Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 290
Скачиваний: 1
МО |
ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМ И |
[ГЛ, 4 |
нарными случайными функциями, для исследования которых при менима спектральная теория стационарных случайных процессов, существенно упрощающая вычисления. Обозначая передаточную функцию /'-го выхода относительно і-го входа Lj. (s), т. е. полагая в соответствии с (1 .1 0 2 )
aj (s)
(4.349)
X, (s) ’
для спектральной плотности Sa -(со) стационарной случайной функ
ции aj (t) и для взаимных |
спектральных плотностей 5 « ^ (іи) слу |
||
чайных функций OLj (t) |
и ar (t), получим |
||
Saj Н = |
2 |
2 |
Ljt (— ho) Lj, (to) SX.X[ ( с о ), |
|
1= 1 |
/= 1 |
(4.350) |
|
Я П |
||
|
|
||
Saj*r (ш) — 2 |
2 |
Lj, ( to) Lw (to) Sx X (ш). |
|
|
»'=1 |
Z= 1 |
! |
В частном случае, когда функции Xj (t) взаимно некоррелированы, последние формулы упрощаются и принимают вид
5ѵ и = 2 і ^ <(М І2 5 -<(Ч |
|
1=1 |
(4.351) |
п |
Sajar («) = 2 Lj, (—to) Lr. (to) Sx, (to).
1=1
Использование формул (350) и (351) уже не требует определения корней характеристического уравнения, так как для этого необ ходимо выполнить только простейшие алгебраические операции.
Действительно, для нахождения передаточных функций Lj, (s)
нужно выполнить следующие вычисления: в исходной системе дифференциальных уравнений заменить все обобщенные коорди наты ГУ а . (t) их преобразованиями Лапласа а . (s) (или, как гово
рят для краткости, — их изображениями); заменить все входные случайные функции X, (t) их изображениями х, (s) и, наконец, решить полученную систему алгебраических уравнений относи тельно a . (s). Получаемое таким образом решение будет линейной
функцией изображений х, (s), коэффициенты которой и будут ис комыми передаточными функциями LJt (s). Определив спектраль
ные плотности SaJ(m) и SIXj0im(ш), дальнейшее вычисление корре ляционных функций Kaj (т) и R<tjam(т) может быть выполнено
по формулам (1.95) и (1.105), требующим вычисления однократ ных интегралов, для осуществления которого, помимо обычных методов численного интегрирования, находят применение и ряд способов, специально разработанных для этого случая (см., на пример, [70]).
§ 4.5 J |
СИСТЕМА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ |
241 |
3. Гиромаятник. Рассмотрим применение выведенных выше общих формул к исследованию конкретных ГУ.
Начнем с рассмотрения системы уравнений (333), определяю щей ошибки ГМ вследствие наличия трения в осях подвеса. При мем, что моменты сил трения зависят только от угловых скоростей объекта, т. е. в соответствии с формулами (2.95) и (2.100) для жид костного трения
Мгя = п2ф + Ф), |
М т„= |
- Пі (4- Ö) |
(4.352) |
и для сухого трения (при D [ф] |
D ГРЬ D [9]^D [âJ) |
|
|
MTX= M l + Qxsign ф, |
(4.353) |
||
|
+ |
gnö. |
(4.354) |
Рассмотрим сперва случай, когда правые части системы урав нений (333) не зависят от а. (t) и (3(f), например случай сухого трения.
Заменяя в системе (333) а (t), ß ( t), МТх (t) и Мту (t) их изобра
жениями а (s), ß (s) и т. д. и решая полученную систему уравнений относительно а (s) и ß (s), находим
<*(*) = |
________ h. ,** + 1Р |
7 MTy(s) + |
|
||
(JTW + lP)(Jr_,,* + lP) + H*S* |
|
|
|
||
|
|
Hs |
|
|
(4.355) |
|
(JTns* + lP)(JT' 9s* + lP) + H*s* Мъ (*)» |
||||
ß(s): |
- (JITiS2 + IP) |
MTJs)T x |
+ |
|
|
|
|
||||
|
(7rris2 + lP){/T. 3 S * + IP) + HW |
1 |
|
|
|
|
|
Hs |
IP) + |
HW Мх„{8), |
(4.356) |
|
(/щ*а + IP) Ur. Э«2 + |
||||
где коэффициенты у М Тх (s) и Мт (s) в (355) характеризуют пере даточные функции L n (s) и Ь12 (s), а аналогичные коэффициенты
в (356) — передаточные |
функции L2 1 (s) и L22 |
(s). Например, |
|||
Яц (s) — |
мх iß) |
— |
Hs |
|
(4.357) |
+ ip) {Jt aS2 + ip) + H2S 2 . |
|||||
|
My (S ) |
_ |
________ э* 2 + IP__________ |
(4.358) |
|
Р ц (S) = |
|
(JT^ + lP)(Jr. as* + lP) + H*S* ’ |
|||
В случае жидкостного трения после подстановки (352) |
в (333) |
||||
система уравнений ГМ примет вид |
|
|
|||
|
эР + гс2Р + 1Р$ — Яа = —п2ф, ( |
|
|||
/ г |
+ щл + ІРа + Щ = пф, |
I |
|
||
т. е. в левых частях уравнений появляются слагаемые п$ и пга, соответствующие демпфированию. Это приведет к изменению
1(5 А. А. Свешников, С. С. Ривкин
242 ГУ , О П И С Ы В А Е М Ы Е Л И Н Е Й Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И [ГЛ. 4
передаточных |
функций, |
которые, |
например, |
для |
передаточных |
||||||
функций Ьа ф (s) = |
L'n (s) |
и Lß; „ (s) = |
L'M(s) примут вид |
|
|
|
|||||
j' I \ |
|
|
|
n^Hs'i |
|
|
|
|
(4. |
360) |
|
11 W — |
(/„,** + |
«!* + |
IP) (}T. „** + |
n.2s + |
IP) + |
H |
’ |
||||
T ' / \ |
___ _________________rel |
(^ г . 3s2- + |
re2s |
~ M -P ) S________________ |
• |
(4. |
361) |
||||
22 |
— |
( / и | ,2 + |
Иі, + |
Z P) (/,. ,«2 + |
+ |
IP) + |
/ / 2 S2 |
||||
Подставляя последние выражения в (350), получим формулу для спектральной плотности угла а (Z) отклонения оси ГМ при наличии жидкостного трения
5а И = IL;, (to) I2 |
(u>) + I L ;2 (to)l2 S, (a>). |
(4. 362) |
Если в системе уравнений (333) отбросить инерционные члены, т. е. формально положить / г э = / г = 0 , то мы получим систему уравнений ГМ в рамках прецессионной теории, рассмотренную в предыдущем параграфе. Следовательно, если в выражениях для передаточных функций отбросить слагаемые, содержащие моменты инерции гироскопа, то мы получим спектральную плотность угла а (t), вычисленную в приближениях прецессионной теории. Возни кает естественная задача оценить погрешность в вычислении
00
£я («>) и D[a(Z)] = ^ (<o)dw, возникающую вследствие неучета
—со
инерционных членов в уравнениях движения.
Рассмотрим эту задачу сперва применительно к сухому трению, т. е. будем исходить из формулы (356), причем оценку проведем для величины дисперсии.
Пренебрежение инерционными членами в рамках прецессион ной теории основано на том, что для гироскопов отношения эква ториальных составляющих кинетического момента гироскопа к его собственному кинетическому моменту являются малыми. Отбра сывая в уравнениях движения (333) члены, содержащие моменты
инерции J и / |
г э, получим систему уравнении |
|
|||
|
4 - т Р |
= > |
|
|
(4. 363) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т у |
|
|
Исключение из системы (363) угла |
|3 даст |
|
|||
|
/2 Р2 |
1 |
■— |
М |
(4. 364) |
|
|
|
Ң2 |
1Г1ту |
|
т. е. уравнение, |
аналогичное |
уравнению |
(138), рассмотренному |
||
в § 4.3, Поэтому, |
воспользовавшись формулой (234), |
для данного |
|||
§ 4.5] |
СИСТЕМА С П О С Т О Я Н Н Ы М И К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т А М И |
243 |
случая получим (считаем для простоты начальные условия нуле выми, а М Тх и М т некоррелированными)
D [а (t)] |
ш cos Щ - I + |
и sin Щ - 1+ о„ + cxt, |
(4.365) |
|
где |
т mx\H ) “ |
»»УѴЯ ) J ’ |
(4.366) |
|
с, = |
||||
|
S’ |
I |
S' ("_^Д |
|
a остальные коэффициенты определяются формулами (235), в ко торых нужно положить
1 |
diKmx (т) |
f |
(4.367) |
m |
d-^ |
|
|
Таким образом, прецессионная теория для ГМ без демпфирова ния дает для дисперсии ошибки выражение, линейно растущее с увеличением времени. Происходит это потому, что система, опи сываемая уравнением (364), обладает колебательной неустойчи востью, связанной с тем, что характеристическое уравнение си
стемы имеет чисто мнимые корни + 2 ^ -. Возвращаясь к полным
уравнениям движения ГМ, учитывающим инерционные члены, замечаем, что передаточные функции L n (s) и L n (s), определяемые в этом случае формулами (357) и (358), также имеют полюсы на вещественной оси, т. е. характеристическое уравнение системы имеет две пары мнимых корней
5ь 2 = ± ^ ) / 2 7 7 ^ { [ ^ 2 + ( ^ . э+ / г, ) ^ і - |
|
|
|
||||||||
’" " - |
А Н 2+ (/,, + |
/ г. э) IP? - |
|
Л ,} |
= |
+ К 2, |
(4.368) |
||||
s 3, |
4 = |
± І У 2 7 ------Т ~ |
+ |
A r . Э + |
J r , ) |
I P ] |
+ |
|
|
|
|
" |
' " + |
+ A r , |
+ |
J r . .) IP f - |
W P 4 |
T. J |
rr) |
= |
± t o 3 , 4* |
(4.369) |
|
Следовательно, и |
в |
этом |
случае |
динамическая |
система обладает |
||||||
колебательной неустойчивостью. Таким образом, система уравне ний (333) не имеет стационарного решения и формулы (351) не применимы в данном случае. Поэтому для дальнейшего исследо вания удобнее перейти от передаточных функций Ln (s) и L1 2 (s) к соответствующим импульсным переходным функциям Іп ( т) и Z12 (х). Для этого можно или воспользоваться общим соотноше нием (345) между передаточной функцией и импульсной переход ной функцией, или непосредственно формулой (1.78) для Z(x). Последний путь в данном случае проще, так как избавляет от необходимости вычисления интегралов типа (345). Передаточным
16*
244 |
ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМ И |
[ГЛ. 4 |
функциям (357) и (358) соответствует уравнение четвертого порядка для переменной а (t), в правой части которого стоит функция X (t), определяемая равенством
Н |
dM,ТУ |
-dm „ |
X(t) = Jv. J ГТ| |
dt |
J Г . й *^Г7] |
i p
(4.370)
Учитывая обозначения (368) и (369), выпишем независимые ин тегралы однородного уравнения, определяющего а(і):
<Xj (t) — |
а, (£) = е - ’ “ - 1', а3(і) = еіи>зі, а4 (£) = е-1'“3*. (4.371) |
Импульсная переходная функция I (т) этого уравнения в соот ветствии с (1.78) выражается формулой
e « V |
-i^t |
|
|
|
1О) = |
|
ш 3еіт^ |
- ш 3е~ІШгі |
|
|
— " 3 е |
|
|
|
|
|
|
|
|
giu>,(<+T) |
е-гш ,(г+ т ) |
е- і ш 3(й -т) |
|
|
е |
1 |
е -icu^ |
е ІШаІ |
|
m |
xe<a>lt |
|
|
|
|
|
|
-юІе-<Шз< |
|
|
|
|
icoge“*“3* |
|
|
°l“ 3 I |
(<»3 sin o)j" — (0j sin co3x). |
(4.372) |
|
|
4) |
|
|
|
Сравнивая полученное выражение с импульсной переходной функцией для решения (229) уравнения (138), имеющей вид
— sin ѵ0т, замечаем, что импульсная переходная функция (372)
формально может рассматриваться как сумма импульсных переход ных функций такого же вида, взятых с соответствующими коэф фициентами, причем в первом слагаемом роль частоты ѵ0 играет частота ш1? а во втором слагаемом — частота со3. Поэтому и выра жение для D [а (£)] может быть представлено в виде суммы выра жений вида (234), взятых с соответствующими коэффициентами
D [«(«)] = |
^ |
{[ш(1) cos 2 ü)j£ -I- пп>sin 2u>xt |
cW -)- c)1^] — |
||
— [m(3) cos 2w3t -f- ni3) sin 2tu3£ -)- c^3) + |
c(3)£]}, |
(4.373) |
|||
где коэффициенты m^'\ Ф'\ c<({>и |
определяются формулами (235) |
||||
при замене ѵ0 |
на |
и ш3 соответственно. Остается выяснить физи |
|||
ческий смысл полученного результата. Как ясно из (368), (369), частота со3 соответствует нутационным колебаниям, а частота Wj
соответствует |
прецессионым |
колебаниям, так как, положив |
J r a= J rr=0, |
выражение для |
ад1 обращается в неопределенность, |
