Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 206
Скачиваний: 1
§ 1.2] К О Р Р Е Л Я Ц И О Н Н А Я Т Е О Р И Я С Л У Ч А Й Н Ы Х Ф У Н К Ц И Й 31
|
|
|
|
|
Таблица |
1.1 |
Значения определителей N„ и І)п, выражаемых |
формулами (120) и (121) |
|||||
п |
|
N„ |
|
|
D„ |
|
1 |
|
|
|
|
а 1 |
|
2 |
аФі — я2&о |
|
|
а 1а2 |
|
|
3 |
— Яоа1^2 “Ь а 0а 3^1 — а2а3^0 |
|
(—fljßg Т~ ЯдЯд) а3 |
|
||
4 |
(—Я]Я4 + а2ад) ajèo — аоазаФі ~Ь |
(— аха2а3 + |
а0 а | + а \а 4 ) я4 |
|||
-]- |
“I“ (ЯдЯд —Я^Яд) Я()бд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
( — а0а4а5 + а: я | |
я |я 5 — я2я3я4 ) а5 ^ 0 + |
(а'оаI — |
2 я 0я1я4я5 — я0я2ЯдЯ5 + |
|
|
5 |
+ (— а2а5 + Я3Я4) а0а5^1 + (а0а5 — |
+ |
л0а|а4 + |
a\a\ + я ^ я д |
— |
|
|
— а ха4 ) а0 а5 6 2 + |
(— а0 я3 + Я]Я2 )я0 Яд& 3 + |
|
|
— а 1 а2 адл4) я5 |
|
4“ (—ЯдЯ^Яд “I- ÖQÖg-|-Л —Д^02Лз)Л()&4
( — а 0а 3а 5а 6 + а 0а 4а | — я |я 6 +
+2я2Я 2 ЯдЯв + а1аЗаіа6 — а1а4а5 —
— а2аі — а2аЗа6 + а2аз Ч аь)аФо +
|
+ (— ajagHg + |
я 2я§ я§я6 — |
|
— Лда^ад) aoOgöj + |
( — а0 а§ — Я]Я3я6 + |
6 |
+ о.іа 4а 5) а оа в^2 + |
(аоаза5 + а і а в — |
|
— aj.a2a5) а0аеЬ3 |
(ядЯ]Яд — а§а\ — |
— а |я 4 + а ^ Я з ) а 0а 6й4 + (а § а | +
(Л§я| + Зл0Я1 ЯзЯда6 — 2Я0Я4Я4ЯІ —
— Я0Я2Я3Я| — Я0Я|Я6 + Я0Л§Я4Яд +
+ я?а| — 2 я |я 2 ЯдЯ6 — я |я 3 Я4 Я6 +
+ а?я|я5 + а ха \а \ + a xa2ala 6 ~
— 02Я2ЯдЯ4Яд) Яд
+ аоаіазаб — Зяоя^яд — аоЯ2я3Яд +
+ а0а |а 4 — а ? а 2а 6 + я | я | + |
|
я ^ а д |
a2a2fl3fl4) ядЬд |
соответствует |
корреляционная |
функция |
|
|
|
К (х) = о2е-^1т1. |
(1.123) |
||
Спектральной плотности |
|
|
|
|
о / \ __ _______ 2цо2 (ц2 + X2)_______ __ |
|
|
||
V > ц [(щ 2 + |
(J.3 + 12)2 _ 4X?0)2] |
|
|
|
|
2pa2 (р.2 + X2) |
__ |
2pa2 (р 2 4- \2) |
(1.124) |
П [(ü)2 — р 2 — X2)2 4- 4 р 2м 2] |
|
Ъ [((О2 4- р 2 — )і2)2 4- 4 p 2).2] |
||
|
|
|||
соответствует |
корреляционная |
функция |
|
|
|
К (х) = а2е-[».|т| ^соч Хх -ф- sin XI XI). |
(1.125) |
||
32 ОСНОВНЫ Е ФОРМ УЛЫ [гл. 1
|
Спектральной плотности |
|
|
|
|
|
|||
|
(хаЗ (со2 + |
н-2 + |
Х2) |
_ |
(ха2 (ш2 + |
р.2 + |
\2) |
|
|
15 |
71 [ ( Ш2 + |
(J.2 + |
Х.2)2 — |
4А.2(о2] |
7Z [(ü)2 — (J.2 _ |
\2 )2 |
4[x2OJ2] |
|
|
|
|
|
|
|
__ |
^.g2 ( СО2 |
р.2 -j- \?) |
(1.12G) |
|
|
|
|
|
|
|
71[(а)2 -J- JJ.2 — X2)2 + 4(J.2X2j |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
соответствует |
корреляционная функция |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
К (т) = |
a2e-llMcos Хх. |
|
(1.127) |
||
§ 1.3. Марковские процессы
Одномерным марковским процессом называется такой случай ный процесс, условная плотность вероятности ординат которого для «будущего момента» времени х зависит только от значений ординаты процесса в «настоящий момент» времени t ( т ^ t) и не зависит от поведения процесса в моменты времени, предшествую щие моменту времени t (не зависит от «истории» процесса).
Будем обозначать ординаты процесса U (t) в момент т через Y, а ординаты процесса в момент t через X. Тогда плотность вероят
ности |
случайной величины Y зависит от |
четырех аргументов t , |
|
X , X, у |
и может быть обозначена / |
( t , х\ |
т, у ) , где t <^х. |
Для марковского случайного процесса плотность вероятности |
|||
/ (t, х; |
X, г/), кроме общих условий, |
которым удовлетворяет вся |
|
кая плотность вероятности: |
|
|
|
|
СО |
|
|
f(t,x; X, г/)> 0, f(t, х; х, + со) = 0 , J |
f(t, х; х, у ) dy = 1, (1.128) |
||
удовлетворяет еще соотношениям, справедливым только для мар ковских процессов.
Во-первых, |
для |
любого |
значения |
tv лежащего |
в |
интервале |
(t, х), справедливо равенство |
|
|
|
|||
f(t, |
х; X, |
у ) = I |
f(t, х; tv |
z)f(t1, z; х, |
у) dz |
(1.129) |
|
|
— СО |
|
|
|
|
(называемое уравнением Смолуховского или уравнением Чеп мена—Колмогорова, или, наконец, обобщенным уравнением Мар кова), которое выражает тот факт, что ордината процесса может изменить свое значение X в момент времени t на значение Y в мо мент времени х, только оказавшись в промежуточный момент вре мени tx равной некоторому значению 2 .
Во-вторых, плотность вероятности / (не будем для краткости писать аргументы этой функции) удовлетворяет следующей
§ 1-3 j |
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ |
|
33 |
||
системе |
дифференциальных |
уравнений в |
частных |
производ |
|
ных: |
!+“<'• |
+ |
*>51 |
=°' |
(‘-130) |
|
|||||
|
I + |
|
» ) Л = 0 , |
(1.131) |
|
носящих |
название первого |
и второго |
уравнений Колмогорова |
||
(второе уравнение называют также уравнением Фоккера—Планка или уравнением Фоккера—Планка—Колмогорова, поскольку это
уравнение до строгого |
его |
вывода Колмогоровым встречалось |
в работах физиков). |
|
входящие в уравнения (130) и (131), |
Функции а (t, х) иЬ (t, у), |
||
имеют один и тот же вид, |
но взяты при разных аргументах. Функ |
|
ция |
а (t, х) характеризует изменчивость математического ожида |
||
ния |
ординаты ^марковского |
процесса и определяется |
фор |
мулой |
|
|
|
|
a(t, х) = lim — |
- М [(У — Х )\ Х = х \ |
(1.132) |
|
т-»-* т ~ |
1 |
|
Функция Ъ (t, х) характеризует изменчивость дисперсии ординаты процесса и определяется формулой
b(t, *) = 1 іт -Ц -М [(У — Х у \ Х = х]. |
(1.133) |
Т - > - * т 1 |
|
J Уравнения Колмогорова вместе с необходимыми начальными и граничными условиями определяют функцию / (t, х\ т, у), яв ляющуюся полной характеристикой марковского процесса. Та кими условиями (при неограниченной области возможных зна чений ординат процесса), например, для второго уравнения будут
І \ ^ = Ц у - х ) , / |г=±го— 0- |
(U 34) |
В том случае, когда случайный процесс U (t) определяется диф ференциальным уравнением первого порядка, в правую часть ко торого входит белый шум, нахождение функций а (t, х) и b (t, х) производится просто. Так, например, если
ü(t) + <?[U(t), |
г] = ф [£/(*), |
*]£(*), |
(1.135) |
то |
|
|
|
a(t, х) — —ер (х, *)+ 4~ Ф(ж, t) |
- , 6 (£, |
ж) = ф2(ж, 0- |
(1.136) |
Если коэффициенты а (t, x'fn Ъ (t, х) не зависят от t, а (t, х) является линейной функцией х, а Ъ — постоянная, то решением
3 А. А. Свешников, С. С. Ривкин
34 |
о с н о в н ы й Фо рм у лы |
[гл. 1 |
уравнений Колмогорова будет плотность нормального закона рас пределения. С другой стороны, в этом случае процесс U (t) удов летворяет дифференциальному уравнению вида
Ü (t) -f- y-U(t) — cE (t) -j- c0 |
(1.137) |
и, следовательно, в соответствии с формулой (106) имеет спектральную плотность
|
(1.138) |
и корреляционную функцию |
|
Ки(Х) = а1е~НА- |
(1.139) |
Справедливо и обратное утверждение: если нормальный ста ционарный процесс имеет корреляционную функцию вида (139) или, что эквивалентно, спектральную плотность типа (138), то процесс марковский.
Для марковских случайных процессов сравнительно просто может быть решен ряд задач, исследование которых в рамках кор реляционной теории является невозможным.
Вероятность того, что ордината марковского процесса в тече
ние времени |
т ни разу не выйдет за границы интервала (иІУ и2), |
||||||
определяется |
формулой |
|
и2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
w (х) = |
Sи>(х> У) dy, |
|
(1.140) |
||
|
|
|
|
«і |
|
|
|
где w (т, у) удовлетворяет второму уравнению Колмогорова |
|||||||
|
|
К + Г |
у М |
- Т & ^ |
О |
(1.141) |
|
при граничных и начальных условиях |
|
|
|||||
w(т, kx) = |
«;(*, к2) = |
0 (т^О ), |
|
|
|||
|
|
Ь(у — х), |
если начальное |
значение |
|
||
|
|
|
ординаты процесса х задано, |
(1.142) |
|||
г/)!т=о = |
f0(y), |
если в начальный момент за |
|||||
|
|||||||
дана плотность вероятности ординаты процесса.
Плотность вероятности времени пребывания случайного марков ского процесса внутри интервала {иІУ и2) — определяется форму лой
/М = |
dW(x) |
(1.143) |
дх |
' |
§ 1.3] |
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ |
35 |
В частном случае, |
если положить н2= + оо, |
то формулы (140) |
и (143) дают плотность вероятности времени выброса случайного марковского процесса за уровень иѵ Для процесса, не являюще гося марковским, просто удается получить только первый момент плотности вероятности / ( т), определяемый формулой
СО
j / (и ) d u
----------- > |
(1.144) |
J vf К , V) dv
где / (и) — плотность вероятности ординаты процесса; / (и, ѵ) — плотность вероятности ординат процесса и его производной по времени.
Если процесс нормальный и и^—й, то формула (144) упроща ется и принимает вид
X TZV |
К и (х) |
т=0 |
(1.145) |
Совокупность п случайных |
функций t/x (t), |
U2 (t),. . ., Un (t) |
|
образует тг-мерный марковский процесс, если условная плот ность вероятности ординат этих функций для «будущего момента времени» т зависит только от значений ординат этих функций в «на
стоящий момент времени» t ( т ^ |
t) и не зависит от поведения про |
цессов U . (t) в предшествующие |
моменты времени. Свойства п- |
мерного марковского процесса полностью определяются условной
плотностью вероятности ординат процессов |
Yv |
У2,. . ., У„ в мо |
||
мент времени х при условии, что ординаты |
процессов Х ѵ Х 2, . . . |
|||
. . ., |
Х п в момент времени t приняли заданные значения. |
Эта услов |
||
ная |
плотность вероятности / (t, xv х2,. . ., |
хп; |
т, уъ |
у2,. . ., уп) |
является функцией 2 (п+1) переменного и удовлетворяет системе
двух п-мерных уравнений |
Колмогорова |
|
|
d t +2 а^+т 2 |
°’ |
(1.146) |
|
df |
|
|
|
3=1 |
j , 1=1 |
|
|
|
2 |
зр7 і і < Ѵ > = ° . |
(1.147) |
|
|
||
3=1 |
J, 1=1 |
3 |
|
где a,j и bjt имеют смысл, аналогичный коэффициентам а и Ъ для одномерного уравнения Колмогорова и обычно легко могут быть определены, если известна система уравнений, которой удовлет воряют компоненты марковского процесса U (t).
3:
