Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

и функции, имеющие другую физическую природу. Исследование этих уравнений может быть выполнено так же, как и уравнения (1 ), и не требует специальных пояснений.

7. Определение закона распределения а(Д). В заключение« данного параграфа рассмотрим вопрос об определении закона распределения случайной функции a . ( t ) . Будем исходить для простоты из уравнения (1 ), считая кинетический момент И не­ случайным.

Если имеется жидкостное трение, момент которого определя­ ется формулой (1 1 ), то уравнение (1 ) интегрируется и мы получим

Следовательно, если законы распределения ординат случай­ ной функции 0 (<) известны до второго порядка включительно, то задача сводится к определению закона распределения суммы зависимых слагаемых по формуле (1.42). Если t достаточно ве­ лико, чтобы Ѳ(0) и 0 (t) можно было считать независимыми вели­ чинами, то мы будем иметь обычную задачу о композиции законов распределения, для решения которой в данном случае достаточно знать только одномерный закон распределения ординаты Ѳ(і). Таким образом, в случае жидкостного трения задача определения закона распределения ординат случайной функции a ( t ) решается без каких-либо принципиальных затруднений для любого закона распределения ординат случайной функции Ѳ(£).

Эта задача еще более упрощается, если функция Ѳ(£) нормаль­

В этом случае соотношение между а (() и Ѳ(t) уже перестает быть

Для сухого трения можно воспользоваться приближенным разложением плотности вероятности /(а ) в ряд Шарлье (1. 44), для чего требуется определение моментов а (t) более высоких порядков, чем второй. Оно может быть выполнено тем же методом, каким были определены первые два момента, однако с повышением порядка момента вычислительная сложность расчетов увеличи­ вается.

В качестве второго пути можно указать применение марков­ ских процессов. Этот способ пригоден, когда случайная функция

плотность.

Для иллюстрации этого метода предположим сначала, что

является марковским процессом и может рассматриваться как решение дифференциального уравнения

Рассматривая уравнение (1), с учетом (19) и (70), как совмест­ ную систему уравнений, замечаем, что функции U1{t)= a(t) и tfs(f)=Ö( 0 являются компонентами двумерного марковского процесса. Определяя для этого случая коэффициенты уравнений Колмогорова по формулам, аналогичным (1. 132) и (1. 133), получим

Следовательно, второе уравнение Колмогорова для плот­ ности вероятности / системы случайных величин Y 1= U l ( т), Y2—U2( т) будет иметь вид

/(Уі,У2)- Искомая плотность вероятности/ ( а) может быть полу­ чена путем интегрирования / (уъ у2) по у2:

Таким образом, если Ѳ(і!) — нормальная случайная функция, имеющая спектральную плотность (69), то задача сводится к инте­ грированию уравнения (71). Хотя при решении этого уравнения применим метод расщепления Фурье, решение получается доста­ точно сложным. Еще более сложным будет решение, если в знаме­ нателе £б(й>) стоит полином ш более высокой степени, чем второй.

Формула (6 8 ) обычно слишком плохо аппроксимирует кор­ реляционную функцию угловой скорости основания. Более хоро­ ший результат можно получить, если положить

Последняя формула, например, часто применяется для харак­ теристики угловой скорости качки корабля, колебаний самолета и в ряде других случаев. Корреляционной функции (73) соответ­ ствует спектральная плотность [см. (1.111) и (1.124)]

2алр.ш-

процесса. Для этого процесса уравнение Колмогорова также может быть легко составлено [см. (1.147)], однако его решение еще более усложняется, поскольку появляется новая независимая переменная.

В большинстве практических задач необходимости в точном определении / ( а) обычно не возникает, так как ошибки ГУ вхо­ дят составной частью в ошибки более сложных систем, закон рас­ пределения на выходе которых уже с высокой точностью можно считать нормальным, так как они складываются из большого числа независимых слагаемых и имеются условия практической при­ менимости центральной предельной теоремы. В этом случае достаточно знать первые два момента ошибок ГУ, определение которых было рассмотрено выше.

§ 4.2. Линейное уравнение первого порядка, содержащее зависимую переменную

1. Вывод общих формул. Уравнение первого порядка, со­ держащее зависимую переменную, описывает поведение различ­ ных ГУ. Примером может служить уравнение движения гиро­ вертикали с маятниковой коррекцией, имеющей линейную ха­ рактеристику [см. (3.58)]

где XiW —угол отклонения от вертикали физического маятника, х2 — удельная скорость коррекции, а М 2 — суммарный возмуща­ ющий момент, возникающий вследствие наличия момента трения, момента из-за неуравновешенности гироскопа и т. п.

§ 4.2] У Р А В Н Е Н И Е 1-ГО П О Р Я Д К А С ЗАВИСИМ ОЙ П Е Р Е М Е Н Н О Й 183

Аналогичный вид имеет и упрощенное уравнение гиротахо­

и ряда других гироскопических устройств.

Все приведенные выше уравнения принадлежат к одному

где постоянная аг и случайная функция X(t) в различных слу­ чаях могут иметь различные значения и различный физический

щего гироскопа, согласно (78), содержит интеграл от стационар­ ной функции и, следовательно, не является стационарной. Для гиротахометра, как ясно из уравнения (76), случайная функция X (t) является суммой полезного сигнала <a(f) и помехи; в других случаях полезная составляющая отсутствует.

Рассмотрим получение моментов ординат случайной функции а (t). Для этой цели запишем решение уравнения (79) в явном виде

t

где импульсная переходная функция l ( z ) в данном случае имеет вид экспоненты

учитывать, рассматривая в качестве ошибки ГУ отклонение,