Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Г л а в а 3

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ УРАВНЕНИЙ, ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В ПРИКЛАДНОЙ ГИРОСКОПИИ

§ 3.1. Предварительные замечания

Как было указано в § 2.1, п. 2, будем классифицировать ГУ по их назначению, различая пять основных групп ГУ: 1) гиро­ скопические устройства, предназначенные для определения углов поворота объекта; 2) гироскопические устройства, предназначен­ ные для определения угловых скоростей и угловых ускорений — дифференцирующие гироскопы; 3) гироскопические устройства, предназначенные для определения интегралов от входных воздей­ ствий — интегрирующие гироскопы; 4) гироскопические устрой­ ства, предназначенные для непосредственной стабилизации объек­ тов или отдельных приборов и устройств — гироскопические ста­ билизаторы; 5) гироскопические устройства, предназначенные для решения навигационных задач.

Гироскопические устройства внутри каждой группы могут существенно отличаться друг от друга по структурным схемам и принципам действия. Поэтому ГУ одной группы могут обладать различными динамическими свойствами. Наоборот, ГУ различных групп могут описываться однотипными уравнениями и, следова­ тельно, для их исследования применимы аналогичные математиче­ ские приемы. Поэтому после рассмотрения гироскопических уст­ ройств, отличающихся по своему назначению, различные ГУ, обладающие одинаковыми динамическими свойствами, мы будем сводить в одну группу в зависимости от типа описывающих эти ГУ дифференциальных уравнений. Так как число типов дифферен­ циальных уравнений, описывающих различные ГУ, сравнительно невелико, то таким образом удается существенно упростить рас­ смотрение вероятностных методов анализа ГУ.

Не ставя перед собой задачу повторения содержания приклад­ ной теории ГУ, основы которой предполагаются известными чита­ телю, в данной главе для каждого из рассматриваемых ГУ будут приведены только основные сведения, облегчающие дальнейшее изложение: наименование; определение; назначение; определяемые им параметры (величины); область применения; эйлеровы углы, характеризующие положение оси гироскопа; уравнения дви­ жения.

Точные уравнения движения ГУ являются нелинейными. Однако при исследовании ГУ обычно исходят из линеаризованных урав­ нений, которые в основном и приводятся ниже. В порядке иллюстра­ ции общих формул (1.100) и (1.102) для линеаризованных уравне­ ний ряда ГУ находятся соответствующие им передаточные функции. Так как наибольший интерес представляет анализ динамической точности ГУ, то указанные уравнения учитывают качку объекта, вибрацию места установки прибора и другие характерные особен­ ности работы ГУ в реальных условиях. Для простоты изложения уравнения движения ГУ не выводятся, а приводятся в оконча­ тельном виде. Они заимствованы в основном из книг [53], [54]; случаи, когда использовались другие источники, оговариваются особо.

§ 3.2. Уравнения движения и передаточные функции ГУ, предназначенных для определения углов

поворота объекта

1. Астатический гироскоп (АГ). В §2.1, п. 1 было указано, что астатическим или уравновешенным называется гироскоп, у кото­ рого центр тяжести совпадает с точкой подвеса гироскопа (с точкой пересечения осей карданова подвеса) и, следовательно, сила веса и сила инерции не могут вызвать возмущающих моментов.

АГ широко применяются в технике; они лежат в основе много­ численных типов ГУ, например ГН, ГВ и др. Иногда АГ применя­ ются самостоятельно без каких-либо корректирующих устройств в качестве кратковременных указателей направления. С помощью АГ могут быть определены два угла поворота объекта около его центра тяжести. В качестве примера можно указать, что в балли­ стической ракете [74] применяются астатические гироскопы, назы­ ваемые гирогоризонтом и гировертикантом и предназначенные для определения трех углов поворота ракеты около ее центра тяжести.

Схема карданова подвеса АГ с горизонтальной осью собствен­ ного вращения приведена на рис. 2.18, на котором показано исход­ ное положение осей Oxyz, связанных с ротором гироскопа, и не­ подвижных осей 0£rf,, принимаемых в качестве системы отсчета. При работе АГ вследствие неизбежных возмущающих моментов в осях карданова подвеса его ось Oz (рис. 2.19) будет отклоняться относительно заданного ей неподвижного в инерциальном прост­ ранстве направления Оч\. Положение оси Oz относительно От]

( /. + К. э) Р+ {К + К. э — Л) <*2 sin ß COS ß —

сил, приложенного к гироскопу.

Уравнения (1) являются нелинейными. В большинстве рас­ сматриваемых в теории гироскопов прикладных задач эти урав­ нения линеаризуют, т. е. при их интегрировании считают, что угол а и изменение угла ß при движении гироскопа малы. Понятно, что такое допущение применимо для сравнительно небольших отрезков времени, в течение которых обычно используется АГ.

весьма малы по сравнению с членами уравнения (1), содержащими

ции ротора и внутреннего карданова кольца относительно оси Охх (рис. 2.19); обозначим

суммарный момент инерции ротора, внутреннего и наружного кар-

*) Угловая скорость собственного вращения ротора гироскопа Qмногим больше а и р, а г^Й.

дановых колец относительно оси 01 (рис. 2.19); введем обозначение

ставляют единицы Г см сек2, а кинетический момент Н гироскопа изменяется от сотен до десятков тысяч Г см сек.

Постоянная времени Т для упомянутых ранее авиационных АГ составляет сотые и тысячные доли секунды. Таким образом,

где первый индекс показывает, что передаточная функция отно­ сится к функции а (<) (индекс «1») или ß (t) (индекс «2»), а второй индекс указывает на входное воздействие М х (t) (индекс «1») или

М 2 (t) (индекс «2»),

Вид передаточных функций показывает, что АГ по отношению к возмущающим моментам, действующим относительно тех же осей (одноименных осей), вокруг которых гироскоп поворачивается на углы а и ß соответственно, является консервативным звеном, в то время как по отношению к возмущающим моментам, дейст­ вующим относительно осей (перекрестных осей), перпендикуляр­ ных осям, вокруг которых гироскоп совершает повороты на углы