Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 301
Скачиваний: 1
§ 4 .6 J |
Й Р И М Е Р Ы НА И С С Л ЕД О В А Н И Е ГУ |
263 |
||
перепишем уравнение (454) в виде |
|
|
||
|
2 ^ + |
? = * ^ + |
ГА |
(4.456) |
Угловая скорость u)£ (t) = |
ф является |
полезным |
входным сиг |
|
налом. Поэтому, согласно (456), для погрешности е = |
ß — к1ф имеем |
|||
следующее дифференциальное уравнение: |
|
|||
|
Т1г + г = T j — |
|
(4.457) |
|
Следовательно, |
для составляющей ошибки е из-за Ѳ имеем урав |
|||
нение |
Tj&+ è = Гг6. |
|
(4.458) |
|
|
|
|||
Интегрируя это уравнение один раз при нулевых начальных ус
ловиях, получим |
(4,459) |
Тг&+ е = Тj |Ѳ (t) — 6 (0)1 |
|
или |
|
é + i - s = Ö ( i) - Ö (0 ), |
(4.460) |
т. е. уравнение первого порядка типа (79).
Для определения ё можно воспользоваться общей формулой
(115) |
для математического ожидания решенияуравнения |
типа |
(460). |
Если считать начальные условия для ё (t)нулевыми и учесть, |
|
что Ѳ(і) = 0 и б (0 ) = 0 *), то получим |
|
|
|
6 = 0 . |
(4.461) |
Для нахождения дисперсии DU(£)] можно воспользоваться общей формулой (87). Однако если считать, что переходный про цесс закончился, то проще применить формулу (93).
Из уравнения (460) находим передаточную функцию L{s) ПИГ по отношению к возмущающему воздействию бортовой качки
L(s) |
Е(О |
Гі» |
(4.462) |
|
|
<>(*) |
2Ѵ + 1 |
|
|
Следовательно, спектральная |
плотность 5, (ш) |
погрешности е (t) |
||
от возмущающего воздействия бортовой качки будет |
||||
St (ш) = |
I L (to) I2 S6(ш), |
(4.463) |
||
где Z*(to), согласно (462), имеет |
вид |
|
||
L (to) |
|
Тjto |
(4.464) |
|
7Уш + 1 ' |
||||
|
|
|||
*) 5 (t)=0 , так как 0 (г) по предположению стационарна.
264 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМ И УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4
Подставляя в (463) формулу (464) и выражение (453) для спек
тральной плотности S9(ü>) угла |
бортовой качки |
корабля, |
получим |
||||
с / \ _ |
7> 2 |
2 аѳР* |
62 |
|
(4.465) |
||
( ш ) — ! |
Т 2 Ш 2 |
% |
(ОІ + |
2 а 2 ш 2 4 - b l • |
|
||
Для дисперсии D [е (£)] погрешности е (t) имеем |
|
||||||
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
D [е (0] = |
\ |
St (a>)du |
|
(4.466) |
||
или учитывая (465), |
получим |
|
|
|
|
|
|
D [«(*)] = |
] |
т П “2 |
2 <36р. |
62 |
da>. |
(4.467) |
|
|
и о)4 -j~ 2 a2o)2 |
||||||
|
|
-f- T'Jto2 |
-j- № |
|
|||
Интеграл (467) вычисляется методом, применявшимся в преды дущем примере. В результате получаем следующую окончатель
ную формулу |
Г(Ь2 |
|
|
D[e(0 J |
(4.468) |
||
D[9(i)]. |
|||
|
^ n + ( l + ^ l )2 |
|
|
Для среднего квадратичного значения ае динамической пог |
|||
решности ПИГ имеем |
а, = ^ 0 И 0 ] . |
(4.469) |
|
|
|||
Перейдем к числовым расчетам. По формуле (3. 165) |
опреде |
||
ляем передаточный коэффициент р: |
|
||
Р |
_J___ |
|
|
1 = 0,04904- см сек ’ |
|
||
Согласно (455) находим величину Т1 |
|
||
Т, = |
—- — = 0,001740 сек. |
|
|
1 |
1 + р«і |
|
|
Пользуясь соотношением (468), вычисляем
D [е (f)] = 2,0516 • ІО“ 8 рад\
По формуле (469) находим
а, = 1,4323 • ІО- 4 рад = 0',5.
Из приведенного примера следует, что ошибка ПИГ при установке его на качающемся основании является значительной. Поэтому для уменьшения этой ошибки ПИГ обычно располагают на стабилизированной площадке.
Пример 4.6. Найти математическое ожидание и дисперсию погрешности гиротахометра, основанного на использовании трех-
266 |
ГУ, |
ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕИНЫМИ |
УРАВНЕНИЯМИ |
[ГЛ. 4 |
||
Согласно (110) |
по окончании переходного процесса математическое |
|||||
ожидание ё (t) определяется выражением |
|
|
||||
|
|
Ці) = - Т |
|
'гч |
(t) |
(4.476) |
|
|
dt |
dn |
|
||
|
|
|
|
|
||
Так как T мало, то второй член в правой части равенства можно отбросить, т. е. положить
|
|
|
|
(4.477) |
Учитывая (470), |
имеем |
vp |
|
|
|
“в = ®. = |
(4.478) |
||
|
P2 + И )2 ’ |
|||
|
|
|||
d _ |
d |
2 u2pf |
(4.479) |
|
- - |
= |
-= - ІО. |
[P2 + И ) 2]2 - |
|
dt |
|
dt |
|
|
Подставляя в последнюю формулу числовые данные, получим]
йГйч = |
dt |
= _ 0 ,6 4 . ІО' 5 |
1/сек2. |
dt в |
|
|
|
Согласно (477) имеем |
|
|
|
е (t)=— Т №dB/ --- -- 0,64 • 10~ 6 1/сек. |
|||
Так как входной полезный сигнал шв(і) |
является неслучайной |
||
функцией времени, то случайная погрешность ГТ е(£) будет обу словлена только наличием в уравнении (474) момента сил жид костного трения.
Формула (476) показывает, что математическое ожидание i(t) не является постоянным и, следовательно, погрешность e(t) не является стационарной. Однако разность !(<)=[е(£)—1(f)] уже можно считать стационарной случайной функцией, и следова тельно, для определения дисперсии DU( 0 1 — D[e(£)l после окон чания переходного процесса можно применить спектральную теорию стационарных случайных функций.
Действительно, в соответствии |
с (474) и (475) |
имеем |
Т ^ Ч Ш І Ч і ) |
= І М Тх(і). |
(4.480) |
Хотягв выражение (471) для момента сил трения кроме ста ционарных функций Ѳ(і) и ф(і) входят переменные коэффициенты cos q и sin q, однако вследствие медленного (сравнительно с по стоянной времени Т) изменения угла q функцию Мтх(t) можно считать стационарной, а следовательно, после окончания пере ходного процесса стационарным будет и решение уравнения (480),
