Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 289

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

236

ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМИ

СГЛ. 4

К такому типу принадлежит система уравнений (3.77), опи­ сывающая поведение ГМ с учетом инерционных членов

эр + я > р - Я а = - м Т;с,

(4.333)

I гг,“ "Ь

где Мтх и Мт — моменты сил трения в осях подвеса.

К этому же типу принадлежит и система уравнений (3.101) инерциальной вертикали, учитывающих статическую неуравно­ вешенность гироскопа

а + ѵ * а — А Й = — — W

 

'

 

г

go

71

(4.334)

В +

ѵ2В +

Ы =

— W„

 

г 1

r '

 

go

Г

 

и система уравнений ИВ (3.103), учитывающая наличие жидкост­ ного трения в осях подвеса

ä +

ѵЗа— 7 p -M -]H (f).

(4.335)

ß + v2ß + ^ . ä = ^ . ë ( 0 .

 

Система уравнений

трехстепенного

астатического гироскопа

в общем случае имеет

вид [см.

(3.6) ]

 

 

J

эР — Hâ cos ß0 =

—MXl,

(4.336)

Jrä + Щ cos ß0 =

Mc.

 

В том случае, когда в осях подвеса

имеёФ место жидкостное

трение, эта система принимает вид (3.13), т. е.

 

/г. эр — Hä cos ß0 +

n2ß =

—nß (t),

(4.337)

/ Г(Д +

Яр cos ß0 +

rejâ =

— щу (t).

 

Следовательно, и в этом случае ГУ описывается системой уравне­ ний типа (330).

Системой линейных уравнений более высокого порядка, чем второй, описывается и силовой гиростабилизатор. Так, например,

для ГС на качке при отсутствии коррекции, согласно

(3.232),

имеем

 

 

 

 

27Г BJ^ä -)- 27Г яп&+ 4Я2а -)- 2Нпѵх — 27Г Э70Ѳ-f- 27Г эпѲ.

(4.338)

Для ГС с корректором

на качке

(п2 =0)

имеет место си­

стема (3.237), т. е.

 

 

 

 

7^ât— 2Яр +

nâ 4 - m,p =

706 -j- лѲ, |

(4.339)

27г sp — 2Я<х — S2a =

kzS2b.

j

§ 4.5] СИСТЕМА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 237

Наконец, в качестве последнего примера системы уравнений рассматриваемого типа можно привести систему уравнений пас­

сивного гироскопического успокоителя качки

[см. (3.261)]:

Т^Ѳ +

+ Ѳ+ /с,р = F (t), 1

 

Ц p +

2 ; 3 T£ + ß - kß = 0 , I

( 4

где F (t) — действующий угол волнового склона, т. е. случайная функция, определяемая характером волнения моря, направле­ нием движения и скоростью корабля.

2. Вывод общих формул. Вернемся к рассмотрению общей системы уравнений (330). Как известно из общей теории, решение этой системы может быть представлено в виде

®,- (t) = 2 с у р (t) + 2

( Ijt W X t (t — т) di,

(4.341)

где y^Ht)= a/r eV (/, r = l, 2 ,

. . ., n) — система

независимых

интегралов однородной системы уравнений, соответствующей не­ однородной системе (330), а \ — корни характеристического уравнения (считаем для простоты, что нет кратных корней), опре­ деляемого равенством *)

ап + X

а 12

* а 1п

 

а21

а 22 + ^ •

а 2п = 0 .

(4.342)

а п І

а п І

■ ат + ^

 

Коэффициенты а-г являются решениями системы линейных однородных уравнений

2 К,- + ККі) aji = 0

(/, г = 1, 2, . . ., п),

(4.343)

І= 1

 

 

определитель которой в соответствии с (342) равен нулю, и следо­ вательно, эти коэффициенты определяются с точностью до общего

*) Для нахождения корней характеристического уравнения системы нет необходимости приводить ее к виду (330), а достаточно в исходной системе уравнений в левых частях равенств каждое дифференцирование заменить умножением на Xи приравнять нулю определитель получаемой таким образом системы. Например, для нахождения корней характеристического уравнения системы (335) нужно решить уравнение

X2 + V2

га2

 

Я2

,

 

Ді Х2

= 0

Х2 + ѵ2

 

а

 

 

получаемое из левых частей рассматриваемой системы указанным выше образом.

238

ГУ , О П И С Ы В А Е М Ы Е Л И Н Е Й Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И

[ГЛ. 4

множителя. Один из коэффициентов а.г (при фиксированном г) можно выбрать равным произвольному, отличному от нуля числу.

Коэффициенты сг в формуле (341) определяются начальными значениями параметров a.j (t), а импульсная переходная функ­

ция ljr (т) имеет тот же смысл, что и для одного дифференциаль­ ного уравнения, т. е. определяет изменение параметра а . (t) в мо­

мент временив, вызванное «импульсом» X r (t—т) di, поступившим на г-й вход системы в момент времени (t—т).

Импульсные переходные функции

(г) могут быть выражены

через независимые интегралы системы

однородных уравнений

у(р {t) = a.jrexri, если применить метод вариации произвольных по­ стоянных, т. е., рассматривая коэффициенты сг как функции вре­

мени, выбрать эти

функции

таким

образом,

чтобы выражения

П

сгУ{Р W удовлетворяли исходной системе уравнений (330). Вы-

2

г=1

3

преобразования, получим

 

полнив необходимые

 

 

 

УІи

В і

) .

■у[п) ( В )

 

 

 

 

( в ) •

• У\п- \ В і )

 

 

 

У Т ( В ) •

■y f ( В )

 

 

 

у \\\ В і ) ■

• v№

B l )

 

 

 

У» n

В і )

■ ■ укп) B i )

(4.344)

 

 

У Г В і ) •

■y\n> B i )

 

 

 

УпЛ ( к )

•

• viA B i )

 

 

 

^ ’

В і ) - -

■ y nn)(

B i )

 

т. е. формулу, аналогичную

(1.78), в которой отношение опреде­

лителей зависит только от т—t—flt

так как

интегралы уѴ (t)

являются экспонентами.

 

 

 

 

 

 

В некоторых случаях импульсные переходные функции удоб­

ней вычислять по соответствующим передаточным функциям,

использовав тот факт, что 1.( (і)

и L .f (по) являются преобразова­

ниями Фурье друг друга, т. е. используя выражения

 

СО

СО

 

S еШЬл(ІШ)di0’

Lji(k,)) = \

(4.345)

— со

0

 

Формула (341) позволяет сразу написать выражение для мо­ ментов ординат случайных функций о! (t). Действительно, опре­

§ 4.5І СИСТЕМА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 239

деляя математическое ожидание обеих частей равенства (341), получим

<*/ (*) = 2

c a ^ r t + 2 hi ^ хі (* — і) < м / = И , 2 , ... , п). (4.34В)

r=1

і~ 1

Аналогичным образом для корреляционных функций и взаим­ ных корреляционных функций будем иметь (считаем начальные значения независимыми от правых частей уравнений (341))

Kaj {tv

tt) =

2

2

<£tl+xJt’*,jrajiker»i +

 

 

 

 

 

1—1Г=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

п

^2

h

 

 

 

 

 

 

+

2

2

И

 

 

l)m(Xl) hi W

(Х1’

Хг) <M X2>

 

 

, _ 1

m- 1 0 0

 

 

 

 

[(4.347)

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

R«j*q{tv

g

=

 

 

 

 

йвгв4 +

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

i—1r=l

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

2

П

J

hm (Xl)

*

(Xs)

(Xl>

X2)

 

 

1=1 m=1 j

 

y

 

 

 

 

 

 

 

о

о

 

 

 

 

 

Формулы (346) и (347) позволяют вычислить все вероятностные характеристики ГУ в рамках корреляционной теории. Однако эти формулы неудобны по двум причинам: во-первых, для определения корней характеристического уравнения У, как правило, прихо­ дится прибегать к числовым приближенным расчетам и, во-вторых, вычисление по этим формулам само по себе является достаточно сложным.

Положение меняется, если случайные функции Х г (<) являются стационарными, система уравнений ГУ соответствует устойчивой динамической системе, а в рассматриваемый момент времени t переходный процесс в ГУ можно считать закончившимся. В этом случае вещественные части корней \ характеристического уравне­ ния являются отрицательными, а импульсные переходные функ­ ции lJi (т) при i —t можно считать равными нулю. Поэтому вместо

формулы (341) в данном случае можно написать

п 00

 

aj (0= 2 ( hi (х) (г — х) dz-

(4.348)

І- 1

 

Последняя формула содержит t только в качестве аргумента у случайных функций X. (t), а так как эти функции по условию стационарны, то вероятностные свойства решений а . (t) си­ стемы (330) не должны зависеть от времени, т. е. являются стацио­

Смотрите также файлы