Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл (17,93Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 261

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

170	ГУ,	ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМ И УРАВНЕНИЯМИ	[ГЛ. 4
угла	a(t)	отличается от среднего квадратического отклонения

угла поворота основания прибора	а9 коэффициентом n\J2/ff0, т. е.
и V2		(4.15)
аа ~ W °е-

Коэффициент трения п, принятый выше постоянным, иногда может рассматриваться так же, как случайная функция времени. Положив в этом случае

		п (t) =		п + п1(t),			(4.16)
будем считать nx(t) стационарной центрированной (с нулевым
математическим ожиданием) случайной функцией. Тогда
	Кт(х) =		п ^ ( г ) + Кп^)Кь^),				(4.17)
и после подстановки (17) в (10) мы получим (члены, содержащие
Kh{z), мы по-прежнему не учитываем)
				t
D [«(()] =	[К, (0 ) - K t (0) -			щ \ (* -	*) К	(г) К, (т) dz.	(4.18)
				о
3.	Сухое трение.	В	этом случае		момент сил трения связан
с угловой скоростью Ѳ(t)		нелинейным соотношением [см. (2.					103) ]
			— Qxsign [Ѳ(7)],				(4.19)
где, как обычно, использовано обозначение
	sign X —		1 ,	если	X	0,	(4.20)
	sign X —			если	X <Г 0 .		(4.20)
				если	X <Г 0 .

Для нахождения моментов МТХ(t) воспользуемся представле нием нелинейного выражения sign х в виде интеграла (см. [62])

СО
sign X = -ip j	(4.21)

после чего формулу (19) можно переписать в виде

	СО
=	5	(4.22)
	— СО

Находя математическое ожидание обеих частей последнего равенства и учитывая формулу (1.30) для характеристической функции, получим

СО

5 Eit (и) ~ = const,

(4.23)

§ 4.11 УРАВНЕНИЕ 1-ГО ПОРЯДКА БЕЗ ЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

171

так как Ѳ(£) предполагается стационарной и, следовательно, ее характеристическая функция не зависит от t.

Написав формулу (22) дважды для двух моментов времени

Пи t2, перемножив левые и правые части полученных равенств

инаходя математическое ожидание результата, имеем

	СО
=	И Еі (щ,	(4.24)
	— СО
где Ei (иѵ и2) — характеристическая	функция системы случайных
величин Ö(fj) и Ѳ(іf,).
Так как	(С — tj) + /й2,
М [Л /Тг (*,) М та (С)1 =	(С — tj) + /й2,
то окончательно
CO
K m (ts - t 1) = - ^ \ \ E i >	K , u2)	(4.25)
— СО
Интегралы (23) и (25) могут быть выражены через		функции

распределения ординат случайного процесса Ѳ(і). Действительно, рассмотрим интеграл

СО

J l“ > = 7 - è	1 е" “ Е ‘ (а >^ТГ -	<4 ' 2 6 >
	— СО

где Ех(и) — характеристическая функция некоторой случайной величины X, а а — вспомогательный вещественный параметр.

	В соответствии	с	(21)		и (1.30)
		/ (а) =			у М [ 1 — sign (X — а)]
и,	следовательно,				/ ( —оо) = 0.	(4.27)
					/ ( —оо) = 0.	(4.27)
	С другой стороны, дифференцируя обе части (26) и учитывая
(1.32), получим
					СО
	^	=	4	-	\ <‘~іиаЕх (а) du = tx (а).	(4.28)
					— 00
	Следовательно,	принимая во внимание (27),
					J(a) = Fx (a),	(4.29)
где	Ех(а) — функция			распределения случайной		величины X ,
взятая при аргументе				а.

172 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4

Поэтому, заменяя в (26) 7(a) на Fx(a) и положив а= 0, находим

СО

	5 Ех (и)	= 1	2FX(0).	(4.30)
—СО
Подставляя (30) в (23), получим
	m = Qx [l — 2Fi>(0)],			(4.31)
где Fi{0 ) — функция	распределения		ординат случайного	про
цесса Ö(t), взятая при	аргументе, равном нулю.			орди
В частном случае,	если медиана		закона распределения	орди

наты Щ) равна нулю (площадь под кривой /е (Ѳ) для отрицатель ных значений аргумента равна площади под кривой для положи тельных значений аргумента), ЕД0) = 1/2 и т = 0. Если Ѳ(£) —

нормальный процесс, то (так как Г\ЛIÖ(7) 1 ==0 ) это условие выпол няется и т ~0. Аналогичным образом вычисляется и интеграл (25).

Действительно,		обозначим
7 (аи	а2) =		\ $		у (их, щ) durdu2		(4.32)
где Ех> (их,	и2) — характеристическая функция системы случайных
величин X,	Y. Дифференцируя (32) дважды по ах и а2,						получим
			d2J (ДХ, а2)_f	у(а1 ,	а2).		(4.33)
			да-уда2	у(а1 ,	а2).		(4.33)
			да-уда2
Интегрируя последнее равенство дважды и учитывая при этом,								что
7 (аѵ — со) = 1		М [1 + sign (X — a,) sign (Г — а2)] \а__ т=
					=	2 7 (аі) +		~2 >
7 (—со,		а2) =	у [1 — 7 (а,)],	J (— со, — оо)=1/2,
получим
7 (ах,	а2) = Fxy (а,, а2) — у Ех (а,) — у Еу (а2) +					у .	(4.34)
Следовательно, положив а, = а,,				на	основании (32) и (34)			бу
дем иметь
UJ		duidu.2 __
		duidu.2 __		(°)+	У (°) — F*. у/0. °)		(4-35)
		*1 ^ 2	т +	(°)+	У (°) — F*. у/0. °)		(4-35)
		*1 ^ 2
и вместо (25) получим
				0 ) — F\ (0 )],			(4.36)

§ 4.1] УРАВНЕНИЕ 1-РО ПОРЯДКА Б Е З ЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

173

где через Fè„ é2 (0 , 0 ) обозначена функция распределения системы случайных величин Ѳ(7:) и Ѳ(72) при нулевых значениях ее аргу ментов, а х = £2 — 11.

Если процесс 0 (/) нормальный, тона основании формулы (1.28) для плотности вероятности системы двух нормальных величин с одинаковой дисперсией и нулевыми математическими ожиданиями получим

К, уС’- ()) 2 .-а'\| Ѵ'і	0 о	2 «2 (1		-г*)			da; dy =
К, уС’- ()) 2 .-а'\| Ѵ'і	r- SSexp	2 «2 (1		-г*)			da; dy =
		з 2 + У2— 2rxy
		1	,	1	s-arcsm r,			(4.37)
		= -r +			s-arcsm r,			(4.37)
		4	1		Z u
где r — коэффициент корреляции		между	X и			Y.
Ha основании (37), учитывая,		что в данном случае г=к&(х)
— нормированная	корреляционная функция					Ѳ(£), вместо		(36)
получим
	Кт(х )= ^ г arcsin Щ(т).							(4.38)

Если корреляционная функция случайного процесса Ѳ(£) известна, то на основании (1.74)

1 й'гКц(ъ Л ^

Подстановка (38) в (10) (случайные изменения кинетического момента по-прежнему не учитываем) дает

	t
D [а (£)] =	j (t — т) arcsin fcj (х) dx.	(4.39)
"	о

Если t больше времени корреляции случайной функции

то верхний предел в последнем интеграле можно положить рав

ным	0 0 , и мы получим
		D[a (t)] =	at — b,	(4.40)
где	введены обозначения
		СО		СО
	а =	^ arcsin k^ (т) dx,	b =	\| x arcsin k^ (x) dx. (4.41)
	0	о	0	u

Таким образом, при наличии сухого трения дисперсия ухода ГН растет с ростом времени по линейному закону. Физической причиной этого является то, что в соответствии с формулами (19) и (1 ) угол a{t) есть алгебраическая сумма случайных величин,

174

ГУ, О П И С Ы В А Е М Ы Е Л И Н Е Й Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И

[ГЛ. 4

равных длительностям выбросов случайной функции Ѳ(і) за нуле вой уровень, дисперсия которой растет примерно пропорционально числу слагаемых, т. е. времени.

4.Сухое трение в случае качающихся подшипников. В ка

честве последнего случая рассмотрим влияние сухого трения при осуществлении в приборе вращения подшипников на оси внутреннего карданова кольца, применяемого в целях уменьше ния отрицательного влияния моментов сил сухого трения. В этом случае производится принудительное вращение подшипников

относительно	основания			прибора.
Предположим, что угловая скорость ѵ(t) вращения опор из
меняется по гармоническому						закону, т. е.
				V(t) =		ач cos соQt.			(4.42)
Тогда момент	трения		будет		определяться		формулой [см.		(2.104)]
	м п (0 =		К х +		Qx si8'n К cos «V +			() (01-	(4.43)
Применяя интеграл		(21),		получим
			СО						(4.44)
м	и ) —	®*	f	в »«й,со8ш„<. eiub(t)			I	m o
Tx \ '		КІ	J			и	1	тх'
			—СО
Находя математическое ожидание обеих частей последнего
равенства, имеем (индексы					«тсс» опускаем)
	fh(t) =		Qj	СО			_\|- щП
				J	е<иа,С08ш„*£,. (ц)				(4.45)

—СО

Написав равенство (44) для двух значений моментов времени tx и t2, перемножив их левые и правые части, после нахождения математического ожидания полученных выражений будем иметь

М [MTX(t,)MTX(t2)l =

СО

—f [ е<й,(и,СО8ш0<+«2СО8шЛ)^, (и., „ \ duld a 2