Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

4.4] СИСТЕМА ДВУ Х УРАВНЕНИЙ 1-ГО ПОРЯДКА 223

и для гировертикали с линейной маятниковой коррекцией

\

â + ха — coß = -JJ- М ѵ

(4.276)

ß + xß + <оа — ~ң М ѵ

где М х и М 2 — моменты, вызванные различными возмущениями. И система (275) и система (276) путем введения комплексной

переменной 8 = a - fiß сводятся к уравнению типа (252).

2. Вывод общих формул. Вернемся к рассмотрению уравне­ ния (252). Несмотря на то, что коэффициенты и правая часть этого уравнения являются комплексными, его общее решение можно записать в обычной форме решения линейного уравнения первого порядка

где 8 (0) — начальное значение переменной 8 (t) на основании (251) связано с начальными значениями углов а и ß соотношением

Уста овим связь между первыми двумя моментами ординат случайной функции 8 (t) и моментами ординат случайных функ­ ций а (г) и ß (t).

Находя математическое ожидание обеих частей равенства (251),

т. е. A(t) есть вещественная, а ß(t)—-мнимая части комплексного выражения 8 (t):

При нахождении вторых центральных моментов ординат слу­ чайной функции 8 (t) необходимо иметь в виду, что вследствие комплексности ординат этой функции под вторым моментом в дан­ ном случае можно понимать или математическое ожидание произ­

ведения [8*(^) — 8* (іг)] [8 (£2) — 8 (£2)], как это делается в соответ­ ствии с формулой (1.62) при определении корреляционной функ­ ции K s (tj, t 2) комплексной случайной функции, или математическое

ожидание произведения [8 (£х) — 8 (^)] [8 (t2) — 8 (£,)], которое можно рассматривать как взаимную корреляционную функцию 8* (іг) и 8 (t.2),

т. е. как Rm{tlt £2). Выражая в обоих этих произведениях 8 (t)

Формулы (294) и (296), совместно с формулами (287), (288), (289), определяют корреляционные функции и взаимную корреля­ ционную функцию случайных функций а {£) и ß (t), характеризую­ щих поведение ГУ в данном случае. Входящие в эти формулы кор­ реляционная функция Кх (tv t2) и взаимная корреляционная функ­ ция R x*x (tv t2) в соответствии с обозначениями (290) могут быть выражены через корреляционные функции KXl (tv t2) и КХг (fx, i2) вещественной и мнимой части правой части уравнения (252) и взаимную корреляционную функцию RX]Xi (tu t2). Выполнив про­ стые преобразования, имеем

Таким образом, задача определения первых двух моментов ординат случайных функций а (it) и ß (t) при неслучайном коэф­ фициенте а (і) уравнения (252) может быть решена в общем виде независимо от характера закона распределения правой части уравнения, а для получения окончательного числового результата достаточно знать только первые два момента ординат случайной функции X (t).

Положение меняется, когда коэффициент а (t) является случай­ ной функцией времени.

Формулы (287), (288), (289) справедливы и в этом случае; также справедливой остается и формула (291), дающая общее решение уравнения (252), однако связь между моментами 8 (t) и моментами ординат функций X (£) и а (t) в этом случае значительно услож­ няется. Действительно, так как функция <р(t), определяемая фор­ мулами (290), теперь является случайной, то из формулы (291) уже не следуют формулы (292), (294) и (295), вычисление корреля­ ционных функций K s (tv t2) и i?8*8 (tv t2) в общем случае значи­ тельно усложняется и простые результаты удается получить только, когда функции U (t) я V (t) являются нормальными.

Рассмотрим этот случай подробнее.

Так как в соответствии с (290) ^ (<) и <р2 (t) являются интегра­ лами от нормальных случайных функций U (t) и V (t), то они также являются нормальными, а закон распределения их ординат полностью определяется их математическими ожиданиями, корре­ ляционными функциями и взаимной корреляционной функцией, т. е. величинами, связанными в соответствии с (290), (1.69) и