§ 4.6І |
|
|
|
П р и м е р ы н а и с с л ё д о в а н и е г У |
|
|
2 6 ? |
Передаточная |
функция |
L(s) |
этого |
уравнения по отношению |
к моменту |
МТх (t) |
будет, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ( s) ~ н (Ts + |
1)' |
|
|
|
(4.481) |
Следовательно, для спектральной плотности |
(м) |
случайной фун |
кции і (t) получим |
|
S%(u>) = |
IL (ко) I2 S x TX((o), |
|
|
(4.482) |
|
|
|
|
|
|
|
где на основании (471) при q = |
const |
|
|
|
|
|
|
|
|
SmT!S(®) — n2[й)2 і$ѳ (ш) cos2 q + |
co2^ |
(со) sin2 q\. |
(4.483) |
Учитывая выражения (472) и (473) |
для |
корреляционных фун |
кций |
|
(т) |
и К 9(х) |
углов |
килевой и |
бортовой |
|
качки, |
согласно |
(2.15), |
имеем (Л1 = з |, |
А 2= о\): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
/.Л_ ^іР-і______ ______ |
|
|
(4.484) |
|
|
|
|
Ф' ' ~ |
|
г. |
+ 2а\ы і + bf ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S 9(со): |
2А 2П |
Ы |
|
|
|
|
(4.485) |
|
|
|
|
|
тс |
со4 —|—2а|о)2 |
63 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вводя (481), (484) |
и (485) |
в (482), получим |
|
|
|
|
|
|
ГС2 |
|
|
|
|
ЪІ |
|
|
|
|
|
с I, |
|
m |
\ 2^21^2 COS2 q |
|
Ъ% |
|
|
|
|
И |
— |
1 - I - |
Г 2 о)2 \ |
|
тс |
|
0)4 + |
2а|о)2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2А |
sin2<? |
|
b\ |
|
|
(4.486) |
|
|
|
|
|
|
|
|
тс |
о)4 -j- 2afco2 + |
bf |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!}• |
|
Подставляя |
5g (со) в формулу (466), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
пі |
|
|
|
|
|
|
|
D [8 |
(f)] = D[e(f)] = |
Г |
• О)2 |
|
|
|
|
|
|
|
m |
' 2 Д 2Н-2 c o s 2 9 |
|
|
ь! |
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
o)4 + |
2a|o)2 + 6| |
|
|
|
|
|
|
|
2Д1Ц1 sin2 q |
&! |
b\ |
dw. |
(4.487) |
|
|
|
|
|
|
|
|
: + 2afo)2 + |
Интеграл (487) может быть вычислен методом, примененным в примере 4.4. В результате получим
В[»(0 ] = я п Ч^ . ^ Г)2 ) В[«(0 |
] + |
|
+ |
|
пЩ sin2 q |
D [<№)]• (4.488) |
Н2 |
Н?Г2 |
Г, |
|
+ (1 + )2J |
|
Для среднего квадратического значения ае погрешности ГТ в динамике имеем
268 |
ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ |
ЛИНЕЙНЫМ И УРАВНЕНИЯМИ |
[ГЛ. 4 |
|
Перейдем к числовым расчетам. Вначале найдем Ъ\ и Щ; |
имеем |
|
6 f = |
fif + |
Xf=l, 57 |
1/сек2, |
|
|
Ь| = |
^| + |
Х| = 0,5 |
1 /сек2. |
|
По формуле (470) определяем значение угла q:
|
tg 9 = ~ = |
0,5, |
q = 26°34'. |
|
Согласно (488) |
имеем |
|
|
|
|
D [е (£)] = |
3,826-Ю“8 1/сек2. |
|
По формуле (489) находим |
|
|
|
аб= |
0,1956 • 10_ 3 |
1/сек = |
0,67 угл. мин/сек. |
(4.490) |
Из приведенного примера следует, что в данном случае ошиб ка ГТ в динамике из-за момента сил жидкостного трения в оси подвеса на качающемся основании является незначительной.
3. Гироскопические устройства, характеризующиеся линей ными уравнениями второго порядка. Приведем примеры иссле
дования динамики ГУ, описываемых дифференциальными урав нениями второго порядка, общие методы анализа которых были изложены в § 4.3.
Пример 4.7. Физический маятник установлен на качающемся корабле так, что плоскость качания маятника совпадает с пло скостью миделынпангоута корабля, совершающего чисто борто вую качку. Угол крена корабля Ѳ(£) является стационарной случайной функцией, спектральная плотность которой выража
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ется |
формулой |
(485). |
|
|
|
|
|
|
дисперсию D [% (£)] |
Определить математическое ожидание % и |
ошибки ФМ, |
если |
дано: |
С= |
0,5; |
1 |
га = 6,28 |
1/сек; |
период |
собственных колебаний |
ФМ |
ГФМ = |
сек; |
постоянная |
вре |
мени |
маятника |
Г = |
1 /га = 0,16 |
сек; |
параметры |
качки корабля: |
а| = |
3,79-10~ 2 |
рад2; |
^ = |
0,04 |
1/сек; X= |
0,42 |
1/сек; возвышение |
места установки ФМ над продольной |
осью корабля |
z = —10 м. |
Р е ш е н и е . На основании (3.55) |
дифференциальное уравнение |
колебаний ФМ в данном случае имеет вид (т)с = if = |
0) |
X + 2^nX + n2x = |
—klz%{t). |
(4.491) |
Угловое ускорение 6(t) бортовой качки является стационар ной случайной функцией времени с математическим ожиданием, равным нулю
0(0 = 0, (4.492)
и со спектральной плотностью, выражаемой через спектральную плотность S6(ш), согласно (2.24), формулой
Sä ((в) = m*Sa (ш). |
(4.493) |
£ 4.6] |
ПРИМЕРЫ НЛ ИССЛЕДОВАНИЕ |
ГУ |
269 |
Вводя постоянную времени маятника Т = |
1//г и учитывая обоз |
начения (3.46) |
и (3.53), перепишем уравнение (491) |
в виде |
|
7 ^ + 2£Г* + х = --Ы )(г). |
|
(4.494) |
Применяя к этому уравнению операцию нахождения матема |
тического ожидания, согласно (492), получим |
|
|
|
7 ^ + 2 а і + х = 0 , |
|
(4.495) |
откуда по окончании переходного процесса будем иметь |
|
t (t) = |
|
(4.496) |
т. е. в данном случае маятник не имеет систематического отклоне ния. В общем случае при учете в уравнении движения ФМ верти кальных ускорений точки подвеса маятника и слагаемых второго порядка малости, этот вывод не является справедливым (см. пример 5.3).
Найдем дисперсию Dlx(01 случайных колебаний |
ФМ. Обо |
значим правую часть в (494) через kX(t), т. е. положим |
11а основании |
(493) |
X(t) = |
—zb. |
(4.497) |
|
|
|
|
Sx (со) = z2S{)(со) = 2 2ш4£ѳ(со) |
(4.498) |
или, учитывая |
(485) (опуская индексы «2»', получим |
|
|
О . . |
_2 o|jjiZ2 |
62и4 |
(4.499) |
|
* ' ' |
1с |
-(- 2 а?ш2 + №’ |
|
|
На основании формулы (1.97) для спектральной плотности |
ошибки ФМ %(t) имеем |
|
|
|
|
5х(со) = |£(гш)|2^(со), |
(4.500) |
где передаточная функция ФМ определяется формулой (3.54), т. е.
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
(4-501) |
|
Подставляя (501) и (499) в (500), имеем |
|
|
|
|
|
|
о /,.\ |
А:2 |
2 ajjjiz2 |
|
|
b2ü)4 |
|
(4.502) |
|
' М “ ' “ " (1 — Т2ш2), |
4{;2f 2Ш2 ~ со* + |
2а2ш2 + |
64 • |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 [ Щ ] = \ |
5Х(со) dco = |
|
|
|
|
|
|
|
— 00 |
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
к°- |
2<30[1Z2 |
|
'62ш4 |
|
|
|
f |
|
■dw. |
(4.503) |
|
|
J ( 1 |
- 7 ’?ш2)‘!+4^7'2(02 ^ |
-f- |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
a-w -(- |
|
|
270 ГУ, о п и с ы в а е м ы е л и н е й н ы м и у р а в н е н и я м и [ГЛ. і
|
Вычисляя последний интеграл |
тем же методом, |
что |
и в пре |
дыдущих примерах, |
получим |
|
|
|
|
D |
[*(*)] = |
|
|
|
|
|
|
ЬЧ2 |
|
62 -|_ |
|
D |Ѳ (/)!• |
(4.504) |
|
g-г |
(1 _ Г262)2 + 4 [7X262 + Тр (С + |
7 » + гзср.62] |
|
|
|
|
Подстановка числовых данных примера дает |
|
|
|
D |
M |
= 0 , 4 7 1 3 - ІО -* р а д 2^ ax = |
y/D [*(< )] = |
|
|
|
|
|
|
|
= 0,6865 • ІО"3 |
рад = 2°3&. |
|
Таким образом, отклонение маятника в условиях качки может |
быть существенным. |
автопилоте самолета имеется гиротахометр, |
|
Пример 4.8. В |
основанный на использовании двухстепенного астатического гиро скопа с пружиной (§ 3.3). ГТ предназначен для определения угло вой скорости рыскания самолета ф(0 , являющейся стационарной
случайной функцией времени. |
Дано |
|
|
|
|
|
|
ф(«) = |
0, |
|
|
|
(4.505) |
|
S ф(ш) |
2 Лр |
|
62о)2 |
|
|
(4.506) |
|
г. |
-f-2 а2а)2 -j- |
’ |
|
|
|
|
|
где |
а| = (0,01745 рад)2, |
|
р = |
0,2 1/сек, |
Х= 4 1/сек, |
А = |
|
а2 = |
р2— X2 = —15,96 |
1 /сек2, |
Ъ2-= |
р2 -(- X2 = |
16,04 |
1/сек2. |
Постоянная времени ГТ Т =0,03 сек, относительный коэффи |
циент демпфирования ц=0,707, |
передаточный |
коэффициент к= |
= 1,74 сек. |
|
|
|
|
|
|
|
Найти математическое ожидание'и среднюю квадратическую |
ошибку определения угловой скорости ф(£). |
ГТ |
рассматриваемого |
Р е ше н и е . Полагая в уравнении (3.125) |
типа возмущающие воздействия отсутствующими |
4)^ = |
0 , Л/т = 0 , |
М = 0 и заменяя со^ на ф, |
получим |
|
|
|
|
|
|
Т2$ + 2 Щ + $ = Щ(і). |
|
|
(4.507) |
Погрешность е (t) определения ГТ |
угловой |
скорости |
ф (t) равна |
разности между величиной на выходе |
ß (t) |
и полезным входным |
сигналом ф (t): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4-508) |
Для математического ожидания ё(<), согласно общей формуле (201) и учитывая (505), для установившегося реяшма имеем
§ 4.6] |
ПРИМЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ |
271 |
Выразив в (507) ß(£) через e(t), |
используя (508), получим урав |
нение для ошибки ГТ s(7): |
|
|
ГЧ + |
2U'é + е= |
(*) - 2СГІф (0. |
(4.510) |
Уравнение (510) описывает устойчивую динамическую систему, на вход которой поступает стационарная функция ф(f), и следова тельно, после окончания переходного процесса s(t) будет стацио нарной. Поэтому можно применить спектральную теорию стацио нарных случайных функций.
Согласно (1.100) для передаточной функции, соответствующей уравнению (510), получим
e ( s ) |
T 4 ^ + 2 ^ T s |
(4.511) |
|
|
_ ф ( , ) " _ г ,* * а + 2 С 7 ’* + 1 *
Подставляя (511) в формулу для спектральной плотности выхода стационарной линейной системы
получим |
|
SBИ = I |
(«*>) р |
и , |
|
(4.512) |
, > |
+ |
|
|
|
|
„ |
2 Лр |
&2Ы2 |
|
(4.513) |
|
(1 _ Г г ь,5)2+4 С 2 Г 2 й)2 п |
ш4 + 2a2ft)2 + |
* |
|
|
Подставляя (513) |
в общую формулу для дисперсии |
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
D[e(7)]= |
j St (<o)dia, |
|
(4.514) |
имеем |
|
|
—СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D И * )]= |
S (Т - |
+ 4^720)2 |
2Ау. |
62ü)2 |
, |
(4.515) |
^ о )*)2 + 4С2Г2ш2 Тс 0)4 + 2а2ыа + 64 |
|
Вычисляя последний интеграл так же, как в предыдущих примерах, получим
D[e(*)] =
4С 2Г2 (&2 + |
+ Т ^ + |
4 2 > 2 + |
4 ^ 7 2 6 2 |
+ Т Ѣ І |
(4.516) |
— (1 _ Г2,&2)2 + |
4 [^2^262 + |
7> (£ + |
Гр.) + |
ГЗСр,Ь2] Р[ф(0Ь |
где, согласно (2 .2 |
1 ), |
|
|
|
(4.517) |
|
D [Ф(«)J = b2D ГФ(і)1- |
Для числовых данных примера |
имеем |
|
|
|
D [ e ( f ) ] = 2 ,6 • ІО"4 1 /с е к 2. |
|
Следовательно, средняя квадратическая ошибка ГТ
VD(e(7)] = l,B • 1 0 - 2 y reff'
