Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 269
Скачиваний: 1
188 |
ГУ , О П И С Ы В А Е М Ы Е Л И Н Е Й Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И |
[ Г Л . 4 |
6)
Рис. 4.1. Графики зависимости коэффициента к от величины х = х /ц 7 при раз личных значениях у = Ру
Рис. 4.2. Графики зависимости 1 -\-F (х, у) от величины х —х/цѳ при раз личных значениях у=\д/рд.
§ 4.2] |
УРАВНЕНИЕ 1-ГО ПОРЯДКА С ЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ |
189 |
||||||
Введя в этом случае в (100) новую переменную интегрирова |
||||||||
ния I = |
(іѳт, замечаем, что интеграл зависит |
от |
двух безразмер |
|||||
ных параметров: х/р0 |
и Хѳ/[х8, т. |
е. |
|
|
|
|
||
|
2Ql |
|
|
= |
J f s f 1 + |
^ ( ^ |
, ^ ) ] . |
(4-102) |
|
ТІХ. / / 2 ] в-**arcsin к„ (т) * |
|||||||
где функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
f ( ~ , |
Ре/ |
71 J |
|
#ѳ (т) dz |
|
(4.103) |
|
|
\Рѳ |
|
|
|
|
|
||
может быть найдена численно. |
|
|
|
-f-.F (х/р„, Хѳ/р9) |
||||
Для примера на рис. 4.2 приведены графики 1 |
||||||||
для нескольких значений l fJp.b=y |
как функции х/у^—х. Графики |
|||||||
показывают, что выражение |
(1 0 2 ) |
довольно сильно зависит от х. |
||||||
Следовательно, если в осях подвеса имеется сухое трение, то при
выборе удельной скорости коррекции нужно учитывать |
зависи |
мость от X обеих слагаемых в формуле (97), дающей значение дис |
|
персии погрешности ГВ. |
|
3. Гиротахометр. Для гиротахометра в соответствии с (76) |
|
X(t) = *(t) + ±-M, |
(4.104) |
а а1= х = і / Т , где |
ш (t) |
— измеряемая |
угловая скорость. |
имеющей |
|
Будем считать |
со (t) |
случайной |
функцией времени, |
||
математическое ожидание ш (t) |
и |
корреляционную |
функцию |
||
Кш(т). (Случайный характер угловой скорости может быть выз ван, например, случайными перемещениями объекта, по которому производится визирование.)
Задачей гиротахометра является определение текущего зна чения угловой скорости. Следовательно, ошибкой прибора в дан
ном случае будет не угол (3(f), а разность |
|
-«>(*)■ |
(4.105) |
Подставляя в последнее равенство вместо |
ß (t) выражение (80), |
с учетом (81) и (104) получим формулу для ошибки гиротахометра
t t~т |
|
t |
t-т |
|
T <0(х) <^ - — |
+ |
5 е |
T M(z)dz, |
(4.106) |
о |
|
о |
|
|
где возмущающий момент М (t) будем считать стационарной слу чайной функцией; также стационарной функцией будем считать разность [ м (t)—<со (£)].
190 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4
Определение математического ожидания последнего равенства дает
|
|
|
* |
_ч_ |
|
|
|
|
|
Z(t) = Y ^ e |
T&(t — x1 )dx1 |
— m(t). |
(4.107) |
||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Предположил!, как ото обычно и бывает в действительности, |
||||||||
что математическое ожидание <г>(t) достаточно плавно |
меняется |
|||||||
со временем, так что в интервале т,, |
соизмеримом с постоянной |
|||||||
времени Т, функцию о>(t—тх) можно |
разложить в ряд Тейлора |
|||||||
около точки t, т. е. написать |
|
|
|
|
||||
(О(t -- t:) = |
№(t) --- di»(t) |
J_ |
( 0 |
T 2 |
(4.108) |
|||
|
|
|
|
~~dt~ |
2 |
dt* |
1 |
|
Подставляя |
(108) в (107) и интегрируя по т1; |
получим |
|
|||||
£ (t) ~ — е |
— Т |
1 |
0+f> |
dto (£) |
|
|
||
dt |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ Т1 |
|
|
|
|
d2o) (г) |
(4.109) |
|
|
|
< * + т - & У ' |
|
dt2 + |
||||
Если t T (переходный процесс закончился), то последняя формула упрощается и принимает вид
£(г) = _ г ^ і і ) + |
Т2 ^ М ------- |
(4.110) |
О С |
CL L “ |
|
Формулы (109) и (110) показывают, что при переменной угловой скорости ГТ дает систематическую ошибку, зависящую от угло вого ускорения dw/dt и производных от угловой скорости ш более высоких порядков, а также от постоянной времени Т гиротахо метра, уменьшаясь с уменьшением Т.
Предположим, что момент М (t) обусловлен наличием сухого трения в осях подвеса. Тогда, находя дисперсию обеих частей равенства (106), учитывая (38) и рассуждая так же, как при выводе формулы (97), для установившегося процесса получим
|
|
|
со |
Т |
|
|
+ |
-jrpy- |
^ е |
r arcsin /Cg (х) dx. |
(4.111) |
СО |
Т |
|
о |
|
|
D [е (()J = Y j Л |
[А ш (0) - |
Кю(т) 1 |
dx + |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Первое слагаемое полученной формулы характеризует диспер сию ошибки определения угловой скорости (ошибки воспроизведе ния полезного сигнала), вызванную изменчивостью самой угловой
§ 4.2] |
УРАВНЕНИЕ 1-ГО ПОРЯДКА С ЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ |
191 |
скорости и связанную с тем, что вследствие инерционности, при сущей ГТ, это изменение отрабатывается с искажением. Второе слагаемое дает ошибку, вызываемую моментом сил сухого трения. Формула (111) показывает, что дисперсия ошибки измерения ско рости зависит от постоянной времени ГТ сложным образом, по скольку Т входит кроме множителей перед интегралами в подын тегральные выражения. Поэтому вывод о целесообразности умень шения Т для снижения систематической ошибки, полученный на основании анализа формулы (109), должен быть уточнен путем исследования зависимости D [е (£)] от Т.
4. Поплавковый интегрирующий гироскоп. В качестве по следнего примера дифференциального уравнения первого порядка, содержащего зависимую переменную, рассмотрим уравнение (78) для поплавкового интегрирующего гироскопа. В этом случае
t
+ f j M ^ d t , , |
(4.112) |
о
т. е. в правой части равенства стоит линейная комбинация стацио нарной случайной функции if (t) — угла рыскания основания гиро-
t
скопа и интеграла ^ М (fj) dt1 от возмущающего'момента, который
о
даже в том случае, когда сам момент является стационарной функ цией времени, уже не является стационарным.
Находя математическое ожидание обеих частей (112) и учиты вая (82), получим
t т |
t |
т(t~т |
1 |
|
р (t) = Y j е 1у (t — х) dx -f -L j e T M m (tj) dxJdx. |
(4.113) |
|||
>o |
о |
Iо |
> |
|
Если if (t) и M (t) стационарны, то интегрирование в последней формуле может быть выполнено и мы получим
t + pL(^— т) + Те |
(4.114) |
или, для установившегося процесса,
р (t) = fof -f- р (t — Т) tri. |
(4.115) |
Таким образом, наличие интеграла в правой части выражения (1 1 2 ) приводит к возникновению накапливающейся систематиче ской ошибки, если математическое ожидание возмущающего мо мента отлично от нуля.
ff)2 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕИИИМИ (ГЛ. 4
Для дисперсии (3 (t) |
в соответствии с (84), (87) и (112) имеем |
|||||
D|ß(f)] = * j |
'2 £г—XTК(t |
— х) dt -f- |
|
|
||
|
I |
I ІІ+Т.Д |
|
|
|
|
|
+ |
r K»(t ~~xv |
* — Ts) <M X*> |
(4.116) |
||
|
О |
О |
|
|
|
|
где через Kn(tv |
t2) обозначена корреляционная функция интеграла |
|||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
N {t)= \i M(tx) dtv |
(4.117) |
|||
|
|
О |
|
|
|
|
В соответствии с формулой (1.88) имеем |
|
|||||
t% |
|
|
tx |
Кт(Х) d x ~ |
|
|
Кп(*П *2) = S (*s — Х) Кт (Х) dx + |
S |
(*1 “ х) |
|
|||
О |
|
|
О |
|
|
|
|
|
и-іі |
|
|
(4.118) |
|
|
|
— |
S |
(*s — *і — х )Кт(х) ^х- |
||
|
|
|
о |
|
|
|
Подстановка последнего выражения в (116) после простых пре образований дает
D[ß(f)]=
т 1
1^ 1
2 |
/гг |
|
I&1 |
*;(*-T)dT+p2{[ |
|
О |
|
|
|
|
|
і |
/ |
і \ X |
27’(l — е |
Т)_ |
Те Т — Те |
( - 2 |
+ е- г ) е Ц к т(г) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
К,п(Х) dx- |
|
|
|
|
|
|
|
(4.119) |
Формула (119) |
показывает, |
что из-за наличия в правой части |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
уравнения |
(78) |
нестационарного слагаемого |
р ^ М (tj) dtx диспер- |
||||
|
ß (t) в |
|
|
|
|
|
о |
сия угла |
этом случае |
будет расти со временем примерно |
|||||
как t. Если считать переходный процесс закончившимся, то верх ние пределы интегрирования в (119) можно положить равными оо, после чего получим
D[ß(i)l = e* + b, |
(4.120) |
§ 4.2] |
|
У Р А В Н Е Н И Е 1-ГО П О Р Я Д К А С ЗАВИСИМОЙ П Е Р Е М Е Н Н О Й |
193 |
где |
введены обозначения |
|
|
а = |
2 р2 J |
(х) dx, |
|
|
О |
|
(4.121) |
|
|
|
|
■ 2p*J (jc + г + 1 е- * ] Я я (х )< гх + -£ Je“ * /^(xjdx.
Определение закона распределения случайной функции я (t), являющейся решением уравнения (79), осуществляется просто только, если правая часть этого уравнения X (t) является нормаль ной функцией. В этом случае я (t) будет также нормальной, и для определения законов распределения этой функции любого числа измерений достаточно знать только я (t) и Ка(£l5 12), формулы для которых получены выше. В том случае, когда X (t) не является нормальной, так же как и для уравнения (1 ), закон распределения ординат функции я (t) может быть выражен практически с любой точностью через моменты этих ординат более высокого порядка. Однако нахождение этих моментов усложняется тем, что для их вычисления нужно располагать моментами соответствующих по рядков случайной функции X (t), которые для закона распреде ления, не являющегося нормальным, уже не могут быть выражены через Кх (tb t2). Таким образом, задача определения закона рас пределения я (t) уже выходит за рамки корреляционной теории случайных функций.
Формулы, связывающие моменты ординат я (t) более высокого порядка с моментами ординат случайной функции X (t), могут быть получены тем же методом, что и формулы для ä(t) и Ка (tv t2). Так, например, для третьего и четвертого начальных моментов будем иметь
t |
i |
t |
|
mW = ^ |
J |
J e-"* (n+4 +-t3) X |
|
ooo |
|
|
|
|
|
X M [X (t — Tj) X (t — t2) X (t —t3)] dxjdxgdxg, |
(4.122) |
t |
t |
t t |
|
mW ~ J |
J J ^ e-Oi (ч+4+ѵи,) X |
|
|
o o o o |
|
||
X M [X (t — Xj) X (t — x2) X (t — x3) X (t — x4)] dxjdxjdxj^. |
(4.123) |
||
Для моментов более высокого порядка эти формулы еще более усложняются.
13 А. А, Свешников, С. С. Ривкин
