Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 266

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

184 ГУ , О П И С Ы В А Е М Ы Е Л И Н Е Й Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И [ГЛ . 4

Следовательно, применяя формулы (1.69) и (1.70) к данному случаю, получим

 

 

 

t

 

 

(4.82)

 

 

â(t) = J

(х) dz,

t2

ti

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

к Л 1п h ) — \ 5

 

 

zjdz^dz„ =

 

о

о

 

 

 

 

 

 

 

іг

t x

 

 

 

 

=

\

\ er*dw)Kx (t, — X1 ;

f 2 — X2) d z ^ ,

(4.83)

 

 

0

0

 

 

 

 

 

2

t

 

 

 

D [a (£)] =

^

е-Мп+ч)/^ (t — Xj,

t — x2) dxjdx2.

(4.84)

оо

Втом случае, когда X (t) стационарна, последние формулы упрощаются, так как часть интегрирований может быть выполнена. Произведя необходимые преобразования, получим

â ( < ) = — (1 — е-^)т,

(4.85)

 

аі

 

 

 

( ti

 

 

 

 

К ° ’ *>) = 2^7 П \ е ~щт' ~ ~

 

К х (х — Xj) dxj +

 

Ml

 

 

 

 

_|_ ^ [g-ffiT! --

 

^

(x -f- Xj) dxx —

 

ö

<2—^1

 

 

 

 

 

 

1

— I

|'e-»i(2 <i+Ti) — e~»i(2 ^-T,)j

(T.—T]) i

 

о

 

 

>

(z =

t2—

£, > ^).

(4.86)

 

t

 

 

 

D I a (t)1 = 1

j {e_"‘T—

] Kx (x) dx.

(4.87)

1О

Втом случае, когда переходный процесс можно считать за­ кончившимся и, следовательно, экспоненциальные множители вида е~а‘*, е~а'1' и е-я>^ можно положить равными нулю, последние

§ 4.2] У Р А В Н Е Н И Е 1-ГО П О Р Я Д К А С ЗАВИСИМ ОЙ П Е Р Е М Е Н Н О Й 185

три формулы еще более упрощаются и принимают вид (x=f2 —іг)

а =

аі X.

(4.88)

К. (h, Q =

Ка(х) = ± \ е - л \КХ(х + хх) + Кх ( х - xJJ dzv

(4.89)

 

О

 

 

CD

 

D (а (01 =

~ j е~а'хКх (х) dz.

(4.90)

 

о

 

При стационарности случайной функции

X (t) и

достаточно

большом времени после включения ГУ (при t

І/с^)

из формулы

(1.83) следует, что функция а (t), определяемая (80), также будет стационарной, и, следовательно, для нахождения спектральной

плотности iSa( ш) можно применить общую

формулу (1.97),

кото­

рая в данном случае дает

 

S-Лto)

 

 

s *н

=

 

(4.91)

ш2 -j- аІ ’

 

Корреляционная функция связана со спектральной плотностью

соотношением (1. 95), следовательно,

 

 

 

00

 

 

 

* .(* )=

S

e ^ ^ l d w

,

(4.92)

 

— 00

 

 

 

 

со

 

 

 

О [«(0 1 =

J

 

 

(4-93)

— 00

Последние две формулы эквивалентны формулам (89) и (90), однако их применение является предпочтительней в том случае, когда задана не корреляционная функция случайного процесса X (t), а его спектральная плотность.

Итак, общее рассмотрение линейного дифференциального урав­ нения первого порядка, содержащего независимую переменную, показывает, что, в отличие от линейного уравнения (1 ), не содер­ жащего независимой переменной, в данном случае решение урав­ нения имеет ряд существенных особенностей.

Во-первых, при постоянном математическом ожидании х мате­ матическое ожидание ä (t) не растет пропорционально времени, как это имеет место для уравнения (1 ), а стремится к постоянной величине (при переменном х (t) изменение а (t) имеет более слож­ ный характер).

Во-вторых, дисперсия а (t) при стационарности правой части уравнения стремится с ростом t к постоянной величине, а не растет пропорционально t, как это имело место для уравнения (1 ).

d 86

ГУ , О П И С Ы В А Е М Ы Е Л И Н Е Й Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И

[ГЛ. 4

Эти свойства решения уравнения (79) являются следствием устойчивости динамической системы, описываемой дифференци­ альным уравнением такого типа. Рассмотрим более подробно несколько ГУ, описываемых уравнением данного типа.

2. Гировертикаль с линейной коррекцией. Для гироверти­ кали, имеющей маятниковую коррекцию с линейной характеристи­ кой, в соответствии с (75) (индексы «2» и «1» опускаем)

Х(1) = *ХУ) + ± М ,

(4.94)

а ах= х — удельная скорость коррекции.

Слагаемые в правой части (94) являются независимыми случай­ ными функциями, причем математическое ожидание угла откло­ нения физического маятника от вертикали %(t) будем считать равным нулю, а в качестве возмущающего момента учтем только момент сил сухого трения — учет других возмущающих моментов (из-за неуравновешенности гироскопа, упругих деформаций и т. д.) производится аналогичным образом.

Принимая во внимание формулы (31) и (38) для математиче­ ского ожидания и корреляционной функции момента сил сухого трения, на основании формул (8 8 ) и (89), после окончания переход­

ного процесса, будем

иметь

 

 

 

 

 

=

 

 

( 4 - 9 5 )

СО

 

 

 

 

 

Ка(х) = у j <Г"‘ |Кг (х +

Tj) + Кг (х — хх)] dxl +

 

О

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ Sm *\

\ e_iTllarcsin h (х + ті) +

arcsin *é(* — xi)Jdxi-

(4-96)

 

0

 

т=0, получим выражение для

Положив в последней формуле

дисперсии ошибки гировертикали с линейной коррекцией

 

 

0 0

 

СО

 

 

D [а (*)] =

X j е~”‘Кг(х,) dxx +

j

arcsin kt (хх) dxv

(4.97)

 

о

 

о

 

 

Формула (97) показывает, что при увеличении удельной скорости коррекции следует ожидать уменьшение влияния моментов сил сухого трения в оси подвеса, поскольку величина х входит в зна­ менатель второго слагаемого правой части формулы, а увеличе­ ние X , кроме того, при любом хх > 0 уменьшает величину множи­ теля е-*ті в подынтегральном выражении этого слагаемого.

Влияние величины х на первое слагаемое формулы менее оче­ видно, поскольку X входит и множителем перед интегралом и в по­ казатель степени у е_хтч Для выяснения этого вопроса предполо-

§ 4.2]

У Р А В Н Е Н И Е 1-ГО П О Р Я Д К А С ЗАВИСИМ ОЙ П Е Р Е М Е Н Н О Й

187

жим, что угол отклонения физического маятника і (t) имеет кор­ реляционную функцию вида

Кг (х) = a^éf1,7.|т| (cos Х^х + р sin \ г I XIj .

(4.98)

Подстановка выражения (98) в (97) позволяет проследить влия­ ние Xна погрешности ГВ, вызванные погрешностями физического маятника. Сделав указанную подстановку и выполнив интегриро­ вание, найдем для первого слагаемого в формуле (97)

СО

(4.99)

О

Полученная формула показывает, что коэффициент пропорцио-

 

 

 

 

V 2

 

 

 

 

 

 

нальности к —

 

1 + 7*7

 

у

дисперсии

погрешности

 

 

(_1+^+§) +4 (і?)

безразмерных параметров:

физического маятника зависит от двух

х/рх =

ж и 4х/рх =

у.

При значениях

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

| [ - 7 2 + 1 +

2Ѵ1 +

У2+ г/4]

 

 

этот

коэффициент растет, при (—

 

—у2 +

1 -)- 2

\ / 1 +

г/ 2 + г/4]

достигает

максимума, а затем монотонно убывает, стремясь к нулю

при х /^ -*

со. На рис. 4.1, а и б представлена зависимость коэф­

фициента к от x/jj-x =

z при различных значениях ^х/пх — У- Анализ

кривых рис. 4.1

позволяет выбрать

значение

удельной

скорости

коррекции X (или постоянной времени

Т =

1/х), если

считать, что

основное влияние на дисперсию погрешности

гировертикали ока­

зывает первое слагаемое в формуле

(97).

 

 

 

 

Для вычисления второго слагаемого в этой формуле его целесо­

образно

путем интегрирования

по

частям преобразовать к виду

^ 2 \

arcsin &в(т)гіт

Qi

I

m

 

■fcj(x)dx. (4.100)

У-2 / / 2

'

KtfiҢЪ 5

О

 

 

 

 

О

\/l + k\ (t)

Последний интеграл удобнее вычисляется численным интегри­ рованием, чем интеграл (97). Его значение зависит от вида кор­ реляционной функции Ы (т). Если корреляционная функция угла Ѳ(t) имеет вид (2.13), то

(4.101)

кд(х) = е ’‘'в**1(c o s Xöt — р sin Хѳ | х .

Смотрите также файлы