Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 298

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

258 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМ И УРАВНЕНИЯМИ t № . 4

откуда

2PW,

 

Р202

 

 

 

 

 

 

D [»(*)] =

Iz

2 t +

__

[г

t2.

(4.429)

 

H2g2

(J.2 |_ Х

т

 

 

 

Таким образом, D[a(i)] растет со временем. Подставляя число­ вые данные примера, получим

D[a(f)] = 0,368 • 10~ 2 рад'1.

Среднее квадратическое значение ошибки ГН будет

аа = \/D [а (£)] = 0,06 рад = 3°29',

т. е. величина весьма большая, что связано с принятыми в при­ мере значительными величинами времени работы ГН и статиче­ ской неуравновешенности ротора при сравнительно малом Н.

Полученные результаты требуют некоторого пояснения. Нуле­ вое значение математического ожидания ä(t) означает, что при усреднении показаний серии приборов мы в пределе получим нуль. Для одного, выбранного на удачу прибора, Іг имеет случайное значение, вследствие которого ГН будет давать ошибку, опре­ деляемую выражением

 

X

 

«(0 = 4 ^ + ^

S Wy {t,)dt,.

(4.430)

 

о

 

Математическое ожидание этой ошибки будет равно

 

М И 0 1 У =

-^*,

(4.431)

а дисперсия этой ошибки (при достаточно большом t) будет

2Р2°І

 

(4.432)

 

 

где lz справа от черты означает, что речь идет об условном матема­ тическом ожидании и условной дисперсии при заданном значении

случайной

величины

Іг. Выражение (432) совпадает с первым

слагаемым

в формуле

(429) и характеризует разброс показаний

 

„

р

данного приоора относительно значения— lzt, играющего роль

условного математического ожидания. Если от условных матема­ тического ожидания и дисперсии перейти к безусловным по фор­ мулам (1.52) и (1.53) (т. е. учесть случайность значения lz для разных приборов), то мы снова получим формулы (425) и (429).

При испытании одного прибора и обработке его показаний обычным образом (см. гл. 8 ) мы получим в соответствии с фор­ мулой (432) линейную зависимость дисперсии от времени, а сравнение показаний прибора с точным значением азимута даст

§ 4. 6] ПРИМЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ 259

линейное нарастание ошибки со временем в соответствии с фор­ мулой (431).

В рассмотренном примере квадратичный член в формуле дисперсии (429) играет основное значение.

2. Гироскопические устройства, характеризующиеся линейным уравнением первого порядка, содержащим зависимую переменную.

Приведем примеры применения общих формул § 4.2 к иссле­ дованиям ГУ, описываемых уравнением первого порядка, со­ держащим зависимую переменную.

Пример 4.4. Определить математическое ожидание и диспер­ сию ошибки авиационной гировертикали, вызванной углом от­ клонения маятника-корректора от вертикали. ГВ основана на использовании трехстепенного астатического гироскопа с маят­ никовой коррекцией, имеющей линейную характеристику. От­ клонение маятника-корректора jif) относительно вертикали, вызванное случайными колебаниями самолета, является стацио­ нарной случайной функцией времени.

Дано.

 

 

X = М [X»] = 0,

 

 

 

(4.433)

 

 

 

 

 

 

Кг (т) =

1(cos Хт

-£■sin X\х

,

 

(4.434)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

°х = D [х (<)] = (1° ) 2

=

(0,01745 padf,

ц =

0,2 1 /сек,

X=

3,5 1/сев.

Угол отклонения

а рассматриваемой ГВ, вызванный углом

отклонения маятника-корректора, согласно

(3.62),

определяется

уравнением [М2=0,

£1 (*)=х(*)1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Та +

а =

1 (t).

 

 

 

 

(4.435)

Это уравнение

относится

к уравнению

типа (79),

при

этом

а1 = 1 /Г = х , где

X— удельная

скорость

коррекции,

а

 

 

X(t) = x(t)j-»

X= 0,05 1

/сев,

Т = і / * = 20 сек.

 

Р е ш е н и е .

После окончания

переходного

процесса в

соот­

ветствии с (8 8 )

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как по условию

задачи ^ = 0 ,

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ä =

0 .

 

 

 

 

 

 

(4.436)

Так как уравнение (435) имеет постоянные коэффициенты, система устойчива, а в правой части уравнения стоит стационар­ ная функция времени, то после окончания переходного процесса a,(f) можно считать стационарной функцией и, следовательно,

17*

260 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМ И УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4

для определения ее спектральной плотности воспользоваться формулой(1.97)

 

 

 

 

 

 

S > ) = |L(fo>)|*Sx(a,),

 

 

 

 

(4.437)

і\це L (Iw) — передаточная

функция системы.

 

 

 

 

 

В данном случае в

соответствии с (435)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lt <“ >l, = W + T -

 

 

 

 

 

(4-438>

Для

спектральной плотности £

(и>), согласно (434)

и (2.15),

имеем

 

 

 

 

S M -

 

62

 

 

 

 

 

 

(4.439)

 

 

 

 

 

to* + 2 «2Ы2 + 64 >

 

 

 

 

где [см.

(2.16)]

а* = р* — \*,

Р =

 

+

 

 

 

 

(4.440)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя (438)

и (439)

в (435), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 a|fj.ft2

 

 

 

 

 

 

 

(4.441)

 

 

 

s ,(<*) =

■

■тс

((о* +

2а2о)2 +

64)(Г2а)2-рі)-

 

 

График

спектральных

плотностей

S y(w) и

Sa(w),

вычислен­

ных

для

исходных

данных настоящего

примера

по

формулам

 

 

 

 

 

 

 

 

(439) с учетом (440) и (441), дан

4

 

 

 

 

 

 

 

на рис. 4.5. Из рисунка следует,

 

 

 

 

 

 

 

что гироскоп весьма интенсивно

е'Г>=

 

 

 

 

 

 

 

ѣг-ttr*

 

 

 

 

 

 

подавляет случайные колебания

 

 

 

 

 

 

маятника, особенно при боль­

i

 

 

 

 

 

 

 

ших значениях

частоты

о>, яв­

 

 

 

 

 

 

 

ляясь, таким образом, фильтром

# "Г

 

 

 

 

 

 

высокочастотных

 

колебаний

 

 

 

 

 

 

маятника-корректора и пропус­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sa«o)

 

 

 

 

кая его низкочастотные коле­

 

 

 

 

 

бания.

 

 

 

 

 

 

 

О

і

г 3

4

5

6

7

Для дисперсии

D

[а (£)] слу­

 

чайной функции

a

(if), согласно

 

 

 

 

 

 

w, 1Iсен

 

 

 

 

 

 

(1.95),

имеем

 

 

 

 

 

Рис. 4.5. Графики спектральных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плотностей Sy (ш)

и

Sa (<о).

D [<*(£)] =

J

(«о) dw

(4.442)

или,

принимая

во

внимание

(441),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СО

і

 

в

 

 

 

 

(4.443)

 

 

 

 

 

 

1

г

 

 

 

 

 

 

 

 

D t - « 1 = 4

S Т 2(о2 + 1 0)4 +

2а2Ш2 -I- 64 du>,

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

В =

4а2р,Ь2.

 

 

 

 

 

 

(4.444)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 4.6] П Р И М Е Р Ы НА И С С Л ЕД О В А Н И Е ГУ 261

Интеграл (443) может быть представлен в виде [см. (1.117)J

D [ « « ) ] = â

S

Gn-1 (ц-)

da>,

(4.445)

 

где

 

 

 

 

 

И =

(to)2"'8 +

 

(to)2"'4 + - . .

+ b _ v

(4.446)

Qn(to) =

a0 (to)- + a, (toy- 1 -f . . . +

an.

 

В соответствии с (1.119) имеем

D [a (i)]

tzN3

2a0D3 *

 

В данном случае

 

Gn_1 = G0 = В, Qn(to) = Q3(to) —

(Тт -)- 1) (

и, следовательно,

 

 

IIО

"ч>Е

Ь0 = 0 ,

аі — — (1 + 2р.Г),

"о

а2 ~ — (2р + Ь2Т),

Ь2~ в ,

ая = —Ь2.

 

Из таблицы 1. 1 для п = 3 находим

2ргсо — Ъ2)

(4.447)

—a2&o + aof>i —

a0aI^2

 

Ö3

(4.448)

D [<*(*)] =

 

2 ao (aoa3 —aia2 )

или, учитывая (447), получим

(4.449)

т. e.

V <4-450>

Подставляя в последнее равенство числовые данные примера, получим

aa= 7,458 • 10-* рад = 2',6 .

Сопоставляя значения aa=2',6 и a = 1 °, замечаем, что ошибка

ГВ существенно меньше отклонения маятника-корректора. Не меняя другие числовые данные примера, вычислим среднюю квад­ ратическую ошибку ГВ из-за отклонения маятника-корректора для различных значений Т. Полученный таким образом график

262

ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМ И УРАВНЕНИЯМИ

[ГЛ. 4

aa=f(T) представлен на рис. 4.6. Из графика следует, что

с уве­

личением Т значение оа уменьшается. Однако увеличение

Т при­

водит к росту скоростных погрешностей и статических погрешно­ стей ГВ из-за трения в осях подвеса [53]. Поэтому для нахождения

оптимального

значения параметра Т

гировертикали необхо­

димо учитывать влияние Т на суммарные

ошибки ГВ (см. § 9.6,

пример 9.2).

Определить математическое ожидание и диспер­

Пример 4.5.

сию погрешности ПИГ в динамике, обусловленной составляющей углового ускорения качки ко­

^

0,02-

 

 

 

 

рабля вдоль оси вращения по­

 

 

 

 

плавкового гироузла. Дано,

 

 

 

 

 

 

 

что ПИГ используется для оп­

 

0,01

 

 

 

 

 

ределения угла рыскания ко­

 

 

 

 

 

 

 

рабля

относительно

заданного

 

 

 

 

 

 

 

курса и установлен на корабле

 

0

5 10

<5 20

25

30

таким образом, что ось враще­

 

 

 

 

 

Т,сек

ния

поплавкового

гироузла

 

Рис.

4.6. График зависимости

расположена параллельно про­

 

 

 

Ѵ=/ (Т).

 

 

дольной оси корабля, имеющего

 

 

 

 

 

 

 

рыскание, бортовую и килевую

качку. Угол Ѳ(£) бортовой качки может рассматриваться

как

стационарная случайная функция времени

 

 

 

 

 

 

 

0(O =

M[ö(f)] =

O,

 

 

(4.451)

 

 

 

 

К ь(т) = o |e -iJ- М ^cos Ат -)- ~ sin А| т

 

(4.452)

и,

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с /

\

2оѵР

62

 

 

(4.453)

 

 

 

 

^ ѳ И —

%

+ 2 о2Ш2 + 64 >

 

где а2

=

D [Ѳ (0] = 3,79 • ІО- 2 рад2; р. = 0,04 1/сек;

А=

0,42

1/сек.

 

В

качестве

поплавкового интегрирующего

гироскопа

взят

гироскоп типа № 79 Массачузетского технологического инсти­ тута [68], имеющий параметры: постоянная времени Г = 0,001766 сек; коэффициент демпфирования интегрирующего демпфера Ь' = =20,39 Г см сек; коэффициент жидкостного трения в оси враще­

ния

поплавка

^ = 0 ,3

Г

см сек.

 

 

Р е ш е н и е . На

основании

(3.177) уравнение

движения

поплавкового

гироузла

имеет вид

 

 

 

 

Гр + ß =

+ ГѲ — p/ijß,

(4.454)

где

а>с(£) = ф — угловая

скорость рыскания корабля. Обозначая

 

 

7V

1

+ p«j

— 1 + p»i ’

(4.455)

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы