Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 273
Скачиваний: 1
198 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙН Ы М И УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4
для общего интеграла уравнения (124): t
а (t) = е~^ (А sin vQt -f- В cos v0t) -f- — ? е~*хХ (t — x) sin v0x dt. (4.150)
J
0
Постоянные А и В могут быть выражены через начальные зна
чения функции а (t) |
и ее производной &(t) по формулам |
|
Л = |
1 [а (0) + ра (0)1, В = а (0). |
(4.151) |
Формула (150) отличается от формулы (80), дающей общее ре шение для линейного уравнения первого порядка, только нали чием в подынтегральном выражении осциллирующего множителя sin ѵ0 т. Внеинтегральный член и в этом случае содержит множи тель е~>’•*, обеспечивающий его затухание при достаточно больших значениях времени работы ГУ. Поэтому дальнейшее исследование вероятностных свойств случайной функции а (t) может быть вы полнено теми же методами, что и исследование решения уравнения первого порядка, приведенное в предыдущем параграфе.
Исследование поведения ГУ представляет интерес обычно для достаточно больших промежутков времени после начала их ра боты. Поэтому первое слагаемое в (150) можно положить равным нулю, а верхний предел интегрирования принять равным со, т. е. в качестве решения уравнения (124) принять
СО |
|
а (£) = i J е~^Х (t — х) sin vQx dx. |
(4.152) |
о |
|
Определив математическое ожидание обеих частей последнего равенства, будем иметь
СО |
|
ä (t) = I е~^хХ (t—x) sin v0x dx. |
(4.153) |
о |
|
Если X (i)=const, то интегрирование может быть выполнено и, учитывая сделанное предположение о возможности пренебреже ния членами, содержащими е~^, для математического ожидания а (t) имеем
« т = і з т * . |
<4Л54> |
Полученное выражение для ä (t) может быть найдено и непо средственно из уравнения (124), если определить математическое ожидание обеих частей этого равенства и учесть, что после зату хания переходного процесса ä=ä.=0. Выполнив эти преобразо вания, получим ä=x/az, что с учетом (147) совпадает с (154),
§14.3] |
УРАВНЕНИЕ 2-ГО ПОРЯДКА |
199 |
||
Следовательно, при действии на ГУ, описываемого уравнением |
||||
(124), стационарного |
возмущения |
X (t), имеющего отличное |
||
от нуля математическое ожидание, |
математическое |
ожидание |
||
функции а (t), характеризующей |
погрешность |
устройства, |
||
также не равно |
нулю, |
отличаясь от |
х только постоянным мно |
|
жителем. |
|
|
|
|
Находя математическое ожидание произведения [а (^)—ä (fx) J X X [а (t2)—а (<2)] и учитывая при этом (152) и (153), получим
СО 0 0
Ол- У = |
ц |
J \ |
(T,+T,)# a. (tx— хх, |
t2— х2) sin |
sin v0x2dx1 dT2. |
||||
|
|
о |
0 |
|
|
|
|
|
(4.155) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положив |
в последнем равенстве |
t^ = t2 = t, |
найдем дисперсию |
||||||
|
|
СО |
СО |
|
|
|
|
|
|
D [а (01 = |
-4 |
f |
f |
('t‘+T*)Äa. (t — Tj, |
t |
— X,) sin |
sin v„x2dx,dx„. |
||
|
vo |
J |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
(4.156) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если случайная |
функция |
X (t) |
стационарна, то |
получаем |
|||||
K J ti — тх, г2 —х2)= КХ (^2 —П— |
т 2 + ті)> правая часть формулы (155) |
||||||||
будет зависеть только от разности |
(t2—t j и функция |
а (t) также |
|||||||
будет стационарной. В этом случае формулы (155) и (156) упро щаются и после преобразований, аналогичных преобразованиям, выполненным при выводе (8 6 ), примут вид
К Л Ч - ~ гі )==ц \ |
| |
е 1 " ('t‘+Ts)^ |
( 0 — |
О — Х2+ |
Xl) |
s in |
V l S in Ѵ0Х2 * Ч ^ Х2 = |
||
0 0 |
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 ^ 2 + vg) S e~^K * ( 0 — h |
— |
x ) ( j |
cos V0 X + |
i |
Sin v 0x ) dx, |
( 4 . 1 5 7 ) |
|||
0 |
|
CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D [® (01 = 2 '(fJ |
+ V2 ) J ^ |
XKX(x) ( 1 cos v0x + |
i |
sin V0x) dx. |
(4.158) |
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
В том случае, когда условия стационарности случайной функ ции а (t) выполняются, применимы общие формулы спектральной теории. Применяя формулу (1.97) к уравнению (124) и учитывая, что в данном случае передаточная функция L ( к о ) определяется формулой
L (гш) = |
_____ 1 |
|
—со- —I*- Іоjсо—Q2 * |
(4.159) |
200 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ Л ИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4
для спектральной плотности случайной функции а (t) будем иметь
(4.160)
V"------ “ 2У" Т “ І ш" I1” - — '5 — + 4 fi2l02
Применяя формулы (1.95) и (1.56), получим
СО
(4.161)
—СО СО
(4.162)
—СО
Последние две формулы эквивалентны формулам (157) и (158), но имеют перед ними преимущество, когда спектральная плотность Sx ( со) известна. В частном случае, когда Sx (со) является дробно рациональной функцией своего аргумента, интегралы (161) и (162) могут быть вычислены с помощью вычетов. В этом случае выражение для корреляционной функции Ка (т) принимает вид
к
|
і=і |
(4.163) |
|
і |
|
где |
(Z=l, 2, . . ., к) — корни |
знаменателя Sa (со), лежащие |
в верхней полуплоскости (считаем все корни простыми), а 4 , — постоянные. Интеграл (162) может быть получен из (163), если
положить т = 0 , или, минуя |
определение корней | знаменателя |
спектральной плотности S a (со), |
по формулам таблицы 1 .1 . |
Если правой частью уравнения (124) является не случайная функция, а случайная величина, то в формуле (150) X (t—т) можно вынести за знак интеграла и мы получим (при А = В = 0)
Следовательно, для математического ожидания и дисперсии а (t)
в этом случае будем иметь |
|
&(t)~ р г Ъ ^ І - е ^ ( cos V + ~ sin у ) ] я, |
(4.165) |
или, после окончания переходного процесса,
а
а
1
1
(4.167)
(4.168)
§ 4.3] |
УРАВНЕНИЕ 2-ГО ПОРЯДКА |
201 |
Применим полученные выше общие формулы к исследованию точности нескольких ГУ, описываемых уравнением типа (124).
3. Гиромаятник. Начнем с рассмотрения гиромаятника. В со ответствии с уравнением (125) и обозначениями (147)
ѵ0 = к, |
[а= х, |
(4.169) |
а для гиромаятника, установленного на корабле |
|
|
X(t) = j (к* + *2) іь (t)- |
zS т -f у [V (t)- |
(t)l. (4.170) |
Скорость бокового перемещения центра тяжести корабля і\с(t) и угол крена Ѳ(t) являются стационарными случайными функ циями времени, которые обычно считают некоррелированными. Поэтому, используя формулы (1.91) и (1.74), получим
К М = |
(*■ + •*)’[-А , М + (FT^ Ч 'с' w + |
|
|
|
||
|
+ | (*s + |
M - f F q b ) - . * |
w |
] |
(4-171) |
|
и соответствующую формулу для спектральной плотности |
||||||
= |
+ *2)2о,а[ і + |
И + |
z w |
, |
(со)]. (4.172) |
|
Подставляя найденные выражения для Кх ( |
т) |
и |
|
( со) в фор |
||
мулы (157), (158) или (161), (162), можно определить корреляцион ную функцию и дисперсию углового отклонения а (t).
Вычислим для примера дисперсию се (t), пользуясь формулой (162) и учитывая только влияние бортовой качки корабля Ѳ(t). Приняв корреляционную функцию бортовой качки корабля в виде (2.13) и учитывая (2.14), получим
D [а (t)] = ~ ( V + v*YX
V |
Г |
(fig + Ц) fl + |
/£2 , 2,2 |
“4 |
1 7Я\ |
1 |
____________________ V |
Vя + * ] |
! __________( А |
||
A |
J |
7* Г(в.2 — — Xg)S + |
[(«a — vg — f**)* + 4^ss«si “ |
• ^ |
|
|
—CO |
|
|
|
|
Знаменатель подынтегрального выражения имеет 8 простых кор ней в точках
м1 , 2 , 5 . 6, = + ^0 ± фч)> Ш3 , 4, 7 , 8 = ± Ѵ0 + Ір. |
(4.174) |
Заменяя в (173) интегрирование по вещественной оси интегриро ванием по замкнутому контуру, окружающему все полюсы подын тегрального [выражения, лежащие в верхней полуплоскости (рис. 4.3), получим, что искомый интеграл равен сумме четырех
202 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4
вычетов, умноженной на 2пі. Выполнив необходимые преобразо вания, получим
DM*)] = |
22 (k2gt Х2)2 4ogEB(ng + |
Xg)t(ClV + d ? |
+ |
СІУ + |
Cff), |
(4.175) |
|||
где вычеты СУр должны быть взяты для полюсов |
2= +Х9 -|- г'р.9 |
||||||||
и ш3 4= |
+ѵ0-(- jjj. и могут быть вычислены по формуле |
|
|||||||
|
|
С1Я = ^(<о)((о - ш у) и шу, |
|
|
|
|
(4.176) |
||
где через F ( о>) обозначено подынтегральное выражение в (173). |
|||||||||
Таким образом, в рассматриваемом случае дисперсия |
а (t) ошибки |
||||||||
|
|
|
гиромаятника |
является постоян |
|||||
|
|
|
ной |
величиной, |
численное |
значе |
|||
|
|
|
ние которой может быть найдено |
||||||
|
|
|
по |
формулам |
(175) |
и |
(176), |
||
|
|
|
т. е. путем выполнения конечного |
||||||
|
|
|
числа алгебраических операций. |
||||||
|
|
|
Аналогичным |
|
образом |
может |
|||
|
|
|
быть вычислена и корреляцион |
||||||
|
|
|
ная функция К а(т). Отличие будет |
||||||
|
|
|
заключаться только в том, что |
||||||
Рис. 4.3. К определению диспер |
функция F (со) |
в этом случае будет |
|||||||
содержать экспоненциальный мно |
|||||||||
|
сии |
D [a(t)]. |
житель е’шт, и поэтому вычеты СУР |
||||||
жители еітЛ, |
а следовательно, |
будут содержать |
(при |
т ]> 0 ) мно |
|||||
учитывая четность |
корреляционной |
||||||||
функции, |
К а(х) будет суммой |
членов вида eimJ М, коэффициенты |
|||||||
которых легко вычисляются по формулам (175) и (176).
Как было указано в § 1.2, при вычислении дисперсии по фор муле (173) можно избежать вычисления корней подынтегрального выражения, воспользовавшись для получения окончательного результата формулами, сведенными в таблицу 1.1. В’данном слу
чае т = 3, п —4, |
а |
|
|
|
|
|
||
«о = |
1. |
|
|
|
h ___£**<*№{W + Ң) |
|
||
аі = |
2 (t*e + |
Р). |
|
' |
||||
|
о |
%g'i |
||||||
в2 |
= |
— [(1*1 + |
хе) + |
(f*2 + ѵ?) + 4 9Рѳ1. |
K = 0 , |
|
|
|
а3 |
= |
2 1> (P-S + |
xe) + |
Po (P2 + vo)]. |
|
|
||
a4 = (p2 + vo) (P2 + |
хѳ)> |
h = o. |
|
|
||||
Подставляя эти значения коэффициентов а. и bj в формулу (1.119) и используя строку 4 таблицы 1.1, получим окончательный результат:
ЯоДд) Н- яоаяа4^і1 тс
DM*)]
S 4.3] |
УРАВНЕНИЕ 2-ГО ПОРЯДКА |
203 |
Как ясно из формулы (172), при вычислении Ка (т:) и D |
Іа (£)] |
|
нужно |
располагать только спектральными плотностями |
г$ (t) |
и Ѳ(£), которые часто аппроксимируются различными приближен ными выражениями, соответствующими недифференцируемым слу чайным функциям. Например, формула (2.13), широко используе мая в качестве аппроксимирующего выражения для корреляционной функции углов качки корабля, соответствует процессу, имею щему только первую производную, а в формулу (170) входят произ водные от Ѳ(t) до третьего порядка включительно. Несмотря на это, применение формулы (173) является допустимым и в данном слу чае, поскольку окончательный результат мало зависит от неточ ности, допущенной при аппроксимации S b ( tu) выражением, не допускающим дифференцирование необходимое число раз. (Функ ция Ѳ(t), как всякий реальный процесс, должна допускать диф ференцирование любое число раз.)
4. Особенности исследования некоторых других ГУ. Анало гичным образом исследуются и другие уравнения второго порядка, определяющие ошибку ГУ, т. е. приведенные выше уравнения (126), (127), (130), (136), и другие подобные уравнения. Отличие при исследовании этих уравнений может заключаться только в осо
бенностях правых частей равенств, |
осложняющих вычисление |
Кх ( т) или Sх ( ш) по вероятностным |
характеристикам входных |
возмущений.
Например, в уравнении (130) в правой части равенства стоит
I
слагаемое ~ң М (t), содержащее производную от возмущающего
момента. Предположим, что возмущающим моментом является момент сил сухого трения в оси подвеса, связанный с углом наклона основания ГУ Ѳ(t) (например, с углом бортовой качки корабля) соотношением
^T^C^signCÖ^)]. (4.177)
Сохранив в правой части (130) только последнее слагаемое, для функции X (t) получим
X(t) = ^-^{sign[Q(t)]}, |
(4-178) |
т. е. производную от недифференцируемой функции. |
Однако и |
в этом случае недифференцируемость функции, определяющей из менение момента трения со временем, связана не с существом за дачи, а с приближенностью замены реального момента трения разрывной функцией (177), и возникающие в связи с этой заме ной чисто формальные трудности могут быть устранены путем простых преобразований. Подставим для этой цели (178) в обіщее решение уравнения (150) (будем считать переходный процесс
