Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 293

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 4.5] СИСТЕМА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 249

Решение этого уравнения в соответствии с (229) может быть

представлено в виде (считаем начальные условия

нулевыми)

t

 

§ (t) — J X (t — x) sin v0x dx,

(4.382)

о

 

где v0 и X(t), согласно (380), являются комплексными. Для опре­ деления дисперсии а(t) (а = 0 , так как х=0) можно воспользо­ ваться или формулой (287), связывающей корреляционную функ­ цию вещественной части комплексной функции о(і) с K 5(tv t2) и R m (tv t2), или предварительно отделить вещественную и мни­ мую части (382) и найти дисперсию полученного таким образом выражения.

Применим второй способ. Выделяя вещественные части обеих частей равенства (382), учитывая при этом обозначения (380), получим

і

а

(*) =

S t f v2Z

i ( t — х) —

v A (t — т )] sh v 2x cos v xx +

 

 

 

0

 

 

 

 

 

+ № (t — x) -j- V2Z 2 (t — x)] ch v2x sin vxx) dx.

(4.383)

(т.

Находя

дисперсию (383) обычным для таких задач

способом

е. рассматривая

квадрат

интеграла как двойной

интеграл

и меняя местами интегрирование и нахождение математического

ожидания),

получим

 

 

 

 

D [ а (* ) ]

=

t

t

a| -, KXljTg) Jf a

— x aQ) +f a , KXx 2)lf

a — x 2) +

^

г[P^ f

 

 

0

0

2W fa,

 

fa — x2)] dxjdx2,

(4.384)

 

 

 

+

Ts)

где корреляционные функции

KXi (x),

KXl(x) и взаимная

корреля­

ционная функция RXix, (х) в соответствии с (380) просто выра­

жаются через корреляционные функции К^ (х)

и К н(х), а функ­

ции Р, Q и N определяются равенствами

 

 

Р fa,

х2) =

(v2 sh ѵЛ cos VjXx -f- Vj ch v2xx sin vxXj) X

 

 

Q (xi>

 

X fa sh v2x2 cos vxx2

vx ch v2x2 sin vxx2),

 

x2) =

( ~ vi ch V i cos ѵххх -f v2 ch v2xx sin vxxj) X

 

N fa,

 

X (—vi sh v2x2 cos VjX2 -{- v2 ch v2x2

sin vxx2),

(4.385)

X2) =

(v2 sh V2x x COS ѴЛ -f- vx ch V2xx sin vxxx) X

 

 

 

 

X (—vj sh v2x2 cos vxx2 + v2 ch v2x2

sin vxx2) +

 

 

 

 

+ (v2 sh v2x2 cos vxx2 -]- Vj ch v2x2sinv2x2) X

 

 

 

X (—vx sh v2xx cos VjXj

v2 ch v2Xj sin vxXj).

 

После

замены переменных x= x2— xx, 5= x1 -j- x2 интегрирова­

ние но £ в (384) может быть выполнено и вычисление дисперсии

250

ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМ И

[ГЛ. 4

угла

а(<) сведется к однократному интегрированию. При

этом,

вследствие наличия под знаком интеграла в исходном выражении гиперболических синуса и косинуса, окончательное выражение будет расти с ростом t, что является следствием неустойчивости рассматриваемой динамической системы.

Аналогичным образом исследуются и другие системы диффе­ ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами, харак­ теризующие различные ГУ. В том случае, когда рассматриваемая динамическая система является устойчивой, наиболее простые результаты удается получить с помощью спектральной теории. Для неустойчивых динамических систем (или для определения вероятностных характеристик ошибок ГУ до окончания переход­ ного процесса) приходится исходить из явного решения иссле­ дуемой системы дифференциальных уравнений в форме (348) или, если специфический вид рассматриваемого уравнения это до­ пускает, в форме решения дифференциального уравнения с ком­ плексными коэффициентами, порядок которого вдвое ниже по­ рядка исходной системы уравнений.

Последний способ применим, например, для системы (336), которая сводится к уравнению второго порядка относительно §(£)= a(i) + i ß(£), не содержащему b(t) и, следовательно, допускаю­ щему путем однократного интегрирования переход к уравнению первого порядка; уравнения такого типа были рассмотрены в § 4.3.

§ 4.6. Примеры на исследование ГУ, движение которых описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами

1. Гироскопические устройства, характеризующиеся линей­ ным уравнением первого порядка, не содержащим зависимой переменной. Рассмотрим несколько примеров применения общих формул § 4.1 к исследованию ГУ, описываемых линейными диф­ ференциальными уравнениями первого порядка, не содержащими зависимой переменной.

Пример 4.1. ГН установлен на самолете так, что ось вращения внутренней рамки карданова подвеса гироскопа расположена параллельно продольной оси самолета. Угол крена самолета Т(t) является нормальной случайной функцией, корреляционная функция которой имеет вид

(4.386)

Предполагается, что в оси подвеса внутренней рамки имеет место сухое трение, создающее момент М Тх, определяемый выражением

M tx = M °x + Q x si gnf.

(4.387)

§ 4.6]

ПРИМ ЕРЫ

НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ

251

Найти математическое ожидание а и дисперсию D [ а(<) ] азиму­

тального ухода а(<) оси

гироскопа,

обусловленного действием

момента сил сухого трения.

<^=3,05-10-4 рад2;

д=1,1

Дано: М%х= 0,1

Г см; Qx= 1 Г см;

1 /сек; Х=5 1 /сек;

время работы прибора <=30 мин; кинетический

момент гироскопа

#=4000

Г см сек.

 

 

Р е ш е н и е .

Уравнение прецессионного движения оси гиро­

скопа в азимуте

на

основании (3.33)

имеет вид

 

 

 

 

а = 7j° -)- 7) sign f ,

(4.388)

где коэффициенты т]°

и т] определяются выражениями [см.

(3.32);

cos ß0 лі 1 ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1 = %-.

(4.389)

Для математического ожидания <х, согласно общей формуле (9),

имеем

 

 

 

â = rj°<.

 

(4.390)

 

 

 

 

 

Для принятых

исходных данных

по формуле (389) находим

Чо

Щх

0 , 1

 

 

 

Н

4000 = 0,25 • ІО"* 1 /сек.

 

Тогда, согласно (390), получим

â = if>t = 0,25 • ІО" 4 • 1800 = 0,045 рад = 2°,58.

В соответствии с выражением (39) для дисперсии

ухода a(t)

имеем

 

t

 

D [а (<)] = ~ ^]2 5 (* — т) arc S4n Щ(т)

(4.391)

о

 

где нормированная корреляционная функция Щ(т) угловой ско­

рости у (<) крена самолета,

учитывая

(2 .2 0 ), будет

 

Щ (т)= е—

^cos Хт —

sinX|x|^.

 

Так как в рассматриваемой задаче время корреляции

1/р. =

= 1/1,1 =0,91 сек мало по сравнению с временем работы прибора

t — 1800 сек,

то, учитывая стационарность случайной функции f (<),

вместо (391)

можно записать

 

 

D (<)] — ~"Ч2t I arcsin Щ(т) dx.

(4.392)

 

Q

 

252

ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫ М И УРАВНЕНИЯМ И

[ГЛ. 4

Обозначив

 

 

I = XJ arc sin Щ(т) dx,

(4.393)

 

о

 

для

D [а (£)] окончательно имеем

 

 

D[*([)] = | f / i .

(4.394)

Интеграл / является безразмерной величиной и зависит только

от одного

параметра

 

 

 

 

 

* =

■£.

(4.395)

Значения

этого интеграла,

вычисленные В.

Ф. Туром, даны

в приводимой ниже таблице

4.1.

Т а б л и ц а 4.1

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

 

2

г

 

Значения интеграла / ( * ) = — X \ arcsin [е- *1' (cos t — * sin <)]

о

X I

X

1

0,05

0,0368

1,05

0,0232

0,10

0,0477

1,10

0,0223

0,15

0,0515

1,15

0,0214

0,20

0,0522

1,20

0,0206

0,25

0,0512

1,25

0,0197

0,30

0,0493

1,30

0,0192

0,35

0,0474

1,35

0,0185

0,40

0,0445

1,40

0,0179

0,45

0,0422

1,45

0,0173

0,50

0,0402

1,50

0,0168

0,55

0,0379

1,55

0,0163

0,60

0,0397

1,60

0,0158

0,65

0,0358

1,65

0,0154

0,70

0,0319

1,70

0,0149

0,75

0,0303

1,75

0,0146

0,80

0,0289

1,80

0,0142

0,85

0,0276

1,85

0,0138

0,90

0,0263

1,90

0,0135

0,95

0,0252

1,95

0,0130

1,00

0,0243

2,00

0,0127

Для рассматриваемого примера

0 , 2 2 ,

(4.396)

§ 4. 6]

 

ПРИМЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ

253

И з таблицы

4.1

находим

 

 

 

 

7 =

0,0518.

(4.397)

По формуле

(389) определяем тр

 

 

 

т] = O f =

2,5 • ІО’ 4 1 /сек.

(4.398)

Вычисляя D [<*(£)] по формуле (394), имеем

D И «)] = 2 ,3 3 • ІО’ 6 рад2.

Следовательно, для средней квадратической ошибки ГН оа получим

ая = \JD [а (£)] = 1,53 • 10_3 рад = 5',3.

Полученные значения <х и ая показывают, что в данном при­ мере наиболее неблагоприятное влияние на точность ГН оказы­ вает «систематическое» отклонение оси гироскопа, обусловлен­ ное знакопостоянной составляющей момента сил трения в гори­ зонтальной оси подвеса.

Пример 4.2. Определить вероятностные характеристики ази­ мутального ухода ГН, расположенного на корабле, испытываю­ щем бортовую качку, если ось собственного вращения гироскопа направлена перпендикулярно диаметральной плоскости корабля. Корреляционная функция угловой скорости бортовой качки

корабля имеет вид

 

 

Кв(х) = а), (р-2 + X2)

(cos Хт — sin X| x|^.

(4.399)

В оси подвеса внутренней рамки имеет место жидкостное трение,

момент которого определяется выражением

 

Мтх = пЦі).

(4.400)

Кинетический момент гироскопа

 

H(t) = H0 + H1(t),

(4.401)

где Н0 — номинальное (расчетное) значение кинетического мо­

мента; H^t) — изменение

кинетического момента, являющееся

случайной функцией времени с математическим ожиданием

Я, =

М [#,(*)] = 0

(4.402)

и корреляционной функцией

 

К h (х) — o^e-PhМ,

(4.403)

где а| — дисперсия изменения кинетического момента;

— коэф­

фициент затухания корреляционной функции.

D I а(t) ]

Определить математическое ожидание а и дисперсию

азимутального ухода а(£) оси гироскопа, обусловленного дейст­ вием сил жидкостного трения.

Смотрите также файлы