Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Выражения (247) и (248) существеннощтличаются от аналогич­ ных выражений (231) и (234), полученных для того случая, когда в правой части уравнения типа (137) стоит случайная функция времени.

Особенно существенное отличие имеет место для дисперсии: при наличии в правой части уравнения стационарной случайной функции дисперсия, помимо осциллирующих членов, содержит слагаемые, зависящие от времени линейно, в то время как наличие случайной величины ЬаѴ[ приводит к возникновению только коле­ бательных слагаемых, а случайная величина ех, входящая в правую часть уравнения (142) в виде множителя у і, (т. е. s—ехі) добавляет

квыражению дисперсии слагаемое, квадратичное относительно t.

Втом случае, когда ошибку е (і) нельзя представить в виде произведения случайной величины на время, а нужно рассматри­ вать как нестационарную функцию времени, математическое ожи­ дание и корреляционная функция ß (і) могут быть найдены по общим формулам (153) и (156), в которых в данном случае следует положить р =0, ѵ0 =ѵ. Упрощение вычислений в этом случае в об­ щем виде уже невозможно, и для получения окончательного от­ вета необходимо располагать видом корреляционной функции и

математического ожидания правой части уравнения.

7. Общие свойства решения линейного уравнения второго порядка. Итак, рассмотрение линейного дифференциального урав­ нения второго порядка с постоянными коэффициентами показы­ вает, что математическое ожидание и корреляционная функция (или дисперсия) ошибки ГУ, описываемых уравнениями подоб­ ного типа, могут быть вычислены, если известно математическое ожидание и корреляционная функция правой части этого урав­ нения, характеризующей действующие на ГУ возмущающие мо­ менты.

В заключение отметим, что задача определения закона распре­ деления решения уравнения второго порядка, рассматриваемого в данном параграфе, решается просто только при наличии в правой части уравнения нормальных случайных функций и нормальных случайных величин. В этом случае закон распределения решения

218 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4

уравнения будет также нормальным и для его характеристики достаточно располагать математическим ожиданием и корреля­ ционной функцией решения, определение которых подробно было рассмотрено выше.

Если правая часть уравнения (124) не является нормальной, то закон распределения решения уравнения также не будет нор­ мальным и его определение возможно только приближенное, например, с помощью использования ряда Шарлье (1.44), коэф­ фициенты которого содержат моменты ординат решения уравне­ ния (124) более высокие, чем вторые. Выражения для этих моментов могут быть получены из формулы (152) (или общей формулы (150)) тем же методом, каким были получены формулы для математиче­ ского ожидания и корреляционной функции (дисперсии) решения уравнения, однако кратность интегралов, через которые выра­ жаются эти моменты, повышается с ростом порядка момента, а в подынтегральные функции входят моменты правой части уравнения до того же порядка, что и вычисляемый момент.

Все это делает задачу определения закона распределения ре­ шения уравнения (124) значительно более сложной, чем опреде­ ление первых двух моментов решения, необходимых для приме­ нения корреляционной теории случайных функций при анализе точности ГУ. В большинстве практических задач результаты корреляционной теории позволяют дать ответ на основные воп­ росы прикладной гироскопии и необходимость в определении за­ кона распределения ошибок ГУ не возникает.

§ 4.4. Система двух уравнений первого порядка, сводимая к одному уравнению первого порядка

скомплексными коэффициентами

1.Примеры ГУ, описываемых уравнениями данного |типа.

Характерной особенностью ряда гироскопических устройств яв­ ляется то, что они описываются системой двух дифференциальных уравнений первого порядка, обладающих симметрией, позволяю­ щей путем простых преобразований свести систему двух уравне­ ний к одному уравнению первого порядка с комплексной зависимой переменной и комплексными коэффициентами.

Уравнения этого типа в общем виде можно записать следую­ щим образом:

где коэффициенты ах и а2 и правые части уравнений Fx (t) и F2 (t) являются случайными или детерминированными функциями вре­ мени.

§ 4.4] СИСТЕМА ДВУХ УРАВНЕНИЙ 1-ГО ПОРЯДКА 219

Умножив второе уравнение системы (249) на мнимую единицу і

эквивалентна одному уравнению первого порядка, коэффициент которого, правая часть и зависимая переменная являются ком­ плексными величинами.

Ксистеме уравнений (249), а следовательно, и к уравнению

(252)сводятся уравнения движения различных ГУ.

Так, например, система уравнений (3.84) для гиромаятника в рамках прецессионной теории с учетом возмущающих момен­

точки подвеса маятника.

Система уравнений (253) аналогична системе (249) и, следова­ тельно, может быть сведена к уравнению типа (252).

Если в ГМ для осуществления демпфирования используется коррекция от физического маятника с линейной характеристикой, определяющего углы отклонения оси гироскопа от вертикали с ошибками ул (t) и у2 (t), то система уравнений движения гиромаят­ ника принимает вид [см. (3.86)]