Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл (17,93Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 303

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

286		ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ				ЛИНЕЙНЫМ И			УРАВНЕНИЯМИ		[ГЛ. 4
	Р е ш е н и е .		Рассматриваемое				ГУ описывается системой урав
нений (254), которая				также сводится к уравнению
					8	ab ~		X (t),
где	в данном случае
			a(t) =	* +	i k ( i + ± W :),
X (t) = Ух (t) + гХ2 (0 = ( -					+		xXl) + г ( I			+ х*2) =	(4.577)
				= ~ [ ( * + ЩЪ(і) + (Ь+ **)$№

Wi ( t ) = —zb(t),				Wri(t) = z$(t),				W',(t) =		—x$(t).
	Сравнивая последние				формулы			с формулами (315),			использо
ванными при решении предыдущего примера										(ГМ без демпфиро
вания),		видим,	что в коэффициенте а (t) появляется новое постоян
ное	слагаемое,		а ускорения			W	и	нужно заменить			соответ
ственно		на (W^ — ^		Zl) = z$ + -Jz 6 и ^					+	y Z 2) = —zÖ—

Поэтому, произведя при выводе формул (318), (319), (321) и (322) замену ік — ік -)-

Кач (т) =	(т) + g	z‘K 9(т); /Ц (т) =	Z>K9(т) +	g z*K$ (т),
				/Ц (т) =	(т),
	Ra^ (х) =	— j z4C* (т) - £	2 * * 8 (t) =	(т),

получим окончательные формулы для данного случая.

Выполнив указанные преобразования, аналогичные преобразова ниям при выводе (321), имеем

2 (2 + 2)22	t
	■t J	е-Х(<-т,][Ф W + 8	(t)]X
K b(t, і)	о
		X cos хт dx — 18	12.	(4.578)

Аналогичным образом вместо (322) (после пренебрежения чле

нами второго порядка малости)		получим
	t
Л«** (С t) = р-2^	j [e~(x+‘fc)T -	е-сч-«)(2^)][(х + t k ) * K 9(x) +
	О
	.4 - (к + Іх)* (х)J dx — [8 (t)f.		(4.579)

§ 4.61

ПРИМЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ

28?

Выполнив преобразования, аналогичные преобразованиям при вы воде формул (318) и (319), получим (сохраняя главные члены

в формулах)

а (/) =	—	ь"	J? е '"'А'ф (х) sin кх d x ,
			О	(4,580)
			t	(4,580)
			t
ß (t) =	—	§	Jf e XT./fф(x) cos &x dx.
			0

При заданном в примере значении t верхний предел интегри рования в формуле (580) может быть принят равным оо. В этом случае с учетом заданного вида корреляционной функции (х) после выполнения интегрирования будем иметь

-іЛ _		^2<3Ф (4ф(А + Хф) + Цф(х + Дф) \|				(к — 4ф)-f (Хф(х-{-рф)
а \ Ч	X Z	2& 24ф	((	X - j- (Хф)2 + [к -f-	Хф)2	(х -f- Цф)2 +	(к — Хф)2
а \ Ч	X Z	.	11	V _J____+
	к-a'1.Xj. (			Хф-р А		Хф—к	= 0,17 ■І О ” 8 рад,
	к-a'1.Xj. (			Хф-р А		Хф—к
Р0 ) = и _ ± Д (Т+				\|Гф)2 + (Хф + X:)2	(х +	(Хф)2 (Хф — /с)2
Следовательно,						=	—31,8 • ІО“ 8 рад-
Следовательно,

§ (t) = (0,17 — 31,8 • г) ІО' 8 рад.

Подставляя в формулы (578) и (579) выражения для Щ (х) и Къ (х),

учитывая при этом, что К^ (х) =			—К ф (х),		(х) = —К j (х), и полагая
верхний предел интегрирования равным оо, получим
K b{t, t): ( х 2 + Щ г 2		- fj-ѳ		Xe)2	Xe +	N	' t^e +	Xe
£ 2	x + Цѳ)2 +		(k +	Xe)2	(x + Pe)2 +	(k — Xe)2.
Hj, + x\|	Хф	(Хф		_____ Хф+ Рф_____			I
■I’ L(x +	Рф)2 +	(Л +	Хф)2	(х + Рф)2 + (4 —Хф) 2			I
					— \| 8 (г)\|* = И7 • І О * 8			рад2 '

Для вычисления D [а (?)] в соответствии с (287) достаточно опре делить вещественную часть Rs*s(t, t). На основании (579) имеем

t
Re R m (t, <) = % \ e~" {f* 3 (K-é(X) + Къ W + ^ ф	W] cos kx +
+ A (x2 + k2) [K§ (x) -f	(x)] sin Ax} dt,

288 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМ И УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4

что после подстановки выражений для К j (т) и

(х) дает

п'і, / . . 2 - J - Т 2 Ч

ІГ

( k _ |_

+ Ң-ф ( * +

Р ф )

R в / ? , . » (t

t \ ______—

---- і (X- -г

^ ^

________

f y 2

T-

!8(

’ ’ ~ g ' - A -----Ц----- (

(x + рф)2 + (k + Хф)2

Лф

^ф)

|*ф(*~l~ н*ф)1,

I Г

* (^ф

і^ф)

* (^ф

^ф)

1 I I

(x + Г’ф)2 + (* —• Хф)2 j

Ь 1 + Рфрф)22 + (fc^ + ХфЧ)2

(х+грф-Ф)2+ (Xх—^Хф)2 J. I

/у.2 I

В2\ JъсУ2

і.2\ Г

(к +

Хе) +

Г-е (х +

Рв)

( + ) г ( + }L н + рѳ)2+ ( * + *ѳ) 2

Х-8 №— Хе) — В (* + Г-е)

]+4 ^+

■Пв ~

Pb)

( х + Р ѳ ) 2

+ ( *

—

Х9) 2

Рѳ)2 +

(X +

ХѲГ

■

(^8

+ Pe)

pad2.

(x + Рѳ)2

L _ ] } ) — Re [Ь (t)f = 0,155 • ІО- 8

+ (&

Подставляя полученные значения

К ь (t, t)

и Re Rm

(t,

фор

мулу (285), находим искомое значение дисперсии

D [a (і)] — у

[Кь(t ,

t) +

Re Rb*b (t,

#)] =

0,586 • Ю' 6 Рад2>

оа =

\JD [а (£)] =

0,765 • 10 3 pad =

2,8 угл. мин.

Пример

4.15.

Определить

математическое ожидание

и ди

сперсию ошибки

a (t)

авиационной ГВ, основанной на использо

вании трехстепенного астатического гироскопа с маятниковой кор рекцией, имеющей линейную характеристику, если в осях под веса имеет место жидкостное трение с коэффициентами трения п 1= п 2= п = 5 0 Г см сек, углы отклонения физических маятников Хі (Оі Хг №» угол тангажа самолета &(t) и угол крена самолета 7 (t)

являются независимыми нормальными стационарными случай ными функциями, имеющими нулевые математические ожидания и корреляционные функции вида

		Kj (т) = а2 е~Мт 1 ^cos к л -\|- ^						sin X^. \| т \|j >
где / =		1, 2, 3, 4 соответственно,
а2	=	D [Xi (0] =	8,05 • 10~ 4	pad2,	р1 =0,21/сек,				X4 =		3,5 1/сек,
а\| =		D [X2 (^)] =	3,05 • IO- 4	paö2,	р2	=	0,3	1/сек,	Х2	=	2,5 1/сек,
а 2	=	D [&(і)] =	6,9 • 10~ 4 pad2,		р3	=	0,3	1/сек,	Х3	=	2,51/сек,
а2	=	D Гт (£)] =	6,9 • ІО- 4 pad2,		р4	=	0,2 1/сек,		Х4	=	3,51 /сек.

Удельная скорость коррекции одинакова по обеим осям и равна х=0,05 1/сек, кинетический момент гироскопа //=4000 Г см сек,

начальные условия нулевые, а время t больше времени корреля ции для всех внешних возмущений и больше времени переходного процесса системы.

Р е ш е н и е . Система уравнений рассматриваемого ГУ будет отличаться от системы (271) для корабельной ГВ только обозначе-

§ 4.6]

П Р И М Е Р Ы НА И С С Л ЕД О В А Н И Е ГУ

289

ниями; угол крена корабля Ѳ(t) нужно заменить на угол крена самолета у (t), а угол дифферента корабля ф (t) — заменить на угол тангажа самолета в- (t). Получаемое таким образом уравнение и в этом случае сводится к уравнению первого порядка

			8 + ab = А" (/,)		(8 =	а +	ф),	(4.581)
где в данном случае				т
				т
			т + п'і '
Х(()	№	{[(•+ Ж ь )+ Ті(4 + Тіі)+
Х(()

								(4.582)
Отношение n/Я			мало. Поэтому слагаемыми				n%JH и n j J E	можно
пренебречь по сравнению с ^				и %2. Также можно пренебречь njH &
сравнительно		с у и щ\Н сравнительно				с ІК
Произведя указанные упрощения, в						качестве X (t) п а можно
принять выражения
X ( t ) = ( * X i + ^ & ) +				^ ( xZ 2 + - J t ) ,			а = х — i ^ .	( 4 . 5 8 3 )
Так как коэффициент а есть постоянная, а начальные условия
нулевые,	то решение уравнения				(581) будет
			i (t) =	^ e-«(<-<i)X (£j) dtv				(4.584)
Находя	отсюда		8 (t), K t (t,	t)	и Rm(t, t),		получим § (f) = 0 и
<x(£) = 0 ,	p ( 0	=	0 ,
		t	t
K b (t,	0 =	5	5		(t2 - t,) dtxdt2==
		0	0
			t		Г	а—а*
		t	0					(4.585)
		t	t					(4.585)