Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 305
Скачиваний: 1
§ 4.6] |
ПРИМЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ |
277 |
Определим математическое ожидание а. Так как случайный процесс ф(£) не только стационарный, но и нормальный, то полу чим М [sign ф (t) ]= 0 [см. (31)]. Поэтому, в согласии с (540), имеем
s = 0. |
(4.541) |
Сопоставляя (540) и (229) (при нулевых начальных условиях), замечаем, что под знаком интеграла стоит не sin vt, a cos ѵі, причем роль функции X(t) в данном случае играет
|
|
х і W = |
v7 f sign^(i). |
|
(4.542) |
|
Поэтому для дисперсии D[«(i)l интеграла |
(540) в соответст |
|||||
вии с (232) получим |
(при а (0 ) == а (0 ) = 0 ) |
|
|
|||
|
t |
t |
|
|
|
|
|
D [а (/)] = ■! j |
J KXl (t — тх, t — т2) cos vcj cos v x ^ x ^ . |
|
|||
|
о |
о |
|
|
|
|
Так |
как случайная |
функция Хх(t) стационарна, то выражение |
||||
для |
D [<х (£)] можно переписать в виде |
|
|
|||
|
|
t |
t |
|
|
|
|
D [a (t)]= ^ j |
jj KXi (x2 — хх) cos vtj cos vxgdtjdxj. |
(4.543) |
|||
|
|
о |
0 |
|
|
|
Вводя новые переменные интегрирования £ = (хх |
х2) и т|= (т2— хх), |
|||||
выполняя в (543) интегрирование по £, получим |
|
|
||||
|
і * |
|
|
|
|
|
D [а ( і) ] = і- 1j (t — х) KXl (х) cos vx dx + |
|
|
||||
|
ln |
t |
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
||
|
Iv |
i ^ x1^ |
v № — x) ~ fiin vx] ^X1. |
(4.544) |
||
|
|
0 |
|
|
) |
|
Учитывая формулы (542) и (38), корреляционную функцию KXi (х) можно записать в виде
КХі (х) |
^ arcsin |
(х)> |
(4.545) |
где Аф (х) — нормированная корреляционная функция случайной функции ф (t), которая в соответствии с (535) выражается формулой
|
|
(4.546) |
Аф (х) = |
^cos Хх- |
sin XIXО- |
278 |
ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ |
[ГЛ. 4 |
Подставляя (545) Bf(544), получим
D [а (£)]= |
<2 ^ (t — т) соя ѵт arcsin Щ, (т) с/т -f- |
|
|
|
I о |
|
|
|
t [sin V(2t — т) — sin ѵт] arcsin А-ф(т) dт і |
(4.547) |
|
|
Ѵо |
) |
|
Для принятых исходных данных численное интегрирование (547) дает
D[a(«)] = 1,5 • ІО' 8 рад2,
а для средней квадратической ошибки ~гі получим
оа= \/D [а (£)] — 1,22 • ІО' 4 рад — 0,4 угл. мин.
Из примера следует, что ошибка ИВ, обусловленная моментом сил сухого трения в оси подвеса гироскопа, может быть сущест венной. Поэтому в ИВ следует применять гироскопы прецизион ного типа: поплавковые, с аэродинамическим или электростати ческим подвесами и т. п., в которых моменты сил сухого трения составляют весьма незначительную величину.
Пример 4.12. Определить интеркардинальную погрешность однороторного гирокомпаса при бортовой качке корабля, иду щего четвертным курсом К = 45°, если корреляционная функция угла Ѳ(t) бортовой качки
К ь(т) = а^е-и-И ^cos Хт -(- Д sin XI т |^. |
(4.548) |
Дано: о2 = 3,79 -ІО' 2 рад2; Х=0,42 1/сек; д=0,04 1/сек; z = —3 м; 9=60°; i?=6371 -ІО3 л*; U = 7,29-ІО'5 1/сек; 77=45°.
Р е ш е н и е . Отклонение а (t) оси гироскопа в азимуте опре деляется системой уравнений (3.293). Полагая колебания гиро скопа по углу у короткопериодными, получаем для координаты а. приближенное уравнение (136)
а + 2Ш + /с2а== — 17r^ |
2^ 9 2sin277. |
(4.549) |
Под интеркардинальной погрешностью ГК на качке понимают математическое ожидание случайной функции a(t). Определяя а=М[а(£)1 из уравнения (549), по окончании переходного про цесса имеем
а |
№ |
(4.550) |
і/ 2 cos2 у 2 g2 |
D [6 (/)] sin 2К. |
§ 4.6] |
|
|
ПРИМЕРЫ |
НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ |
|
279 |
|
Полагая, |
что |
в ГК |
осуществлен |
период |
Шулера, |
имеем |
|
k2= v l=g/R; |
принимая также во внимание приближенное соот |
||||||
ношение |
(2 .2 2 ), получим |
|
|
|
|
||
|
|
4 = |
|
I |
D 1° « J si" 2К- |
І « 5') |
|
Для |
заданных в примере исходных данных |
находим |
|
||||
|
|
|
ä = -0,06506 р а д = - 3°,44. |
|
|
||
Отсюда |
следует, |
что интеркардинальная погрешность у |
одно |
||||
роторного ГК может достигать весьма больших величин. Значи тельно меньшей она будет у двухроторного ГК [б4].
Для нахождения D [ а(t) ] можно воспользоваться выражением (192). Не приводя решения этой задачи, заметим, что величина D [ а (t) ] получается очень малой, так как в правойочасти уравне ния (549) возмущающим воздействием является [§(£)Р — малая величина второго порядка.
Выше была получена приближенная формула для <х. Приве дем точную формулу для <хи произведем по ней расчет интеркарди нальной погрешности ГК. Как было указано, эта погрешность определяется из системы уравнений (3.293)
а |
2 CM -f- к2а : |
|
|
кі |
|
z sin К Ѳу, |
|||
|
|
|
|
U2 cos2 ? |
|
|
|
(4.552) |
|
у -}- 2 Сггеу + |
п2у = |
|
■ |
2 cos К |
|
||||
|
|
|
|||||||
|
І |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделим первое из |
этих |
уравнений на к2, |
а второе на п2 и |
||||||
введем обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т = — |
’ |
|
Т — — |
1 |
|
(4.553) |
|
|
|
к |
|
М -- у, |
|
|
|
||
где Т и 7\ — постоянные времени ГК. |
Тогда |
|
|||||||
Т2И |
2£71d -)- |
|
|
к2 |
|
2 |
sin К я |
||
|
U2 cos2 <р |
g |
Ѳу, |
||||||
|
|
|
|
(4.554) |
|||||
^ 1f + |
2;1 7,1T + y = |
|
2 cos К X |
||||||
|
|
||||||||
|
8 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Представим возмущающее |
воздействие Ѳ(t) |
в виде спектраль- |
|||||||
ного разложения |
|
со |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
8 (f)= |
j |
еш йФ (<о), |
|
(4.555) |
||||
|
|
—со |
|
|
|
|
|
||
где йФ (ш) обладает |
свойствами |
|
(1.93) и (1.94), |
|
|||||
