |
2 ф Ѳ ) , |
||
w y ( 0 = — |
+ т іо + |
+ У в + X (ср — ф Ѳ ) — |
( 2 . 3 3 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— у |
(Ѳ 2 + |
ср2) — |
z (Ѳ — - срф — |
2 ф ф ) , |
w z ( t ) = |
і ; с ф — т ]сб + t o + |
z B — £ ( Ф + |
? 9 ) + |
|
|
||
|
|
|
|
+ |
у (6 — срф) — z (ф2 + Ö2). |
||
4*
52 СИЛЫ И МОМЕНТЫ , ДЕЙСТВУЮ Щ ИЕ НА ГУ [ГЛ. 2
Аналогично в проекциях на оси OsrjC (рис. 2.2) имеем
|
|
|
( t ) = \о + г)* + К + |
— у Ь |
|
|
||
|
|
% (t) — ijc + |
Ѳв + |
я<р — zÖ, |
|
(2.34) |
||
и |
|
|
(t) = Cc + |
2B+ |
?/Ѳ— «Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(f) = |
b + |
v s + |
£ B— Sf„«p + |
£„«]> — ж (Ф2 + |
Ф2 + |
cpcp + |
|
|
_|_ фф) _j_ у (—cp _{_ фѲ -f- фб + 2фѲ) + |
z (ф + |
фѲ -f- срѲ-f- 2'fö), |
|
|||||
( 0 = |
iic + |
+ |
Z/в — * вѳ + |
яф — У ф 2 + |
Т2 + |
TT + |
(2.35) |
|
|
|
|
-}- ѲѲ) — z (Ѳ — фф — Фт — 2<рф), |
|||||
|
|
|
|
|||||
w. (t) = |
Сс — Жвф + |
УвѲ+ zB— жф + |
г/Ö — z (ф2 + 92 + |
|
||||
|
|
|
|
|
|
+ |
ѲѲ+ фф). |
|
Для определения корреляционных функций составляющих ускорения необходимо располагать вероятностными характери-
Рис. 2.9. Запись ускорения вибрации точки корабля.
Рис. 2.10. График спектральной плотности ускорения вибрации точки корабля.
стиками углов качки корабля, ускорений орбитального движения и вибраций места установки ГУ. Корреляционные функции
§ 2.2І ВИДЫ ВНЕШ НИХ ВОЗМУЩ ЕНИЙ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 53
ускорений орбитального движения центра тяжести корабля могут быть аппроксимированы выражениями, аналогичными выраже ниям (20) для производных углов качки корабля (с соответствую щими числовыми значениями параметров а., ц X). Некоторые данные по вероятностным характеристикам вибраций можно найти в [69]. На рис. 2.9, заимствованном из [69], приведен график вибрации некоторой точки корабля, имеющий вид реализации случайной функции. На рис. 2.10 дана кривая спектральной плот ности рассматриваемой случайной функции.
3. |
Вероятностные характеристики внешних возмущений, дей |
ствующих на авиационные ГУ. |
|
а) |
П а р а м е т р ы , о п р е д е л я ю щ и е в р а щ а т е л ь |
н о е |
д в и ж е н и е с а м о л е т а . Для определения положения |
самолета введем:
1)координатную систему, связанную с Землей O0XgYgZg (рис.
2.11), у которой ось O0Yg вертикальна, а оси О0Хд и O0Z — го ризонтальны;
Рис. 2.11. Определение положения самолета.
2) систему Oxly1zl, оси которой неизменно связаны с самолетбм;
3) систему Oxgygzg, оси которой параллельны осям OüX gYgZg и движутся поступательно с самолетом относительно системы
Положение центра тяжести С самолета относительно O0X gY gZg
определяется радиусом-вектором Нс или тремя координатами хд, уд, zg точки С. Вращение самолета около центра тяжести С, опре деляемое взаимным положением осей Ox1y1z1 и Oxgygzg, характери
зуется тремя эйлеровыми углами: рыскания ф (рис. 2.12), тангажа 9 и крена у. Угол ф измеряется на самолете ГН, который в ави ации иногда называют курсовым гироскопом, а углы & и у - Г В .
54 |
СИЛЫ И МОМЕНТЫ, ДЕЙСТВУЮ Щ ИЕ НА ГУ |
ІГЛ. 2 |
Преобразование системы координат OXgY^Lg в систему Oxxyxzx (рис. 2.12), по аналогии с (6), запишем следующим образом:
|
К Уѵ 21] = Б [Х ,> Yg Zg\ |
(2.36) |
||
где |
матрица ß = ||Ь ||(|л, ѵ = |
1, 2, 3) имеет вид |
|
|
В = |
cos ф cos 9 |
sin 9 |
—sin ф cos 9 |
|
sin ф sin 7 — cos ф sin 9 cos у |
cos 9 cos у |
cos ф sin 7 + |
sin фsin 9 cos у |
|
|
sin ф cos 7 + cos Фsin 9 sin 7 |
—cos 9 sin 7 |
cos ф cos 7 — sin ф sin 9 sin 7 |
|
|
|
|
|
(2.37) |
Обозначим через v>c мгновенную угловую скорость вращения самолета; ее проекции на оси Ox1ylz1 определяются соотноше ниями
и>сх — і + ф sin 0-,
|
= ф cos & cos 7 -f- 9 sin 7, |
|
(2.38) |
|||
|
ioCz = 9 cos |
7 — фcos 9 cos 7. |
|
|
||
б) |
К о р р е л я ц и о н н ы е |
ф у н к ц и и |
и |
с п е к т |
||
р а л ь н ы е п л о т н о с т и у г л о в , |
х а р а к т е р и з у ю |
|||||
щ и х |
в р а щ а т е л ь н о е |
д в и ж е н и е |
с а м о л е т а . |
Даже |
||
в прямолинейном полете самолет совершает колебательное движе ние, вызванное различными аэродинамическими возмущениями [®].
Указанные возмущения носят |
случайный характер |
и приводят |
к соответствующим случайным |
колебаниям самолета. |
Углы вра |
