Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 274

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

204

ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМИ

[ГЛ. 4

закончившимся) и выполним интегрирование по частям. В ре­

зультате получим

СО

е~*Х(cos V — ^ sin Ѵ0Х) Qy sign [Ö (t — *)] dl. (4.179)

0

Таким образом, под знаком интеграла мы получим уже не производную от момента сил сухого трения, а сам момент

= <Vign Т О ].

(4.180)

совпадающий по виду с выражением (19). Поэтому для корреля­ ционной функции этого момента можно воспользоваться форму­ лой (36), которая для того случая, когда Ѳ(t) можно считать ста­ ционарной нормальной функцией, позволяет получить фор­ мулу (38). Следовательно, корреляционная функция выражения (180) определяется соотношением

к ш(х) = 2 -^ a rc sin ä ö (t).

(4.181)

Дальнейшее определение корреляционной функции и диспер­ сии не отличается принципиально от аналогичных выкладок, вы­ полненных в предыдущих параграфах для возмущающих момен­ тов, вызванных сухим трением.

Так, например (учитывая, что для сделанного предположения о виде случайной функции Ѳ(t), rn=0), возводя выражение (179) в квадрат и находя математическое ожидание результата, для дисперсии а (t) получим

СОСО

 

 

 

 

D [а (*)] =

\

(*‘+<2)(cos У х

^ sin У

(cos у 2 —

 

о

о

 

 

 

 

 

 

—^ sin Ѵг) к ш(*2 — *і) dtidt*.

(4.182)

Вводя новые переменные интегрирования

 

 

 

 

ty, —

“f

-

(4.183)

и интегрируя сперва по £, выражение (182) после подстановки (181) можно представить в виде

СО

X sin (ѵ0т 4 - у) arcsin kè (t) dx,

(4.184)

S 4.3]

 

У Р А В Н Е Н И Е

2-ГО П О Р Я Д К А

205

где введено

обозначение

 

 

 

 

'Д)

cos Y,

Р

sin у.

(4.185)

 

 

 

'V2 +

Вычисление интеграла (184) без принципиальных трудностей может быть выполнено численно.

Особенностью правой части уравнения (136) является то. что

функция Ѳ(t), играющая

роль

внешнего возмущения,

входит

в уравнение нелинейно, т. е.

 

 

 

X (t) = —

t / 2 COS -

Д -ё 2 (t) sin 2 к .

(4.! 8 6 )

V'

'f lg-

V'

'

Для вычисления корреляционной функции Кх( х) в общем слу­ чае уже недостаточно знания корреляционной функции процесса 6 (t), а необходимо располагать двумернъш законом распределения ординат этой функции. Однако в большинстве практически ин­ тересных случаев функцию Ѳ(t) можно считать нормальной (на­ пример, угол крена корабля, самолета), а в этом сдучае х (t) и Кх (х) однозначно определяются К$ (х). Действительно, на осно­ вании формулы (1.74) имеем

Л'іі (Д = —

d-A'ö(x)

d4Ä'e(x)

(4.187)

сМ

dx±

 

 

С другой стороны, учитывая, что

М [Ѳ(£)]=0,

на основании

формулы (1.41) получим

 

 

 

М [62 (t) Ѳ2 (t + t )J = 2К\ (т) + К\ (0).

(4.188)

Следовательно, применяя к выражению (186) операцию нахождения математического ожидания и учитывая (187), получим следующее выражение для математического ожидания х (t):

x(t)

ki

2 2 diKjji)

sin 2

К — const.

(4.189)

{72 c o s 2 <jp 2gi

dti

 

т = 0

 

 

Перемножая выражения

(186),

написанные

для моментов t и

f + x и находя математическое ожидание результата, с учетом (188) получим

М [X (*) X(t + X )] =

S i n 2Ж [2Kl (X) + К\ (0)].

(4.190)

Следовательно,

 

 

 

 

Kx (X) = М[Х (t) X(t + X)] -

é

s i n 2 2K •Kl (x)-

(4Л91)

Дальнейшее вычисление

моментов

случайной

функции a (t)

может быть выполнено по общим формулам (153),

(157) и

(158).

206

ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМИ

[ г л . 4

Например,

учитывая,

что в данном

случае р = С/с,

vQ= k \ J l — С2,

для D[a(Z)] на основании формулы (158) получим

 

 

D [« (01

k$zi s in 2 2 К

-{fc-t 'd*K„ (t)•

^oos k\J\ — C2 T+

 

4 t g ilJ i cos4 f

dxl

 

 

 

v'l -

sin/c\/l — C2

\di.

(4.192)

 

 

f-

 

 

Уравнение (131), не отличаясь по типу от уравнения (124), имеет ту особенность, что в правую часть равенства входят слу­ чайные функции 8S (і) и Ьѵ (t), которые могут не быть стационар­ ными. Предположим, например, что положение объекта опреде­ ляется путем интегрирования величины скорости, измеряемой, например, допплеровской системой с ошибкой е (/), которую можно считать стационарной случайной функцией времени с нулевым математическим ожиданием и заданной корреляционной функцией Кг (х). Сохраним в правой части равенства (131) только слагаемое,

содержащее

bS (t),

т . е. положим

aj;

 

 

x ( t ) = - 4 * b s w

(4.193)

 

 

 

или, учитывая, что

 

t

 

 

 

 

 

 

 

oS (t) =

^ e (x,) с/х,,

(4.194)

 

 

 

0

 

получим

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

о

(4.195)

 

 

 

 

Применяя к

(195)

формулу

(1.70), корреляционную

функцию

Кх (П> h) можно выразить через корреляционную функцию Кг ( т) но формуле

t2 St ! ^ ( х2 - ті) * А '

(4.196)

оо

Впоследней формуле, после введения новых переменных ин­

тегрирования

£=Ті 4 -т:2,

т=

т2 —тх, интегрирование по

I может

быть

выполнено,

и

мы

получим

 

 

 

{ ti

 

 

 

t\

 

к я (С -

Q = %

Ü

( t 2 -

х) AT, (т) d х + $ ( t , - X) кг(X) dx -

 

 

 

Ч)

 

t.—t ,

 

0

 

 

 

 

 

 

\

 

 

 

 

—

$

(ІЯ—

— X) AT. (x) dxl (*„>*,)■

(4.197)

 

 

 

 

o

 

)

 

§ 4.3]

У Р А В Н Е Н И Е 2-ГО П О Р Я Д К А

207

Поскольку рассматриваемая случайная функцию X (t) не является стационарной, применение спектральной теории или формул (157) и (158) в данном случае невозможно и нужно исходить из общей формулы (155) для корреляционной функции, положив

в этой формуле в соответствии с уравнением (131) ц= Z jfl ѵ0 =

= j / ß ( £ 0 + d) —-j- b2. Получаемая ври этом формула показывает,

что после интегрирования в выражении для дисперсии ß (t) со­ храняются полиномы от t, не содержащие экспоненциальных мно­ жителей, следовательно, D [ ß (і) 1 растет со временем.

Уравнения (132), (133) и (135) по своему типу также не отли­ чаются от уравнения (124), и следовательно, общие формулы, вы­ веденные для этого уравнения, остаются справедливыми и в дан­ ных случаях. Однако зависимыми переменными в этих уравнениях являются не отклонения оси гироскопа, а отклонения показаний ГУ от измеряемых величин. Поэтому характеристикой точности этих устройств является не дисперсия решения уравнения, а дис­ персия отклонения этого решения от измеряемой величины.

Рассмотрим

для примера уравнение

гиротахометра

(132),

в правой части

которого кроме основного

слагаемого

учтем

только член ргМт, определяемый моментом сил трения. Измеряе­

мой угловой скоростью в этом случае является

(t), и следова­

тельно, ошибкой гиротахометра е (£) является разность

в ( * ) = р ( о - й м * ) = 5 г аЧ ’

(4Л98)

где 8 «. — ошибка измерения угловой скорости.

Выразив из по­

следнего равенства ß (t) через е (t) и подставив в (132), получим уравнение для ошибок гиротахометра

ё + 2иСе + пЧ = — £ltft (t) - 2C ^ü,c(t) + PlMT.

(4.199)

Находя математическое ожидание правой части равенства, которую по-прежнему будем обозначать X (t), в данном случае не получим 0 , так как математическое ожидание ш (£) измеряемой

угловой скорости обычно не только не равно нулю, но и в наиболее интересных случаях является функцией времени, хотя разность (0 —й (t) обычно и можно считать стационарной. Таким обра­

зом, получим

* (*) =

(г) - 2 с £ б с (f) =

(t) - 2с £ й с {t),

(4.200)

Смотрите также файлы