272 |
ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ |
|
ЛИНЕЙНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ |
[ГЛ. 4 |
|
Учитывая, что, согласно (517), |
|
|
= |
+ |
= 7,0. КГ2 ІІсек, |
(4.518) |
получим ае/<3ф= 0,23.
Таким образом, в данном примере средняя квадратическая ошибка измерения угловой скорости ф соизмерима со средним квадратическим отклонением измеряемой величины.
Пример 4.9. Определить математическое ожидание и среднюю квадратическую ошибку погрешности а(t) ГМ, установленного в диаметральной плоскости корабля, так что плоскость качаний маятника совпадает с плоскостью шпангоута, если корабль совер шает только бортовую качку, а ГМ имеет демпфирование, обеспе чиваемое маятниковой коррекцией, причем в качестве угла от клонения физического маятника можно принять отклонение кажу
щ ейся вертикали от истинной, т. е. y_(t) = — z g '
Дано: угловая скорость прецессии ГМ &=7,319 >10- 3 Мсек; удельная скорость радиальной маятниковой коррекции х = 0 , 0 1 1 /сек; угол крена корабля Q(t) — стационарная случайная функ
|
|
|
|
|
|
|
ция, 6 = |
0; К ь (т) = |
^cos Хт -f iL sin X| т |
; a2 = 3,79 • ІО-2 рад2; |
р. = 0,04 |
1 /сек; Х= 0,42 1 /сек; |
возвышение |
места |
установки |
ГМ над продольной осью корабля |
10 м (z = |
—10 м). |
ГМ опре |
Р е ш е н и е . |
Погрешность a(t) рассматриваемого |
деляется дифференциальным уравнением (3.89) |
[см. также (125)], |
которое в данном случае наличия только бортовой качки, если не учитывать вертикальной составляющей центростремительного
ускорения z[9(£)]2, |
принимает вид |
|
|
a + 2xâ |
+ (х2 + k2) а== |
X («)+у X (t), |
(4.519) |
где использовано обозначение (497) X(t) = —z§(t).
Математическое ожидание случайной функции X(t) равно нулю, а ее спектральная плотность определяется выражением (499). Для определения математического ожидания &(t) отклоне ния ГМ применим к уравнению (519) операцию нахождения мате матического ожидания. Учитывая, что Z(£) = .^(£)=0, получим
I + 2x5 - f (х2 + к2) ä = 0, |
(4.520) |
откуда до окончания переходного процесса будем иметь
т. е. в среднем ось ГМ на качке будет сохранять вертикальное положение. Если учесть нелинейные члены в правой части урав нения (3.89) и случайный коэффициент в левой части уравнения,
5 4.6] |
ПРИМЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ |
273 |
то мы получили бы, что а (£)^=0 , т. е. имелась бы систематическая ошибка в определении вертикали гиромаятником.
Для нахождения дисперсии D [ot(t)] ив данном случае целесо образно воспользоваться спектральной теорией. Введя для крат кости обозначения
|
Гр* |
' |
ф " _ |
f’ |
у |
|
|
|
1 Д — *2 + к» > 1 Д’ — Х2 + к-г ’ |
+ * 2 |
(4.522) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* 0 = 7 . |
* 1 = 7 ^ . |
|
|
уравнение (519) |
можно переписать в виде |
|
|
|
|
Ц& + |
27 > + а = b0X (t) + |
Ь,Х (*), |
(4.523) |
где |
Гд — постоянная |
времени |
ГМ |
с радиальной |
коррекцией, |
а " — относительный |
коэффициент |
затухания. |
|
В |
соответствии с |
уравнением |
(523) |
передаточная функция |
ГМ по отношению к возмущающему воздействию X (t) имеет вид
|
L(s) |
b\S -f- bfj |
|
(4.524) |
|
Tjs2 + 2С7> + |
1 • |
|
|
|
Используя общее соотношение между спектральной плот ностью Sx( со) входной величины и спектральной плотностью Sa(со) выходной величины
получим |
|
S > ) = | £ ( * 0) I2 Sx (со), |
|
|
(4.525) |
/ \ _ |
*і“ 2 + bl |
2agfj.z2 |
62w4 |
|
|
С |
|
(4.526) |
° Л |
иѴ — ( ! |
_ |
+ 4 С 2Г 2,0-j |
К |
+ |
2 а 2 « 2 |
+ Ь*' |
Формула (526) переходит в выражение (502) для спектральной |
плотности S (со) отклонения ФМ |
от |
вертикали, |
если |
положить |
Тл = Т, Ь0 ~ к и Ь1= 0. |
имеем |
|
|
|
|
|
|
Для дисперсии |
D [а (0] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
D [<*(*)! = J |
S » d u > , |
|
|
|
|
|
|
—СО |
|
|
|
|
|
где 5а(со) определяется формулой (526). |
тем |
же подходом, какой |
При расчете D [« (і) ] воспользуемся |
мы применяли при расчете дисперсии погрешностей ФМ на качке (пример 4.7). В согласии с уравнением (523) член b0X(t) в правой
его части характеризует возмущающее воздействие качки |
на |
ГМ из-за неуравновешенности гироскопа, а второй член |
— |
возмущающее воздействие качки на ГМ вследствие демпфирования, обусловленного приложением к гироскопу момента радиальной маятниковой коррекции. Из уравнения (494) следует, что при менительно к ФМ учитывался в правой части лишь член первого
]8 А. А. Свешников, С. С. Ривкин
274 |
ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМ И УРАВНЕНИЯМИ |
[ГЛ. 4 |
типа kX(t), а возмущающее воздействие качки из-за наличия демпфирования колебаний маятника во внимание не принималось. Поэтому для сравнительного расчета дисперсии случайных дви жений ГМ на качке также не следует учитывать возмущающего воздействия качки, проявляющегося вследствие демпфирова ния ГМ. Полагая поэтому в (526) Ь1 =0, получим для спектральной плотности >S,a( со) формулу
s (ш)= |
2a|jj,z" |
b-(0+ |
(4.527) |
_______2«_______ ^ |
______________ |
’ |
(1 — 7’2(02)2 + 4С27’2(02 |
тс |
0)4 + 2 a W + Ь* ’ |
|
совпадающую с точностью до обозначений с выражением (502) для спектральной плотности S%(со) случайных движений маятни
кового кренометра на качке. |
|
|
|
|
|
|
Поэтому для |
получения |
дисперсии D l<*(£)] можно непосред |
ственно воспользоваться формулой (504)*) для дисперсии |
D[jc(01* |
если в последней заменить Т на Тѵ |
|
|
|
|
D [а (г)]: |
+ JL |
|
|
|
|
|
|
&2г 2 |
|
|
|
|
|
|
+ СГД |
|
+ т^ъц D [Ѳ (t)]. |
(4.528) |
е9 (і - Цы? + |
4 [Гры + тдл (с + з » |
Для среднего квадратического значения аадинамической погреш |
ности ГМ имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°„ = |
\/DFWT- |
|
|
(4.529) |
Приведем числовой расчет |
D [а (£)] |
и |
а |
По формулам (522) |
вычисляем |
|
|
|
сек, |
|
|
|
|
Гд = 1 ,3 6 6 • |
ІО 2 |
С = |
1 ,3 6 6 . |
|
Пользуясь выражением (528), |
находим |
|
|
|
следовательно, |
D[a (7)] = |
0,0281 • ІО“ 4 |
рад2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
aa = |
v/D[a (01 = |
|
0,001676 |
рад = |
5',8. |
|
Сопоставляя результаты данного примера и примера 4.7, видим, что погрешность ГМ на качке намного меньше погрешности маят никового кренометра. Это указывает на существенные преиму щества ГМ по сравнению с физическим маятником в условиях подвижного и качающегося объекта.
Пример 4.10. Вычислить дисперсию ошибки 3s в определении пройденного объектом пути инерциальной навигационной систе мой (ИНС) без демпфирования за время t = 1 час из-за ошибки акселерометра За в измерении кажущегося ускорения объекта.
*) В формуле (504) 1 /g=&=&Q [см. (3.53) и (522)].
5 4.e l П р и м е р ы н а и с с л е д о в а н и е ГУ 275
Ошибка акселерометра может рассматриваться как случайная
функция времени, |
корреляционная функция которой имеет вид |
|
|
|
* * М = |
°І.е-Мт|- |
|
(4-53°) |
|
Дано: о8о= 1 0 ' 2 |
м/сек2; ja= 0,1 1 (сек. |
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Ошибка 8s связана с погрешностью 8 а акселеро |
метра дифференциальным уравнением |
|
|
|
|
|
8s + |
v28s = 8 а, |
|
(4.531) |
где |
V— частота Шулера, равная |
1,24-ІО-3 1(сек. |
|
|
Для дисперсии решения уравнения типа |
(531) было получено |
выражение (234) |
|
|
|
|
с0 + cj, |
(4.532) |
|
D f8 s (£)] = т cos 2ѵ£-f- п sin 2vf + |
где |
т, п, с0 и |
сг |
определяются формулами (235) (при нулевых |
начальных условиях а (0 ) = а (0 ) = 0 ) |
|
|
|
т = |
2^8 |
5 К Ьа(Х) Sin Vt |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
« = — 2 ^Г \ K Sa(x) C0SVT dx= — 2^3 5««(v). |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
(4.533) |
|
|
|
CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Co = |
2 ^ |
S K *» (x) (v |
Sin VT~~ 2x C0S VX) dx’ |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
CO |
|
|
|
|
|
c i = - ^ - |
S K Sa( z ) c o s |
vxd-c = J S te(v). |
|
|
Подставляя isTSa(x) из (530) в (533) и учитывая, что корреля ционной функции такого вида соответствует спектральная плотность
|
|
|
|
а1 а^ |
(4.534) |
|
|
|
|
тс (ш2 -)- (I2) ’ |
|
|
|
|
|
находим |
|
|
°ііа |
_ ' 50 °8я |
|
ТП-. |
1 |
|
|
|
2ѵ2 |
|
+ V2 |
|
|
|
п ~ ■ |
1 |
К в |
-5— , |
|
|
|
Vs |
2 ( ц 2 + V2) |
|
|
|
|
1 |
(fJ-2 — Зѵ2) |
___ ^() |
ü8a |
|
|
___________ |
|
|
V2 2 (ц2 |
+ ѵ2)2 |
— |
v2 ’ |
= |
1 |
|
K e |
_ in°8t |
|
1 |
V2 |
V2 + p 2 |
V2 |
|
|
276 |
ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМ И УРАВНЕНИЯМИ |
[ГЛ. 4 |
Подставляя найденные коэффициенты в (532), получим |
|
D [8s (£)] = 6,5 • 106a|e [50 cos |
(2,48 • 10~3£) — |
|
|
|
|
— 5 sin (2,48 |
10-3i)_50 + |
10fl. |
При |
заданном значении |
времени £=3600 |
сек слагаемыми, не |
пропорциональными t, можно пренебречь, и мы получим D [ 8s(£) ] = =2,34 км2, откуда а8в=1,53 км.
Из примера следует, что ошибка недемпфированной ИНС, обусловленная случайной составляющей погрешности акселеро метра, может быть существенной.
Пример 4.11. Найти математическое ожидание и дисперсию ошибки корабельной инерциальной вертикали (ИВ), обусловленной моментом сил сухого трения во внутренней оси подвеса гироскопа, возникающем при качке корабля, если эта ось расположена пер пендикулярно диаметральной плоскости корабля, а скорость ф(£) изменения угла дифферента корабля является стационарной
нормальной случайной функцией времени, |
ф= 0 : |
|
|
|
|
|
АД (т) = о |
| |
^cos X-— |
sin X | т |^. |
|
(4.535) |
Дано: М°х = 0,1 Гем; |
Qx = |
1 Г е м ; |
р. = |
0,075 |
1 /сек; |
Х= |
= 1,25 1/сек; |
о| = |
0,0685 ■ІО- 2 рад2; кинетический момент |
гиро |
скопа Н — 4000 Г |
см сек. |
(139) |
уравнение ИВ |
по координате |
Р е ш е н и е . |
Согласно |
а при учете момента трения во |
внутренней |
оси |
подвеса |
имеет |
вид |
|
ä + |
V2a - f qMTX(t), |
|
|
|
|
(4.536) |
|
|
|
|
|
|
где момент сил сухого трения в соответствии с (2 .1 0 0 ) |
определя |
ется выражением |
Mrx = |
M°x + Qxsignty. |
|
|
|
|
(4.537) |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а + ѵ*а = |
% |
£ |
{sign [ф (*)]}. |
|
|
|
(4.538) |
Решение этого |
уравнения |
при нулевых |
начальных |
условиях |
( a(0)=â(0)=0) в соответствии |
с |
(241) |
можно |
записать |
в |
виде |
а (£ ) = = — |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
sign [Ф (0)] sin v t -f- |
I sign [ф ( t |
— т)] cos ѵт d x . |
(4.539) |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Для упрощения рассмотрим случай, когда в момент включе |
ния прибора |
ф(0 ) = 0 ; тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J sign [ф (I — т) I cos ѵт d x . |
|
|
(4.540) |
