Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 286

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

4.4 СИСТЕМА ДВУХ УРАВНЕНИЙ 1-ГО ПОРЯДКА 227

(1.70) с й (t), V (г), Ка (г1( г2), К с (tl7 г2) и Ruv (^, *2) соотношениями

г t

 

?і (t) =

\ ü

(h) dtv

f 2 (t) = j г (fx) dtv

(4.299)

 

 

о

 

/ 2

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(^l*

^2) =

J j

(Xl>

"^2) ^X1 ^X2 >

 

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

/j /l

 

 

(4.300)

 

(^ii

^2) =

^

^

(xi>

хг) ^xi^x2 >

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

(^1 > ^2) =

J

^

(Xl>

Хг) dlydl2.

 

 

 

 

 

о

0

 

 

 

Вернемся к рассмотрению выражения (291) и будем считать,

что 8 (0) не зависит от ординат случайных функций <р(t)

и X (t).

Для удобства дальнейших выкладок введем новое обозначение,

положив

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф {t, ty) — J а (i2) dt2=

[срх (t) — <рх (*х)] +

і [<pg (t) — ? 2 («i)J =

 

 

 

 

 

 

= ® і(*.

к) + іФ2(і, t,).

(4,301)

В этих

обозначениях

формулу

(291)

можно представить в виде

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

8 ^) = 8(0)е-ф(^°) +

J er+ V '^X fä d t^

(4.302)

 

 

 

 

 

 

о

 

 

Функция Ф (t, tj), как интеграл от нормальной случайной функ­

ции, является также нормальной, т.

е. ее вещественная часть

Фх (t, ^)

и мнимая часть Ф2

(t, ft) при фиксированных значениях

аргументов t и образуют систему нормальных случайных вели­ чин, закон распределения которой полностью определяется мате­ матическими ожиданиями

Фі(*. <1 )= М [Ф 1(«,

h)\,

<?2(t, tj) = M[Ф2 {t, tx)]

(4.303)

и элементами корреляционной матрицы

 

k^(t, ^ ) = М { [ Ф у («,

tJ — Vjit, *і)][Ф,(*. tj — <p,(t, f,)]}

 

=

2).

(4.304)

Вычисляя математическое ожидание обеих частей равенства (302), получим

t

 

8 (f)= S (0)М[е-ф^ ° ) Ң - J М[ e ^ ^ ^ d X { t x)]dtv

(4.305)

о

 

1 5 ’

228

ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМ И

[ГЛ. 4

Для вычисления математических ожиданий экспонент, входя­ щих в (305), используем формулу (1.31), определяющую харак­ теристическую функцию системы случайных величин

I

і 2

u j X j J

 

Е(иѵ и2, . .., ви)= М \е

j=x

J,

(4.306)

и будем рассматривать искомые математические ожидания как характеристические функции или производные от характеристиче­ ских функций при соответствующих значениях их аргументов.

В соответствии с вышеизложенным имеем

м [е-Ф(мг, =

М [в-®.«, 0)-<**(*. 0)] =

ЕФіФ2 (иѵ щ) |ei_<t Иг=_ъ

(4.307)

М

'•)X ft)J =

М {е~ф' (*> <«>-<**(*, ^[Х , ( f x) + іХ2( f x) ] } =

 

1

д „

.

Ко) I .

. +

д

Е.Ф,Ф2Х.

К -

В ,, Во

 

= Т лГ3Лф«фА (“і’

о/

ім1==г, м2= —1 1

дао

 

«з=0

 

 

 

 

м3=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.308)

Используя

формулы

(307),

(308) и

общую

формулу

(1.34)

для характеристической функции системы нормальных случайных величин, вместо (305) получим

& ( 0

= 8 (0 ) e*p{-f * и (*>

 

°) +

^ ф (г,

0 ) —

 

 

 

 

 

if

 

 

 

 

— Фі(*. 0 ) — гср2 (г,

0 )} +

j exp {уА£(*, fx)—

 

 

 

 

о

 

 

 

 

—

іх) + **&(*,

ti) — ?i(«,

h) — i$2{t, fx)} x

 

X {

RfiXi (fl, tl)

 

(fX,

^i) +

(^x) —

 

 

 

і/?,рЛ (fx, itj) -f-

(t\, t\) -|- ix2 (^x)) dix,

(4.309)

где

Kjf{tv t2) (;',

I = 1 , 2 ) — корреляционные

моменты

случайных

величин ФДі, fj) и Ф2(£, t2),

а 7?TlX„

й тл и

— взаимные

корреляционные функции функций Ax(£),

X2{t)

и функций Ф, (t, 2 Х),

Ф2(£, tx) соответственно, рассматриваемых как функции аргумента^ (при фиксированном значении аргумента t).

Аналогичным образом могут быть вычислены и вторые моменты функции §(£), необходимые для определения корреляционных

функций а (t)

и

ß (t) по формулам (287),

(288), (289).

Например,

для К~ (tv

t2)

имеем (будем считать для

простоты 8(0)=0)

Kt (tv t9) =

 

tj

 

 

 

j

j M

{ f (*-.)-фс*.^) X

 

 

 

0 0 X

[ Г (Xj) - я? К )] [А (Т2) _

г (х2)]} d h d h .

(4,310)

§ 4.4] СИСТЕМА ДВУ Х УРАВНЕНИЙ 1-ГО ПОРЯДКА 229

Входящее под знаком интеграла математическое ожидание может быть выражено через характеристические функции нормальной

системы случайных

величин

Г1 = [Ф1

(і1, т,) -ф- Фх (t2,

т2)],

F, =

= [®г(^2> хі)

®2(^2>

хг)]>

(хі)

®і(хі)> ^4 — -^гСв)

^2(хі)>

F8 = X1 (t2) — ^(т,,),

Fв ——Х 2(Х2) —

так жѳ> как аналогичные

выражения в формуле (305). Окончательный результат

имеет вид

t-l

1

 

 

 

 

 

К І (tv k) = S

$ exp jy №n — Lk$2 — ikf2 — уг + іуг} X

 

 

о

о

 

 

 

 

 

 

 

X [А& +

Afe — Ік«ъ+ Щй] d^dx2,

 

(4.311)

где элементы корреляционной матрицы \Щг\ системы случайных величин Yj выражаются через корреляционные функции и взаим­ ные корреляционные функции случайных величин Ф .(£;, zk) и Xj(tlf zk) (j, к, l — 1, 2). Аналогичным образом вычисляется и Rs*&(ti, t2).

Итак, в том случае, когда коэффициент a (t) уравнения (252) и правая часть уравнения являются нормальными случайными функциями, вычисление вторых моментов решения уравнения для 8 (t) сводится к интегрированию функций от корреляционных функций и взаимных корреляционных функций случайных функ­ ций, входящих в исходную систему уравнений (249). Окончатель­ ные вычисления упрощаются в том случае, когда эти функции являются стационарными.

Рассмотрим применение полученных выше общих формул к ис­ следованию конкретных ГУ.

3. Гировертикаль с маятниковой коррекцией. Начнем с рас­ смотрения системы уравнений (271) ГВ с маятниковой коррекцией. В этом случае коэффициент а есть постоянная, определяемая фор­ мулой (273) и ж=0. Следовательно, применимы формулы (292), (294) и (295), на основании которых для математического ожида­

ния § (t),

корреляционной функции К ь (t,

і) и взаимной корреля­

ционной функции i?8*s

(t, t) получим

 

 

 

НН

 

 

Щ = т

«Г

(со,

f -Н sin ^

<) .

я ,( 1 , <) =

, 2 (Я2 +

•" н н

 

 

 

2НН

 

 

 

{D[»(0 )J+ D [P (0 )]>c W+n1

+

(4.312)

Ü ,

Г

г

НН (і — т)

 

іхпН

dz,

Re [еИ1+пі K M

в2) „ Н‘

1 sh

 

ячп‘

 

: Я 2 + га2

е

 

 

 

 

 

 

230 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И У РАВНЕНИ ЯМ И ' [ГЛ. 4

R s n (ti t)

2 /P x

{D [а (О)] - D [ß (0)]} e~™

 

ff^x—inßx

t

Я2 + га2 e

 

 

ячѵ ' *

 

Я2* — itfnx

 

о

 

 

 

 

. VНН (t — t) .

 

i ch -

Я2

,—=- sin

 

+ геЗ

 

(cos

* sin H2 +

П2

 

 

 

 

г)+ '

sh g2x^ ~ T) OOS

# "(« -* )*

Sn # 2 + „ 2

C0S

# 2

+ „ 2

Hn (t — т) X

( ^

-

(4-313)'

Яv2 +И2

} д л

Применение формулы (287) дает, например, для дисперсии я(і)

 

2 Я ’ х

 

 

 

 

 

 

 

D [*(<)] =

е ЛЧя! D[a(0)] +

 

 

 

 

 

 

 

Е>х

( р*

 

 

іпЯх

 

 

 

Я2 + га2 ~ и* +п- t

Re j sh

т + п*

еЕЧп1' Kx {,)dx

+

 

НН

 

НН

Іо

 

 

 

 

 

 

 

»яЯх

^

^

 

 

 

 

+ -^ e

**♦■»* 'Re j(Я + in) eR2+”2 *j Fsh

Я2 + n2

cos

Я2 +

~ t)

 

'

 

0

 

 

П2

 

 

 

 

 

 

 

 

ch-^

2- 4 ^ 2- s

i

n (

t ) d

x }•

<4-314>

Последняя формула показывает, что при достаточно большом t дисперсией угла а (t), вызванной разбросом начальных значении а (0 ) и ß (0 ), можно пренебречь, а дисперсия, вызванная правыми частями системы (271), будет содержать слагаемые, меняющиеся по-

„

геЯх

гармоническому закону с частотой

-ң—^~ъ. Окончательный расчет

D [а (0 ] требует задания конкретного вида корреляционных функ­ ций и взаимных корреляционных функций правых частей си­ стемы (271).

4.Гиромаятник. Поведение гироскопического маятника оп­

ределяется системой (253), в которой положим М г—М г—0,

<р(£)=0, т. е. будем исследовать ошибки ГМ, возникающие только вследствие наличия линейных ускорений точки подвеса. Компо­ ненты ускорения точки подвеса в соответствии с формулой (3.85) линейно выражаются через производные от углов, определяющих положение в пространстве объекта, на котором установлен ГМ, и производные от координат центра тяжести объекта (например, от углов качки корабля и координат центра тяжести корабля — для случая установки маятника на корабле), которые будем считать стационарными. Поэтому корреляционные функции Кю(г),К„ (с),К,к (т)

и взаимные корреляционные функции Дю^ (т), Д «^„Д-с), Д

(т) бу-

Смотрите также файлы