Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Формулы (45) и (47) отличаются от формул (23) и (25), полу­ ченных для сухого трения при отсутствии вращения подшипни­ ков тем, что теперь под знаком интеграла явно входит время и, следовательно, функция MTX(t) не является стационарной.

Умножение характеристической функции на множитель вида еіиЬ эквивалентно прибавлению к математическому ожиданию случайной величины (функции) неслучайной величины Ь. По­ этому формулы (45) и (47) можно переписать в виде

где штрихом отмечены характеристические функции ординат

случайной функции [9 (£)+avcos о>0£ ]. Интегралы в формулах (45) и (47) по виду не отличаются от выражений (23) и (25), и следова­ тельно, для вычисления m(t) и Km(tv у можно воспользоваться формулами, аналогичными (31) и (36):

где штрихом отмечены функции распределения ординат случай­ ной функции [9 (£)-[-avcos w0t ].

Если, например, 0 (t) — стационарный нормальный процесс, то

где Ф (ж) — обозначение функции Лапласа. Для Fe„è,(0, 0 ) в этом случае имеем

17(i ГУ , О П И С Ы В А Е М Ы Е Л И Н Е Й Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И ІГЛ. 4

Дальнейшие вычисления требуют применения численного инте­ грирования.

Аналогичным образом вычисляется m(t) и Km(t\, t2) в том слу­ чае, когда подшипники вращаются в противоположных направле­ ниях с постоянной скоростью, изменяя направление вращения через каждые п оборотов (подшипник типа «роторейс»). При этом формулы (50) и (51) остаются в силе, но в них нужно заменить т°, D [М®х ], Qx значениями параметров, соответствующих харак­ теру движения опор в подшипнике типа «роторейс», а частоту со0 на частоту шх [см. (2. 109)].

Сравнение формул (50) и (51) с формулами (31) и (36) доказы­ вает, что в случае вращения подшипников выражения для rn(t) и Ат(т) приобретают колебательный характер, так что при инте­ грировании по формулам (5) и (6 ) можно ожидать уменьшения значений соответствующих интегралов сравнительно с тем слу­ чаем, когда нет вращения подшипников.

Аналогичным образом могут быть подсчитаны первые моменты случайной функции a{t) при колебательном движении опор на оси внутреннего карданова кольца в противофазе, применяемого иногда для снижения отрицательного влияния моментов сил су­ хого трения в подшипниках. Момент сил трения в этом случае

где M^x — знакопостоянная составляющая момента трения, а зна­ копеременные составляющие моментов трения и Q2 могут быть различными из-за неидентичности подшипников.

Применяя общие формулы (50) и (51), получим

где штрихом отмечены функции распределения случайных вели­

178 ГУ , О П И С Ы В А Е М Ы Е Л И Н Е Й Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И [ГЛ 4

будет сходиться к нулю при увеличении числа приборов. Исходя из определения корреляционной функции (1.60), имеем

сеть только от разности моментов времени и, следовательно, функция Y (t) будет стационарной.

Корреляционная функция (60), а также вычисленная по этой формуле дисперсия ухода а(t) характеризуют разброс показаний различных гироскопов.

В некоторых задачах представляет интерес исследование ошибки конкретного, взятого для испытания гироскопа. В этом случае величина Іг не меняется в течение всего опыта и, следовательно, задача сводится к определению условного математического ожи­ дания ошибки гироскопа и ее условной дисперсии при конкрет­

Во втором из упомянутых случаев, т. е. при рассмотрении ухода астатического гироскопа вследствие упругих деформаций ротора, в соответствии с формулой (3. 30), имеем (при ßo=0)

где сг и сУі — коэффициенты жесткости ротора вдоль соответст­ вующих осей, а wSl (t) и wz (t) — проекции вектора ускорения точки

подвеса на экваториальную ось и ось собственного вращения ротора. Следовательно, обозначив

мы снова можем использовать все формулы настоящего параграфа, заменив т (t) на z(t) и Km(tv t2) на t2). Будем считать коэф­ фициенты жесткости неслучайными величинами, а случайные функции wVl (t) и wz (t) стационарными с нулевыми математиче­ скими ожиданиями. Предположим, что эти функции, кроме того,