Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

ким образом, и при рассмотрении поведения ГМ под воздействием случайных возмущений удается как бы разделить прецессионные и нутационные колебания, поскольку реакция ГУ состоит из двух слагаемых, первое из которых определяется частотой прецес­

Значения квадратных скобок, стоящих в фигурной скобке (374), определяются в основном быстротой затухания спектральных плотностей S mx ( о>) и іSm ( со) при росте со. Так как возмущающие

моменты М Тх и Л7Ту связаны со случайными колебаниями объекта,

на котором установлен ГМ (например, с качкой корабля), которые являются сравнительно низкочастотными, «нутационное слагае­ мое» в (374) должно играть существенно меньшую роль, чем первое «прецессионное» слагаемое, что и является оправданием пренебре­ жения инерционными членами в рамках прецессионной теории ГМ. Для численной оценки возникающей при этом ошибки необходимо задаться конкретными вероятностными характеристиками возму­ щающих моментов и значениями параметров ГМ.

Перейдем к рассмотрению системы (359), соответствующей наличию демпфирования, возникающего вследствие жидкостного трения в осях подвеса гироскопа. В этом случае ГМ является устой­ чивой динамической системой, уравнения его движения имеют стационарное решение и, следовательно, применима спектральная теория стационарных случайных функций как при учете, так и при неучете инерционных членов. Проследим и в этом случае влия­ ние инерционных членов на дисперсию ошибок ГМ.

ляются «малыми» в том смысле, что в разложении параметров, характеризующих движение гироскопа, можно ограничиваться

Рис. 4.4. Структурная схема гиромаятника.

только первыми членами разложения. Поэтому, разлагая переда­ точные функции (360) и (361) в ряд по степеням J и / г э и сохра­ няя только члены первой степени относительно моментов инерции, имеем

Полученные выражения показывают, что ГМ с учетом инерцион­ ных членов можно в первом приближении рассматривать как дина­ мическую систему, структурная схема которой представлена на рис. 4.4, на которой система, соответствующая ГМ в рамках пре­ цессионной теории, изображена звеном П. Учет инерционных членов в первом приближении эквивалентен тому, что к функциям ф (t) и Ѳ(if), поступающим на вход динамической системы, описы­ ваемой уравнениями прецессионной теории ГМ, добавляются функции, являющиеся линейной комбинацией функций, поступаю­ щих с выхода такой же системы (на вход которой поступают ф и Ѳ),

мущений ф (t) и Ѳ(t) через рассматриваемую динамическую систему интенсивность возмущений существенно ослабляется, а добавка

чески малого параметра.

Для оценки влияния инерционных членов на дисперсию можно подставить (376) в (362) и проинтегрировать результат по ш в бес­ конечных пределах. Сохраняя в полученном таким образом вы­ ражении только линейные члены относительно моментов инер­ ции / и / г э и обозначая дисперсию угла а (t), вычисленную в пре­ цессионном приближении, через D [а (t) ]„, получим

00

интегралов может быть выполнено при заданном виде спектральных плотностей Sé ( ш) и S s ( ф), например, с помощью вычетов, однако вычисление этих интегралов численным способом не многим проще нахождения D [ a (t) ] путем непосредственного интегрирования спектральной плотности (362) и сравнения получаемого результата со значением дисперсии а (t), которая находится, если в оконча­

инерции имеет значение не столько для получения окончательного числового результата, сколько для того, чтобы показать, что учет инерционных членов в первом приближении соответствует замене ГМ в рамках прецессионной теории динамической системой, структурная схема которой изображена на рис. 4.4.

4. Замечания о некоторых других ГУ, описываемых системой линейных уравнений. По такому же принципу исследуется и уравнение трехстепенного астатического гироскопа (336) при нали­ чии сухого или жидкостного трения.

Система уравнений (335) инерциальной вертикали при нали­ чии жидкостного трения имеет ту особенность, что она соответст­ вует неустойчивой динамической системе, т. е. системе, колеба­ ния которой, вызванные начальными возмущениями, не^затухаюх.