Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

208

ГУ , О П И С Ы В А Е М Ы Е Л И Н Е Й Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И

[ГЛ. 4

i(t) =

C ^ ( t ) + Cß.(t),

(4.203)

где

«коэффициенты ошибок»

С ■в данном случае определяются

равенствами

г ______

(n\J 1 — С2 т)dz =

-

2 Äjt

1

геѴ'Г=Т* ^ те~я?т sin

геЗ

UJ

(4.204)

С, =

—

і х2е-ясі sjn (n\Ji — С2 т) dz =

2^'

— —.

2re V'l — £2

J

v

/

Ш

* ,( 4 = 3 ^ « - « ’ а а д -

(4.205)

Ь2

(4.206)

§ 4.3]

УРАВНЕНИЕ 2-ГО ПОРЯДКА

209

Исследование уравнения (133) не отличается от рассмотрен­

ного выше уравнения (132).

для вибрацион­

5.

Вибрационный гироскоп. Уравнение (135)

ного

гироскопа имеет специфическую особенность,

вызванную

о) (t) на гармоническую функцию sin Ш заданной частоты.

Обо­

значим по-прежнему правую часть уравнения

(135) через

X (t),

т. е. положим

(4.207)

X (t) = k^O'. (t) sin 2 1

цели в (207) случайную функцию

<о

(t) ее математическим ожида­

нием, т. е. положим

X (t) =

(t) sin Qt.

(4.208)

Подстановка последнего выражения в (153) дает

СО

я (t) — —- * 1

— ( е“?’,т<г>(£ —• х) sin 2

(t — х) sin (п \ / 1 — С2 х) di,

п VI — С2.J

^

(4.209)

где учтено, что

в

соответствии

с (135) в данном случае

=

ѵ() = п \ ] \ — С2. При

ffi = const интеграл

может быть вычислен и

мы получим

(4.210)

где

я (t ) — Ла^ sin (21 — ср0),

кі

.

2t.nO,

Л:

(4.211)

v^Qs — W + AnK^Qz

tg ?о:

■

2)2

я (t) — Аа (I.) sin (21— f),

(4.212)

i(t) = a{t) —

(4.214)

В том случае, когда со (t—т) можно

разложить в ряд Тейлора

ния, формулы

(213) можно представить в виде

а

(t) cos cp :

S2 — «2

\7(Q2 — «2)2 +

4re2C2ß2 c W —

2raC

[ ( r e 2 - p

Q 2 )2

_ _

4 Q 2 ( n 2C2 +

Q 2 ) ]

^

(t),

[ ( Q 2 —

re2 ) 2■■+ 4 ? l2 ^ 2 Q 2 ] 3A

w.

C

(4.215)

2иСй

c OO—

а (t) sin cp = V(Q2 — re2)2 + 4«2i2Q2

8re3Q3(i _ £ 2 )

7,

c (*)■

2

2)2

[(Q _

И

|_ 4nK2Q2]

Следовательно,

с указанной выше

степенью приближения

(4.216)

где обозначено

,

__ 2иС {(Ü2 — ге2) [(и2 + Q2)2 — 4Q2 {пК-

+

Q2)] — 8«3Q4 (1. _ £2)}

[(О2 — п2)2 +

4ге2№

] 2

(4.217)

,

_ 4ге2 {l6niQG (1 — С2)2 + С2 [(«2 +

й2)2 — 4Й2 (n-t2 +

Q2)J2}

° 2

[(Q2 — я2)2 + 4ге2С2й2]3

При wjno)', 1

радикал в (216) можно разложить в ряд,

считая первое

слагаемое в подкоренном выражении большим

212

ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ

ЛИНЕЙНЫМ И

УРАВНЕНИЯМИ

ГГЛ.

4

Т а к

к а к ф у н кц и я

со, (t)

п ред п олагается н орм альн ой ,

а

£

и

явл яю тся линейны м и

ком бинациям и

ординат

этой

ф ункц ии ,

то

(£,

ф я в л я е т с я

систем ой

н орм альны х

случайн ы х величин ,

плот­

ность вероятн ости

которы х

полностью

определяется

их м атем ати ­

ческим и ож и дани ям и

£,

дисперсиям и

o-,

и коэффициентом

ко р р ел яц и и г и

имеет вид

/ а

Ч):

2 т:о^а^ ѵЗ — г-

■ехр

1

(S -S )2

1

2(1

— r ’) L

а*

1

И -^ )-

2г (Е -Е Н ч-ч)

(4.223)

Определяя математические ожидания выражений (221),

по­

лучим

СО

S =

---- k-

f е-’^ш (t — т) cos 2 т sin (п ѵ/1 — С2 т) dz,

An VI — С2

J

О

(4.224)

Ч

, е-к!тй) U — т) sin 2 т sin (п \І 1

— С2 т) dz

An VI — С2 1

с

о

или с учетом (212)

и (213)

Ü=

а (£) cos ср,

rj =

а (t) sin

cp.

(4.225)

Д л я

нах о ж ден и я вторы х

моментов

случайн ы х величин

£

и

rj,

вы чтя предварительн о из

равенств (221)

равенства (213)

соответ­

ственно, у ч и ты вая

обозначения

(2 2 2 ),

возводя в квад р ат

и

п ер е­

м н ож ая

полученны е

равен ства,

после

определения

м атем атиче­

ски х ож иданий будем иметь

а 2

-

\

у

5 Л2ге2 (1 —С2)А

СОсо

X

J J e-’W'+^Ku'. (

— т,) cos 2 tj cos 2 т, • ср (т1;

т2) d z Ldz,,,

СО СО

(4.226)

^

\

\ e^

i W ) K ^

(Х2 --- Xl)

S^nЧ

^ X1

^ X2

* T (Xl»

X2) d z }dT.,,

0

0

n>\

4 /

^ _

i

Г ~ ^

Л 2 Л2 ( 1 - ? 2 ) X

COCO

X

^

J е-п^ч+ч)Ка<(T 2 — T j)

sin

йтг cos 2 t 2

• cp (t1?

t 2 ) dzxdz2,

о

о