Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 285
Скачиваний: 1
§ 4.4] СИСТЕМА ДВУХ УРАВНЕНИЙ 1-ГО ПОРЯДКА 231
дем считать известными, а математические ожидания компонент уско рения примем равными нулю. В соответствии с обозначениями, при
нятыми в системе (249), и формулами (251), в данномслучае а2= |
0, аг= |
|||||
— к і + 7 ^ с(0 |
М г) |
= |
- |
~ FA t)— T Wi(t) и> следова |
||
тельно, |
|
|
|
|
|
|
x(t) = - |
j W |
n(t) + t ^ w A t ) , |
(4.315) |
|||
Х |
г ^ - |
j W |
^ t ) , |
X,(t) = j W , ( t ) . |
|
|
В данном случае коэффициент а (<) является случайной функ цией времени и, следовательно, должна быть использована фор мула (302) и вытекающие из нее формулы (309) и (311). В соот
ветствии с обозначением (301)
t
Ф (f, t1) = l k { t - t 1) + l ± \ W : (t2)dt2 = i<l>2(t, *і), (4-316) h
т. e. функция Ф (t, tj) имеет только мнимую часть. Учитывая, что
^1 = ^2 = ?1 = |
Ф2(В f l ) = * ( f — fl), ^ n = * f 2 = 0 > |
|
t\ tl |
^22 (fp f2)— ^ ^^ю t2tt
с (Т 2 X^dx^T2
в соответствии с обозначениями, принятыми в (309), и учитывая, что в данном случае
|
|
(—t, |
|
|
|
t—tl |
|
|
|
г |
(X) |
|
^l)~ |
£2 |
Г |
|
|
J |
|
"g2 |
J |
||
t |
t |
0 |
|
|
t |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
J \ |
( x 2 |
— Ti) |
Wx 2 = 2 |
$ (f — x) Kwt.(x) dx, |
|||
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
получим
§(t) = 8 (0 ) exp
+7 5 e
t |
t |
|
|
— 2 7 J j K«X(T2 — ^i) d^dxz — ikt + |
|||
0 |
0 |
t |
t |
|
|
||
x |
p |
5 j K ^ - x J d x J x , X |
|
t—t, |
|
t, |
t, |
|
|
t—t\ |
|
x j - f J R ^ ' W d x - 5 |
(4.317) |
0
232 |
ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМ И |
[ГЛ. 4 |
т. е. на основании (280)
<х(t) == [а (0 ) cos kt р (0 ) sin kt] exp j —— ^ (t — x) Km^(x) dxj —
- |
5 і |
ехр { - 5 І (Хі“ т)^ |
(т^ т} х |
|
|
||
*i |
0 |
* |
0 |
' |
|
|
|
— |
Й П*Г (X^ RaC0^4S^ |
S+in ÄXJ |
dX^ |
1’ |
|||
X 0 S [ |
|||||||
ß (t) = [—<x(0) sin kt -f- ß (0) cos kt] exp j ——■j (t — x) Kw (x) dxj — |
|
||||||
— J? J exP |
— J r j (Ti — T) |
(x) * } X |
|
|
|||
|
0 |
i |
0 |
' |
|
|
|
X J [-- /Ц.ОС (x2) COS /txj -f Дщгв/. (x2) sin ÄxJ d x ^ . |
(4.319) |
|
|||||
Первые слагаемые полученных равенств определяют зависи мость математических ожиданий отклонений оси гиромаятника от математических ожиданий начальных значений этих отклонений. Так как показатель степени у экспоненты, стоящей множителем у этих слагаемых, при достаточно большом t может быть предста влен в виде
t |
00 |
|
J (t - X) Kw (x) dx » — |
( 0 ) f + - ^ $ хКщ (X) dx |
(4.320) |
0 |
0 |
|
CO |
|
|
(где учтено, что ^ К (х) dx = k S (0)), |
то в том случае, |
когда |
о
iStüj (0) =^= 0, слагаемые, зависящие от начальных отклонений оси ГМ, будут затухать с увеличением времени несмотря на то, что в ис ходных уравнениях движения предполагалось отсутствие слагае мых, связанных с наличием демпфирования. Когда W (t) является производной от стационарной случайной функции V^ (t), то в со
ответствии с формулой (1.97) SW(. (ш) == о>2£„с (ш) и, |
следовательно, |
'S'toc (0) = 0. В этом случае слагаемые в формулах |
(318) и (319), |
зависящие от математических ожиданий начальных отклонений, не затухают со временем. Однако этот случай имеет только теорети ческий интерес, так как вертикальное ускорение точки подвеса маятника, кроме слагаемых, учтенных в формуле (3.85), содер жит компоненту центростремительного ускорения, квадратичную
относительно угловых скоростей Ѳ(t) и ф (if) [см, (2. 33)]. Поэтому
§ 4.4] |
СИСТЕМА ДВУХ УРАВНЕНИЙ 1-ГО ПОРЯДКА |
233 |
W (t) нельзя рассматривать как производную от стационарной функции, и следовательно, SWt. (0)^=0.
Учитывая формулы (310), (311) и аналогичную формулу для jRs»s (£г, і2) при t1 = t2~ t, после простых преобразований получим
Kt(t, |
t) = M[|8(0|2]-[S(«)]a= |
|
|
|
||||
|
|
І |
|
|
|
|
|
|
|
= |
- ^ 5 (t - X) F (x) {[7Ц (x) + Кщ (x)j cos kx + |
|
|||||
|
|
+ \Rw ^ |
(y) — RWiwnMJ Sin kx} dx — I § (t) I2, |
(4.321) |
||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
R m (t,t) = ± \ F (x) { [ R ^ |
(x) + R w^ |
(t)] - |
|
|
||||
|
- t [KWn °(x) - |
7Ц (T)]} |
- |
e**] dx - |
[ 8 (t)f, |
(4.322) |
||
где введено обозначение |
|
|
|
|
||||
|
|
F (t)— exp I |
J (t— t) KW: (t) d x \ . |
(4.323) |
||||
|
|
|
|
!■ |
о |
|
' |
|
Применяя формулы (321) и (322) и учитывая формулы (287), |
||||||||
(288), |
(289), |
например, |
для дисперсии углового отклонения а (t), |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D [а (0] = |
"2 |
[ - ^ 8 (*’ 0 _Ь^8*з(і, |
01- |
(4.324) |
||
По такой же схеме исследуется и уравнение (254), формально отличающееся от (253) только тем, что в левых частях равенства имеются добавочные слагаемые ха и xß, вызванные введением демп фирования. Формулы, полученные для данного случая, имеются в [63].
Системы уравнений (255) и (257) отличаются от системы (253), а системы (276) и (263) (при добавочном условии (264)) — от си стемы (254) только тем, что роль неизвестных играют не угловые
отклонения а и ß, |
а угловые скорости â |
и ß. Поэтому, |
используя |
||
обозначения (267) и применяя формулу (277), получим |
|
||||
|
t |
|
t |
|
|
(t)= |
- j «(/,№, |
|
* ~^a{tt)dt, |
|
|
8 , (0) e o |
+ |
J e |
X (tx) dtv |
(4.325) |
|
|
|
|
о |
|
|
Интегрируя последнее равенство, |
находим |
|
|||
|
|
|
t |
|
(4.326) |
|
8 (*) = 8 (0 ) + |
5 |
W J d t v |
||
|
|
|
о |
|
|
234 |
ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМ И |
[ГЛ. 4 |
Следовательно, 8 (t) является результатом применения линей ного оператора к случайной функции 8Х(t) и для получения 8 (t),
K A t v t2) и i?8«5 (tv t2), входящих в формулы (280), (287), (288), (289), достаточно воспользоваться общими формулами (1.69) и (1.70), которые в данном случае дают
|
|
|
|
t |
(4.327) |
l{t) = |
l (0) + |
J \ (fj) dtu |
|||
|
|
tl 11 |
о |
|
|
|
|
|
(4.328) |
||
(<1. |
f2) = |
S |
І |
\ ) d \ d z 2, |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
R m (tv |
tt) = |
|
tl |
|
(4.329) |
J i ^ 8.8i(xi, |
|||||
|
|
о |
о |
|
|
Дальнейшие вычисления производятся так же, как и для си стемы уравнений типа (253) и (254), и не требуют пояснений. Фор мулы при этом, естественно, получают более сложный вид, однако нахождение окончательного результата не связано с принципиаль ными трудностями.
§4.5. Система линейных дифференциальных уравнений
спостоянными коэффициентами1
1.ГУ, описываемые системой дифференциальных уравнений
спостоянными коэффициентами. Более сложным является исследование ГУ, описываемых системой линейных дифферен
циальных уравнений, порядок которых выше второго, так как в этом случае для получения общего интеграла системы, учиты вающего начальные условия, и определения импульсной переход ной функции, необходимой при вычислении отклика системы на внешние возмущения, как правило, приходится прибегать к чис ленным расчетам.
Рассмотрим сперва задачу в общем виде.
Пусть а! (<), а2 (t), . . ., ав (/) — параметры, определяющие состояние ГУ (обобщенные координаты ГУ), выбранные таким обіразом, чтобы систему уравнений движения ГУ можно было бы представить в виде системы п линейных уравнений первого по рядка, т. е. в виде
П |
|
|
*,• (t) + 2 «,<«,■ (*)= Xj М |
(/ = 1, 2, ... , n), |
(4.330) |
t=l |
|
|
где cij( — постоянные коэффициенты, а X . (t) — система случай ных функций, первые два момента ординат которых мы будем счц-
S 4.5 J СИСТЕМА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 235
тать известными. В качестве параметров а. (t) могут быть выбраны
угловые отклонения гироскопа, производные этих отклонений, а также линейные комбинации угловых отклонений и их производ ных, выбираемые из соображений наибольшей простоты си стемы (330).
В некоторых случаях уравнения, описывающие поведение ГУ, имеют вид не системы уравнений первого порядка, а системы ли нейных уравнений второго или третьего порядка. Подобная си стема всегда может быть сведена к системе уравнений типа (330)
путем введения соответствующих обозначений. |
Пусть, например, |
||||||||||||||||||
система уравнений |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ä + |
afi. |
|
а р |
-f- 60ß -(- 6jß -)- |
|
|
= |
f x (t ), I |
(4.331) |
||||||
|
|
|
|
P+ c$ + c2ß + |
d p |
+ |
d p |
+ |
d p |
— /, |
(t ). I |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Введя в |
|
этом |
случае обозначения |
а= |
alt а = а2, |
(3= а3, (3=а4 |
|||||||||||||
и определяя явно производные а2 и а4, |
получим систему четырех |
||||||||||||||||||
уравнений первого |
порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
âj — а, == 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ä 2 + |
а2— Ма |
1 |
а \ — М і а |
I ^2 — ^0С2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 - |
Мо |
|
1 — b(jdо |
2 |
1 — b0dß а3 + |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь\ — Ѵ і |
|
|
|
fi — ^0/2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 — bod |
|
|
|
1 - |
Mo ’ |
(4.332) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d |
~~ ci^di0 „ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
— 0,-^cIq |
|
c2 — Mo _ |
|
|
|
|
|
|||||||||
+ |
2 |
|
|
|
+ |
|
I |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
||||
|
|
- |
а 1 |
1 — Mo |
+ |
1 - |
Mo |
3 |
|
|
|
||||||||
|
|
0tt0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 — Ml |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Cx — |
6 1c?o |
|
___ |
/2 — |
^ o / i |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
1 - |
Mo |
4 |
|
|
1 - |
Mo ’ |
|
|
T. e. |
систему |
уравнений типа (330), |
в которой а1{= |
—-S2i, а21- |
|||||||||||||||
а2 — b0d2 |
|
|
|
а 1 |
' |
• |
М0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
— 6()С?о |
|
^99 -- |
|
|
ttl |
И т. Д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
1 |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для исследования системы линейных уравнений нет необхо |
|||||||||||||||||||
димости приводить ее |
к каноническому |
|
виду |
(330), |
однако по |
||||||||||||||
скольку всегда подобное приведение является возможным, при общем исследовании можно предполагать, что система приведена к виду (330). Прежде чем переходить к такому исследованию, при ведем несколько примеров ГУ, описываемых системой линейных дифференциальных уравнений, порядок которой выше второго (система линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами может быть сведена к одному линейному диффе ренциальному уравнению второго порядка с постоянными коэф фициентами, рассмотренному в § 4.3).
