Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

§4.3. Линейное уравнение второго порядка

спостоянными коэффициентами

1.Примеры ГУ, описываемых уравнениями данного типа.

Перейдем к рассмотрению линейного дифференциального урая нения второго порядка с постоянными коэффициентами, т. е. урав нения вида

где ax и a2 — постоянные, а X (t) — случайная функция времени. Уравнения такого типа характеризуют различные ГУ, для кото­

где случайные функции, стоящие в правых частях равенства, являются линейными комбинациями производных от случайных функций, характеризующих орбитальное движение и качку корабля.

Аналогичный вид имеет и уравнение для физического маят­ ника, показания которого используются для коррекции ГУ. В соответствии с (3.49) для углового отклонения х физического маятника имеем

где компонента ускорения w (t) в том случае, когда плоскость, качания маятника параллельна плоскости симметрии объекта, на котором установлен маятник (например, диаметральной пло­ скости корабля), определяется формулой [см. (3.56) ]

а в том случае, когда плоскость качания перпендикулярна пло­ скости симметрии (например, лежит в плоскости шпангоута ко­ рабля), определяется формулой [см. (3.55)]

Уравнение (3.109), определяющее отклонение (3инерциальной вертикали при наличии демпфирования, принадлежит к тому же типу, так как имеет вид

(4.130)

Р + - ^ + *8Р = ! ^ + й-лЗг(<).

Аналогичным уравнением является и уравнение (3.112) для инерциальной вертикали при наличии внешней информации, поступающей с ошибками:

Обе эти ошибки являются случайными функциями времени, однако зависимости характеристик этих функций от времени, как правило, имеют существенные отличия. Например, если скорость

в этом случае путь объекта вычисляется путем интегрирования компонент скорости, то bS (t) уже не будет стационарной функ­ цией.

которые отличаются друг от друга только обозначениями и пра­

гирокомпаса, которое для случая бортовой качки имеет вид [см.

Частным случаем линейного уравнения второго порядка яв­ ляется уравнение, не содержащее первой производной от зависимой переменной, т. е. уравнение вида

196 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4

решение которого обладает рядом свойств, отличных от свойств

где Му и М 2 — возмущающие моменты по наружной и соответ­ ственно внутренней осям карданова подвеса.

Аналогичными являются уравнения (3.95) для отклонений инерциальной вертикали с периодом М. Шулера (без демпфиро­ вания)

Отличительной особенностью уравнения (130) и последних трех уравнений является наличие в правых частях равенств производ­ ных от возмущающих моментов, которые для принимаемых обычно выражений моментов сил сухого трения являются недифференци­ руемыми (разрывными) функциями и, следовательно, появление в правых частях уравнений производных от этих функций требует специального исследования.

Наконец, к рассматриваемому типу относятся уравнения, определяющие ошибку инерциальной вертикали вследствие раз­ личных инструментальных ошибок системы. Для ошибок, вызы­ ваемых отклонениями кинетического момента Н гироскопа и коэф­ фициента у от расчетных их значений Н0 и у0 (условие невозмущаемости [i0/H0=l/R), уравнение (3.105) дает

к анализу вероятностных свойств решения неоднородного линей­ ного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами,

содержащего в правой части равенства случайную функцию (или случайную величину), т. е. полного уравнения данного типа — уравнения (124) или уравнения, не содержащего первой производ­ ной от зависимой переменной — уравнения типа (137).

2. Вывод общих формул. Вернемся к рассмотрению уравне­ ния (124). Используя общую формулу (1.76) для решения линей­ ного дифференциального уравнения с учетом (1.77) и (1.82), вы­ разим явно решение уравнения (124) через правую часть этого уравнения X (t) в виде

где а . (t) — независимые интегралы однородного уравнения, со­ ответствующего уравнению (124), а С . — постоянные, определяе­

мые начальными условиями. В рассматриваемом случае уравнения с постоянными коэффициентами интегралы а.. (t) имеют вид eh'*,

где X. — корни характеристического уравнения

Уравнение (124) в соответствии с физической сущностью раз­ бираемой задачи соответствует устойчивой динамической системе и,

следовательно, аг > О, аг > 0. Кроме того, в уравнениях ГУ

1

обычно а2 ^ > - ^ а 1 и> следовательно, радикал в (146) имеет мнимое значение. Поэтому, введя обозначения

корни характеристического уравнения можно представить в виде

где р и ѵ0 — положительные вещественные величины. Подставляя (148) в выражения для независимых интегралов

Подставляя (t) и I (х) в (144) и вводя вместо Сг и С2 новые постоянные интегрирования А и В, получим следующую формулу