6 4.6] |
ПРИМЕРЫ |
НА ИССЛЕДОВАНИЕ |
ГУ |
281 |
Вначале найдем 5 g (ш). Согласно (2.15) и (1.111) имеем *) |
|
|
с..( ч |
2 °ѳ^ |
|_ 2 <z2ü>2 + М’ |
|
(4.564) |
|
*^ё (ш/ |
я |
|
|
|
|
где |
а2 = р.2— X2, |
й2= ; і2+ Х2. |
(4.565) |
|
Подставляя (564) в (561), получим |
|
|
СО |
|
|
|
|
|
1 |
[Ѳ^ ( 1 — T’fw2 + 2Ci7’1ioü)(coi-f 2a2co2-j.64)d(0- |
(4.566) |
|
Приводя |
(566) к интегралу типа (445) и |
используя |
для его |
вычисления таблицу 1 .1 , тем же методом, который мы неоднократно
применяли ранее, |
получим |
|
г»2 [ 1 - ^ т ѵ |
— г|&2)_4р.2 |
D [Ѳ(гг)]. (4.567) |
/ = Ь2 (1 _ 2 ^ ) 2 + |
4 \т\ък\ + |
(Сі + 7 » + Т^ьц |
Подставив (567) в (562), получим точную формулу для интер кардинальной погрешности я однороторного ГК при нерегулярной качке корабля
й = |
|
к2 |
|
22 Ь 2 |
х |
|
|
|
|
U2 cos2 у 2g-2 |
л |
|
|
X ( 1 |
- |
г?& |
Ь2 ( 1 |
— 4£х7> — rj62) _ 4 ^ 2 |
+ |
4 |
[Г |
+ г |
1(1 |
(£і + r lfl) + rjCifib2] D[9(£)]sm27f. (4.568) |
|
2)2 |
|
2 ^ 2 |
|
|
Примем следующие числовые данные: период собственных коле баний чувствительного элемента ГК вокруг оси Oz 7^=1 сек, ча стота п и постоянная времени Т1 этих колебаний
п = 2 тс/ |
= 6,28 |
1 /сек, |
Г, = —=0,16 сек, |
|
|
|
1 п |
’ |
k — V= |
1,24 • 10~ 3 |
1/сек, |
Сх= 0 ,5 . |
|
Подставляя эти данные в (568), учитывая при этом другие ис ходные данные примера, получим <х=—0,0610 рад=—3°,30.
Сопоставляя результаты расчетов, видим, что значения я, вычисленные по приближенной и точной формулам, мало разли чаются. Поэтому при практических расчетах интеркардинальной погрешности однороторного ГК для условий нерегулярной качки
корабля можно |
пользоваться |
приближенной |
формулой |
(551). |
4. |
Гироскопические устройства, характеризуемые системой ли |
нейных уравнений второго порядка, сводимой к уравнению пер |
вого |
порядка с |
комплексными |
коэффициентами. Пример |
4.13. |
Гироскопический маятник без демпфирования, имеющий пара |
метры 77=1,25-ІО5 Г см сек, mgl= 1250 Гем, |
установлен в диа |
*) Хотя заданная аппроксимация (548) К в ( т) соответствует случайной функции, дифференцируемой только один раз, формулой (1.111) в данном слу чае можно пользоваться, так как интеграл I сходится.
28Й ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМ И УРАВНЕНИЯМИ ІГЛ. 4
метральной плоскости корабля на расстоянии х —28 м от плоскости миделыппангоута и имеет превышение над центром тяжести ко рабля 14 м (z = —14 м).
Пользуясь прецессионной теорией, определить для момента £ = 1800 сек математическое ожидание а (t) и дисперсию D [а (<)], если ось подвеса наружного кольца лежит в диаметральной пло скости корабля, начальные условия нулевые, рыскание корабля
отсутствует, а угловые |
скорости крена Ü(t), |
дифферента ф (t) |
и первые производные |
от координат центра |
тяжести корабля |
£с(4), Чс(() и Сг (і) являются независимыми стационарными, нор мальными случайными функциями времени, корреляционные функции которых имеют вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КJ (т) = |
|
^cos Хл + |
^ |
sin |
IТIj , |
|
(4.569) |
где / = |
1, 2, 3, 4, 5 соответственно, |
а |
числовые значения пара |
метров корреляционных функций следующие: |
|
|
|
а1== VD [Ѳ(£)] =0,075 |
1/сек, |
^ = |
0,05 |
1/сек, |
Хг== 0,75 1/сек, |
а2 = |
VdTRÖT= 0,075 |
1/сек, |
р,2 = 0,10 |
1 /сек, |
Х2= 1,50 1/сек, |
= |
D [£о (£)] = |
0,5 |
м2/сек2, |
ц3 = |
0,10 1/сек, |
Х3= 0,85 1/сек, |
°1 = |
D [t)c(*)J = |
0,5 |
м2/сек2, |
= |
0,10 |
1/сек, |
Х4 = |
0,85 |
1/сек, |
= |
D [Сс(4)] — 0,5 |
м2/сек2, |
fj,5 = |
0,10 |
1/сек, |
Х5 = |
0,85 |
1/сек. |
Р е ш е н и е . Уравнение ГМ имеет вид (252), в котором коэф фициент а (t) и правая часть уравнения X (t) определяются форму лами (315). Математическое ожидание ä (t) определяется в данном случае формулой (318). Входящие в эту формулу корреляционные функции и взаимные корреляционные функции составляющих ускорений W^, W^, W'. точки подвеса маятника в соответствии с (3,85), определяются формулами
|
|
|
|
|
|
|
|
КЮІ.(т) = |
М (|Сс (0 — |
(01 & (t + |
х) — |
{t |
+ х)] = |
1 |
|
= — Кіс,(т) — х2К.ь (т) = |
—Кь(т) — х2К, (т), |
|
КЮч(т) = |
М {[Іо (<) + |
(і)J [Іо (t + |
т) + |
(t + |
т)]} == |
|
|
= —■% (х) — |
(т) = |
—■ |
(х) — z2&2 (т). |
(4.570) |
Kw%(х)= |
м {[тіо(*) —zÖ(*)] [Чо (* + х) —20(* + т)]} = |
|
|
= —Riß (т) — Z®^* (х) = |
—^4 (т) — |
(т), |
|
§ 4.6] |
ПРИМЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ |
283 |
Подставляя эти выражения в формулу (318), получим
ä W = ^ z e x p { —^(of + ofz2)} X
t
X $ ехр{^[ЛГ4 К ) + zlK x(xx)]J £ 2 (xx) sin Ax^xj.
о
При числовых условиях примера
*2 |
+ |
■кГ- |
(4.571) |
ё [К, Ы |
(X,)] < =5 (а2 + z*°\) ~ 1°'4- |
Следовательно, экспоненту, стоящую под знаком интеграла, можно положить равной единице, и следовательно, для искомого матема тического ожидания я (*) получим
|
2X2A2a:za| |
t |
|
|
|
|
|
|
;(г) = |
^ е~ |
sin X2Xj sin Ax1 dx1 |
= |
|
|
|
|
g- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
2u.oXoatxzk2 |
X? + u| + |
№ |
+ |
|
|
|
|
|
ІІ |
№ + Ц + к*)2-іЦ& |
|
|
, X|a|a:zA:2 |
|
|
fp2 cos (X2 — k)t — (X2 — k) sin (X2 — k)t |
, |
|
+ |
g* * |
|
X |
L |
f*I + (X2 - Ä ) 2 |
|
+ |
|
|
|
. |
fij cos (X2 -(- k) t — (X2 + k) sin (X2 + k) 11 |
( |
rnm |
|
|
+ |
|
|
p| + (X2 + Ä) 2 |
J* |
} |
Второе слагаемое полученного выражения осциллирует с часто тами (Х2 + к). Однако это слагаемое имеет множитель е~^\ кото рый при заданном значении t можно считать равным нулю.
Таким образом, окончательно получим
£ ^ |
_2 (j.2 X2a|a:zA:2 |
|
Х| -f- |
-f- № |
|
-0,3028 • ІО" 8 |
рад. |
|
|
g2 |
((x2 + Xi+ft2)2_4X|fe2' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения 8 (*), |
необходимого |
для вычисления |
D [«(*)], |
производя Ганалогичные |
вычисления, |
из |
формулы (319) |
находим |
2X2<j|a:zA:2 |
Х2 |
+ к |
|
+ ' |
|
|
— —9,105 • ІО" 6 рад_ |
Р(*) = |
|
|
(*1 + (^ 2 |
|
|
|
Pl + ß 2 + W |
' |
— *)а |
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
(*) = ä (t) + |
iß (t) = |
—(0,3028 + *9,105) • 1 0 - 8 pad- |
(4 .5 7 3 ) |
Для вычисления дисперсии D [а (£)] воспользуемся общей фор мулой (287), которая при tl = t2 = t принимает вид
D [a(*)] = T R e [ t f 8 (C t)-\-Rs*i(t, *)], |
(4.574) |
284 |
ГУ, |
ОПИСЫВАЕМЫЕ |
ЛИНЕЙНЫМ И УРАВНЕНИЯМИ |
|
[ГЛ. 4 |
где Ks (t, |
t) |
и Rt*s(t, t) определяются формулами (321) |
и |
(322), |
которые при учете |
формул (570) |
и |
неравенства (571) |
в |
данном |
случае дают |
|
|
|
|
|
|
|
|
К* (*, * ) |
= |
\ (t - |
х)[-^ з(т) - |
Ü |
X) - |
2 2В Д - |
Z2Ä2 (т)] X |
|
|
|
о |
|
|
|
X cos kz dz — 18 (t) I2, |
|
|
|
t |
|
|
|
(4.575) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R M t, t) = |
f 2 S [eik<*‘- " - e tk'}[В Д - K3(T)- Z2t f 3 (t) + |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
Z2Ä 1(x )]d x _ [ 8 ( i) f . |
|
Сравнивая последние два выражения, |
видим, |
что только в первом |
из них имеется слагаемое, пропорциональное времени, которое при
достаточно большом времени работы прибора будет |
иметь |
основ |
ное значение. |
Считая, что это условие выполнено, |
для |
D [а (£)] |
получим приближенное значение |
|
|
|
СО |
|
|
D [а (*)] = |
$ [— К 3 (т) — Ä 4 (т) — Z2X j (т) — z 2K 2 (x)J cos Art dz, |
|
0 |
|
|
что после подстановки выражений для корреляционных функций дает
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
D [а («)] = |
у 2 S {з| (р| + |
Ц) e-w (cos Х3т — ^ |
sin |
|_ |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ °1 (РІ + |
Xf) |
(cos Х4т — ^ |
sin Х4т) + |
|
|
|
-f- г2а2 (р,2 |
-f- X2) e_,liT (cos X]T — |
sin Х4т^4- |
|
|
4- г2а2 (р.2 |
4- Х1)е_1І2Т(cos Х2т —р sin X2x^J cos |
^x. |
(4.576) |
Так как интеграл |
вида |
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ 0у (р-у + |
Ху) ег^Р ^cos Х^.х — ^ |
sin X^.xj cos kx dx = |
|
|
|
о |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
—у |
^ а2 (р2 |
4- X}) e~v-Jx(cos K.z — ^ |
sin Хут) e~ikxdz |
отличается от спектральной плотности S (к) производной от слу чайного процесса, имеющего корреляционную функцию вида (569),
§ 4 . 6 ] |
ПРИМЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ |
2 8 5 |
|
только отсутствием множителя к в знаменателе, |
то на основании |
(1.126) |
и (1 .1 1 |
1 ) имеем |
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
J о1,(р* + X}) е-*Л (cos 'kj-z — |
sin Хут) cos kr dr = |
|
|
|
° |
|
|
|
' |
|
|
И + *})*» |
|
|
|
|
|
- |
(к* + p} - X})2 + |
* |
Подставляя последнее выражение в (576), получим |
|
|
п гITЖ] — — f |
z2gl W |
+ Xl) |
I |
z2a2^2 (Pa + XI) |
, |
|
u L“ WJ |
** l(*2 + rf - |
Xf)* + |
4rfXf |
{kt + (jLf - |
XI)* + |
4ДО T |
|
|
|
|
I |
° з Ы ^ з + Хр |
■ |
|
+ Ц ) |
] |
|
|
|
- r (Ä2 + |
X§)2 + 4fi§X§ |
' (Ä* + |
fij - |
XJ)* + |
V|X|J * |
что после подстановки числовых данных примера дает |
|
|
D [а (г)] ^5,292 • ІО- 8 рад2, |
аа = 2,3 . ІО- 4 |
рад = |
0',8 . |
|
Пример 4.14. Определить математическое ожидание и среднюю |
квадратическую ошибку а (t) ГМ, |
установленного в диаметральной |
плоскости корабля так, что плоскость качаний маятника совпадает с плоскостью шпангоута, а ГМ имеет демпфирование, обеспечивае мое маятниковой коррекцией. Точка установки ГМ имеет превы шение над центром тяжести корабля 1 0 м (z= — 1 0 м) и удалена от плоскости миделынпангоута на расстояние 28 м (я=28 м). Дано:
начальные |
условия |
нулевые; угловая скорость прецессии ГМ |
А:=7,319 *10_3 1 /сек; |
удельная скорость радиальной маятниковой |
коррекции |
х = 0 , 0 1 1 |
/сек; угловые скорости крена Ö(г) и диффе |
рента ф (t) |
— нормальные |
стационарные случайные функции, |
ф =§= 0 ; |
|
|
|
|
|
К&(т) = |
а|е— |
^cos Х0т -j- ^ |
sin X, | т |^ ; |
|
М = |
|
(cos ХфТ + ^ |
sin ^ I т l); |
а-= 26,3 • ІО- 4 1 Ісек2; ре = 0,04 1/cere; Х0 = О,42 1/сек;
о |= 10,4 • 10~ 4 1/сек2; = 0,1 1 /сек; Хф = 0,80 1/сек.
В качестве углов отклонения физических маятников можно принять
Х і ( 0 = — J Ö(0. Хг(*)= — уф(*)-
