Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 278
Скачиваний: 1
§ 4.3] У Р А В Н Е Н И Е ! 2-ГО ПОРЯДКА 213
Одно из интегрирований в (226) может быть выполнено неза висимо от вида корреляционной функции КШІ. (х); для выполнения
второго интегрирования необходимо задать ^явный вид этой функции.
Для математического ожидания а (t) случайной функции А (t) имеем
0 0 |
СО |
|
« ( * ) = $ |
$ \/¥ + rf / (£, Т]) dl d-ц, |
(4.227) |
— СО — СО
где / (£, rj) определяется (223). После перехода от прямоугольных координат 6, rj к полярным £= р cos ф, tj= р sin ф одно интегри рование в (227) может быть выполнено, второе же интегрирование без принципиальных затруднений выполняется численно. Разность \а (і)—ffi (£)] характеризует систематическую ошибку рассматри
ваемого метода определения угловой скорости. Для нахождения дисперсии измеренного значения скорости А (і) имеем
D № ) ] - М № ) - ä (і) ] 2 = °! + - [ä (г) ] 2 + É2 + п \ (4.228) |
|||
где [а| |
и |
определяются формулами (226), |
ä(t) — выражением |
(227), а |
I |
и т] — формулами (225). |
|
Итак, мы исследовали ошибки нескольких характерных типов |
|||
ГУ, уравнение которых имеет вид (124), т. е. |
вид трехчленного |
||
линейного неоднородного дифференциального уравнения ^второго порядка с постоянными коэффициентами. Исследование точности других ГУ, описываемых уравнениями подобного же типа, произ водится аналогичным образом.
6. ГУ, описываемые двучленным^уравнением второго по рядка. Перейдем к рассмотрению двучленного уравнения второго порядка, т. е. уравнения типа (137), которое может быть получено из уравнения (124), если в последнем положить ах=0. Для определения решения уравнения (137) достаточно в общей
формуле |
(150), дающей решение |
уравнения (124), положить |
р = aJ2 = |
0 , v0 — \Ja2, после чего получим |
|
|
|
t |
а (t) = а (0) cos v0f — â (0) sin v0t + |
— \ X (t — x) sin v0x dx. (4.229) |
|
|
Vo |
v0 J |
|
|
0 |
Отсутствие у внеинтегральных членов в (229) множителя е~п приводит к тому, что слагаемые, содержащие начальные условия, не затухают с течением времени, а отсутствие этого множителя под знаком интеграла^приводит (за ^исключением некоторых особых случаев) к росту дисперсии а (t) с ростом t. Действительно, находя
214 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМ И УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4
математическое ожидание обеих частей |
равенства (229), |
имеем |
|
ä (t) = М [а (0 )] cos ѵ0£ -}- |
М [â (0)] sin vQi + |
|
|
|
t |
|
|
|
о |
—x) sin v0tdx. |
(4.23Ü) |
|
|
|
|
Если функция X (t) стационарна, то |
выполнение интегриро |
||
вания дает |
|
|
|
« (t) — М [а (0 )] cos v0i + |
— М [â (0 )] sin vut + |
4(1 — cos V ) x - |
(4.231) |
|
vo |
vn |
|
Таким образом, если математические ожидания начальных значений а (t) или производной а (t) отличны от нуля, а также и в том случае, когда х=+0 , математическое ожидание â (t) будет изменяться по гармоническому закону. Применяя к равенству (229) теорему о дисперсии суммы, считая при этом, что а (0 ) и а (0 ) — независимые случайные величины, находим формулу для диспер сии отклонения а (t):
D [« (01 = D [а (0)] cos2 v0f + |
4 D [а (0)] sin2 v0i + |
|
|
t |
t |
0 |
|
+ + П K* $ ~ |
~ x^ sin v°Xl sin vox2dtidx2 - |
(4.232) |
|
0 |
0 |
|
|
Наконец, если функция X (t) стационарна, то, введя новые переменные интегрирования х= г2 —-с1; 5 — т 2 + хі, одно интегри рование можно выполнить и последняя формула примет вид
D [а (*)] = |
D [а (0)] cos2 v0t + 4 |
D [а (0)J sin2 у + |
|
|
||||
+ І |
r |
S Kx ^ |
C0S v d x + |
( 2 + S K* W sin V dx ) cos 2 V - |
|
|||
ü I |
о |
|
S K* |
\ |
0 |
/ |
|
|
|
|
— |
2 + |
) cos vox dx ) sin 2 v0£ + |
|
|
||
|
|
|
+ |
S K*^ |
(2 + |
sin voT — x cos v ) |
dx • |
(4.233) |
|
|
|
0 |
|
|
> |
|
|
Если промежуток времени t, прошедший после начала работы рассматриваемого ГУ, настолько велик, что Кх ( t) ^ 0, то верхние пределы интегрирования в формуле (233) можно принять равными оо, и мы получим окончательно (см. [в4])
D [«(0] = пг cos 2v0t + п sin 2 v0£ + с0 + с+ |
(4.234) |
§ 4.3] УРАВНЕНИЕ 2-ГО ПОРЯДКА 215
где |
введены обозначения |
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
т = |
Y {—4г D [* (0 )] + D [<* (0 )]} + |
2 ^|- J Кх (х) sin vox dx, |
|||
|
CD |
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
^ = |
— 2^8 \ к *№ COS v0xdx = |
— ^ 5 я (ѵ0), |
|||
|
о |
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
(4.235) |
|
Щ \ К* W t sin ѵоХ~~ 2х cos ѵох) dl |
||||
со = |
+ |
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
+ y{D [a(0)] + ^Dl&(0)]}, |
|||
|
со |
|
|
|
|
С 1 = |
т г \ к х (х) cosv0x dx = |
— n S x (Ѵ0), |
|
||
|
ѵ 0 J |
ѵо |
|
|
) |
|
О |
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
а переход от j Kx(т) cos ѵ0т dx |
к |
S x (ѵ0) |
совершен на основании |
||
|
о |
|
|
|
|
формулы (1.96).
Применим полученные формулы к исследованию точности нескольких ГУ, описываемых уравнениями типа (137). В качестве первого примера возьмем уравнение (138) гиромаятника без демп фирования, в котором предположим, что возмущающие моменты М х и М г вызываются силами жидкостного трения, моменты которых
определяются, согласно (2.95), формулами (пренебрегая â и (3 по сравнению с Ѳ и ф соответственно)
Mx — nj){t), М2 = п2ф(і), |
(4.236) |
где Ѳ(t) и ф (t) — углы наклона основания ГУ (например, углы качки корабля) — стационарные некоррелированные случайные функции. Для дисперсии ошибок гиромаятника формулы (234) и (235) в этом случае полностью применимы, если заменить v0~ k , причем так как в соответствии с (138) и (236)
X (t) = qknß (t) -f- qn$ (t), |
|
(4.237) |
|
то |
|
(х), |
|
Kx (т) = |
(т) + |
(4.238) |
|
s x И = |
q2k2n2y s ^ (cd) + ^nfcD4^ |
(ш). |
(4.239) |
В качестве второго примера рассмотрим уравнение (140) для отклонения инерциальной вертикали с периодом Шулера (без демпфирования), считая, что возмущающий момент М л вызывается
216 |
ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ |
[ГЛ. 4 |
силами сухого трения и, следовательно, определяется формулой
Л/г = (> sign [0(01- |
(4.240) |
Подставляя в формулу (229) X (t)=dM1fdt и интегрируя по частям, получим (начальные значения я (0 ) и â (0 ) будем считать
нулевыми)
t
я it) — — Q sign [б (£)"] sin ѴЧ- *? J sign 0 — x)]cos vox ^x- (4.241)
о
Коэффициент у sinv0£ в первом слагаемом полученного ра венства является случайной величиной, принимающей два зна чения +С?/ѵ0 и —О/ѵ0, вероятности которых можно принять оди наковыми. Второе слагаемое отличается от интеграла в (229) только тем, что под знаком интегрирования стоит не sinv0T, a cos ѵ0т, причем роль функции X (t) в данном случае играет
Xj (t) ~ v0<? sign [6 (г)]. |
(4.242) |
Следовательно, для получения D [я (t) ] в данном случае при менимы те же выкладки, которые были сделаны выше, однако окончательные формулы будут несколько отличаться от формул (234) и (235) в основном коэффициентами. Входящая в эти формулы корреляционная функция случайной функции X t (t) может быть выражена через Кц (т) так, как это было сделано в § 4.1 для мо мента сил сухого трения.
В качестве третьего примера рассмотрим уравнение (142) для ошибки инерциальной вертикали, вызванной смещением нуля акселерометра ЪаУі и дрейфом первого интегратора е (t), для кото рого примем формулу
e ( t) = e :t, |
(4.243) |
причем ех и ЬаѴі будем считать некоррелированными случайными величинами с известными математическими ожиданиями и задан ными дисперсиями.
Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что в пра вой части уравнения, не отличающегося от уравнения (137), вместо случайной функции появились случайные величины. Тем не менее общий ход вычислений остается прежним. Подставляя в (229)
Ч*) = Ж $ а* + еЛ ' |
|
(4.244) |
|
учитывая, ?что в данном случае |
ѵ0 = ѵ, а я = |
(3, и считая |
началь |
ные условия нулевыми, получим |
|
|
|
t |
+ (*—X)1 s i n |
|
|
Р ( 0 —-7 \ Г И ’- |
ѵх й т » |
(4.245) |
|
о |
|
|
|
