Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

К уравнению типа (367) можно отнести, например, второе уравнение (24) ГН с коррекцией, уравнение (58) ГВ с маятниковой коррекцией, уравнение (141) ГТ, в котором используется трех­ степенной астатический гироскоп, уравнение (173) поплавкового интегрирующего гироскопа, уравнение (207) гироскопического интегратора линейных ускорений объекта.

3) Уравнение второго порядка

ä -f- -f- а2а = X (t), (3.368)

где ах и а2 — постоянные коэффициенты.

К уравнениям типа (368) можно отнести, например, уравне­ ния (42), (55), (56) колебаний физического маятника, уравнение (6 6 ) ГВ при наличии статической неуравновешенности гироскопа, уравнения (109), (110) ИВ с демпфированием, уравнение (122) ГТ, уравнение (149) ВГ, уравнение (270) колебаний корабля с гиро­

уравнение (352) акселерометра. Уравнение (368) является наи­ более распространенным типом дифференциальных уравнений, характеризующих движение ГУ.

Возможны случаи, когда в уравнении (368) коэффициенты

Куравнениям этого типа относятся, например, уравнения

(81)ГМ без демпфирования, уравнения (95) ИВ при отсутствии устройства для обеспечения демпфирования колебаний гироскопа.

Если в (368) положить а2 =0, то получим

Этому типу соответствует, например, уравнение (164) поплав­ кового интегрирующего гироскопа.

4) Системы уравнений с постоянными коэффициентами. Вид этих уравнений может быть различным. Здесь в качестве примеров можно указать уравнения (6 ) астатического трехстепенного гиро­ скопа, уравнения (77) ГМ, уравнения (102) ИВ с учетом стати­ ческой неуравновешенности гироскопа, уравнения (230) одно­ осного ГС на качке, уравнения (261) гироскопического успокои­ теля качки пассивного типа, уравнения (293) однороторного ГК.

В некоторых случаях при анализе ГУ приходится учитывать случайный характер коэффициентов линейных уравнений, опре­ деляющих поведение ГУ. При этом коэффициенты могут быть случайными величинами или случайными функциями времени. К уравнениям первого типа можно, например, отнести уравнения (28) ГН с учетом статической неуравновешенности ротора, урав­

нения (64) ГВ при наличии также статической неуравновешенности гироскопа, уравнения (105) ИВ с учетом изменения ее параметров.

Примерами второго типа уравнений, когда коэффициенты уравнений являются случайными функциями времени, могут служить уравнения (34) ГН на качке, уравнение (57) колебаний физического маятника, уравнения (85) ГМ, уравнение (114) ГТ, уравнение (163) поплавкового интегрирующего гироскопа, урав­ нения (248) трехосного ГС, уравнения (303) двухроторного ГК.

При исследовании ряда ГУ приходится учитывать нелиней­ ность уравнений движения вследствие того, что искомые пере­ менные являются аргументами нелинейных выражений, входящих в уравнения, характеризующих поведение ГУ. Такими уравне­ ниями являются, например, уравнения (1 ) трехстепенного аста­ тического гироскопа, уравнения (34) ГН на качке, уравнения (74) ГВ с нелинейной характеристикой коррекции, уравнение (ИЗ) ГТ, уравнение (162) поплавкового интегрирующего гироскопа.

Сложные гироскопические системы, например, гирокомпасы, гирогоризонткомпасы, трехосные силовые гиростабилизаторы, инерциальные навигационные системы характеризуются систе­ мами уравнений высокого порядка (см. гл. 7), содержащими, как правило, нелинейные члены, случайные величины в коэффициен­ тах уравнений и отдельные коэффициенты уравнений, имеющие характер случайных функций. Исследование таких сложных урав­ нений часто удается свести различными приемами к исследованию уравнений более простого типа, упомянутых ранее. Поэтому мы начинаем с рассмотрения простейших уравнений ГУ, постепенно увеличивая их сложность.

Г Л А В А 4

ИССЛЕДОВАНИЕ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ, ОПИСЫВАЕМЫХ ЛИНЕЙНЫМИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

§ 4.1. Линейное уравнение первого порядка, не содержащее зависимой переменной

1. Вывод общих формул. Начнем исследование дифферен­ циальных уравнений, описывающих поведение ГУ, с простейшего уравнения первого порядка, не содержащего зависимой перемен­ ной. Рассмотрим для определенности уравнение движения гиро­ скопа направления (ГН) в рамках прецессионной теории, т. е. уравнение (3.24)

(4.1)

где а — угловая скорость ухода гироскопа; М — возмущающий момент, являющийся случайной функцией времени, а Н — кине­ тический момент гироскопа, обычно принимаемый постоянной величиной. При исследовании инструментальных погрешностей гироскопа H(t) нужно считать случайной функцией времени. Предположим, как это обычно и имеет место, что непостоянство кинетического момента вызвано небольшими отклонениями в ско­ рости вращения ротора гироскопа и, следовательно, отклонение H(t) от номинального значения кинетического момента Н0 можно считать малым. Поэтому положим

где H^t) будем считать малой величиной в том смысле, что вто­ рыми и более высокими степенями Н^і) будем пренебрегать, т. е.,

щего момента М будем учитывать момент сил трения М тх в оси вращения внутреннего карданова кольца подвеса ГН. В этом

Предположим, что математические ожидания и корреляцион­ ные функции момента сил трения m(t) и Km (tv іъ) и случайного

§ 4.11 УРАВНЕНИЕ 1-ГО ПОРЯДКА Б Е З ЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Ш

отклонения кинетического момента H x{t), hy(t) и Kh(tv t2) известны,

а(і) могут быть получены простые расчетные формулы. Действи­

Находя математическое ожидание обеих частей последнего равенства, пользуясь формулой (1.91) для корреляционной функции суммы независимых слагаемых и используя формулу (1.87) для корреляционной функции интеграла от случайной функции, получим

где при определении корреляционной функции от интегралов при­ няты во внимание соотношения (обозначим для краткости Z (t) =

КЛХѴТ2) = Kh(Xl, \)Km(Xl, т2) +

Д»ж(т1 . T2) = Âi (X2) Km( X j, x2),

получающиеся, если воспользоваться формулами (1.62) и (1.63) для корреляционной функции и для взаимной корреляционной функции.

путем анализа конкретных причин, вызывающих нестабильность кинетического момента гироскопа. Если эта нестабильность не­ велика, то второй интеграл в (1 0 ) будет мал и основное влияние на дисперсию угла a(f) будет оказывать первое слагаемое, опре­ деляемое корреляционной функцией момента сил трения в оси подвеса гироскопа.

Рассмотрим три основных случая.

2. Вязкое трение. В этом случае, считая, что ось вращения внутреннего кольца параллельна продольной оси корабля, полу­ чим

Подставляя последнее выражение в (10), учитывая в этой формуле только первое слагаемое и производя интегрирование по частям, окончательно получим

Если считать время t большим времени корреляции случай­ ной функции Ѳ(£) (т. е. большим времени, в течение которого кор­ реляционная функция Кц (t) практически затухает до нуля), то формула (13) даст

Следовательно, при наличии вязкого трения дисперсия ошибки гироскопа направления после окончания переходного процесса бу­ дет величиной постоянной, а средняя квадратическая ошибка