Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 299

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

290

ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМ И УРАВНЕНИЯМИ

trjl. 4

Для определения входящих в последние равенства функций Кх(х) и Дх*х (х), подставляя выражение (583) в общие формулы для кор­ реляционной функции и для взаимных корреляционных функций, получим

к х( х ) =

М {X* (t) X (t + х ) } =

X* [К, (X) +

К2(X )] -

 

 

 

 

(4.586)

R x.x (х) =

X* [ К , (X) _

К 2 (X)] _

£ [К3(X) -

К , (x)J.

Подстановка

(586) в (585) и интегрирование

с учетом вида кор­

реляционных

функций

Kj(%) и в предположении, что рассматри­

ваемый промежуток времени t достаточно велик, чтобы можно

было положить e~rt

0 ,

получим

 

 

 

 

 

 

J (» + P i) + у* ( Х1 + ң)

 

 

 

 

 

 

(* +

P l) 2 + (п +

77)

 

 

 

 

(* + Pi) + Xj (^l -

//)

\

 

(

П + Р 2 ) + ^ ( ^ 2 +

//)

 

 

(* + Pi)2 + (п -

T i f

J

 

\

(* + Pa)2- + ( * 2 + J ) 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(* + Pz) + Xg(ъ-w)

 

 

 

 

 

 

 

 

(%+ P2)2 +

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

(^ 2 —

 

 

+ —

аз (p! + Ц)

(x + ^

~ X3 (хз

//)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* Hi

(* + Рз)2+^а + 77)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(* + Рз) - x: ( h — 77)

\

+

а2 ([А2 +

(

H + P4) -

^

+

E>

------------- Ы ------^ _ ]

Х2)[

 

 

 

(

й \ 2

I

I

4ѴГ4 1

4/1

 

/

 

Д \ 2

(x + Рз)2 + (^-з ~

ң )

/

 

 

 

V

(* + P4)2 + уч + 77J

 

 

J (-4 + P 4 ) ~ I ^ ( ^ 4 - д )

2,33 • 10-e pad2,

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(* + (J.4 ) 2 + ^ 4 — -g j

§ 4.6] П Р И МЕ Р Ы Н А И С С Л ЕД О В А Н И Е ГУ 291

Re Ran (t, t) =

СО

 

 

 

 

 

е-"Я а

(т)

 

п

 

п

.

 

п

dt =

 

 

 

 

 

X COS— -С—

—

Sin

77 X

 

 

Х2 + н и

 

 

 

 

 

н

 

н

 

 

н

 

 

 

 

 

 

 

 

ң )+ ( п + / у ) ( х

 

 

 

1

 

 

 

(х + щ ) ( х +

- я )

 

 

* 2 + т

 

2

 

 

(х 4 - fj.j)2 4 - ^Xj +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(к+

 

 

 

д) + (Хі~ я)(*^+я)

 

 

 

 

 

 

 

 

(х +

fj.42 4 -

— - ~ j

 

 

 

 

 

 

 

 

o | x 2

( *

+

ftä )

( * +

~н)

+

(^ 2 +

7 7 )

( *

^

 

-77)

 

 

 

 

 

 

 

(* + P2 )2 + ( ^ 2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

(X 4 - (i2) (x - ^

я ) +

( х2 -

7 / ) ( x l f

- я )

 

+

 

 

 

 

 

 

l'-+f1 2 )2+

 

~

ffj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

°з RI + pj) » 2

(* +гіз)(х~ я х ! ) “

(>1з+

 

я ) ( хх7) + я )

 

 

 

 

 

H2

 

 

(y, -f- JX3)2 4 -

/

+

re\ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ 3

yy J

 

 

 

 

 

/

л /Хо\

/

 

п \ /

u«

п

 

 

 

 

 

(* + Р з )( * + я t j - y - s - д Д * І ^ + Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(* +

Рз)2 +

^ З — 77")'

 

 

 

 

 

 

 

 

°t Rf + tâ)

(* + р-і) (* - я

-

( 4

+

 

я ) (* Ц + я )

 

 

2

 

 

№

 

 

(х 4- [л4)з 4-

 

4- -gfj

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(* +

^

 

(* +

H ö

- ( 4

- я ) ( * х 4 +

я )

=

0,98 • 10-6 рад2.

 

 

 

 

 

(* + Pi)2+ ( ь - i ) '

 

 

 

 

 

 

Подстановка полученных значений К ь (t, t)

и Rei?s*a (£, t) в общую

формулу (287)

дает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D [а (£)] =

у [iTs (£, t) +

Re Яь*5

(t,

t)} =

1 , 6 6

• \0~врад2,

T. e.

а

= 4 ' , 6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

Ct

’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4.16. Определить дисперсию ошибки а(£) ГМ, уста­ новленного на корабле вблизи его центра тяжести, если корабль

19*

292 ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМ И УРАВНЕНИЯМИ [ГЛ. 4

испытывает бортовую и килевую качку, влиянием орбитального движения корабля можно пренебречь, трение в осях подвеса можно считать жидкостным, а переходный процесс закончившимся. Срав­ нить результаты, получаемые с учетом и без учета инерционных членов в уравнениях движения ГМ.

Дано: кинетический момент ГМ #= 2,2 • ІО5 Г смсек\моменты инер­ ции гироскопа относительно внутренней оси подвеса / г э=60 Г смсек2; момент инерции гироскопа относительно наружной оси подвеса / гт,=150 Г см сек2; смещение центра тяжести ГМ относительно точки подвеса Z=0,56 см\ вес ГМ Р=3950 Г; коэффициенты жид­ костного трения в осях д1=100 Г см сек, тг2= 10 Г см сек. Угол крена корабля Ѳ(t) и дифферента <j>(Z) — независимые стационар­ ные случайные функции, корреляционные функции которых имеют вид

 

к чW =

(cos А„т +

sin X„ | т |) ,

 

 

Я ф W =

1т I( c o s ХфТ + ^

sin \ IX \j ,

 

a2=

74 ■ІО' 4 рад2,

рѳ =

0,04

1/сек, A, =

0,42

1/сек,

a| =

6,9-10~ 4 pad2,

^ =

0 , 1

1 /сек,

Х^ =

0 , 8

1 /сек.

Р е ш е н и е . С учетом инерционных членов в рассматривае­ мом случае жидкостного трения система уравнений ГМ имеет вид (359). Следовательно, для определения спектральных плотно­ стей Sa ( ш) и iSß ( со), характеризующих ошибки ГМ после оконча­ ния переходного процесса, справедливы общие формулы (351), которые с учетом формул (359), (360) и (361) в данном случае при­ нимают вид

с__ ________________________njfPulS,! (м)_________________________I

« ( ' ~

I ( 7 ü>2 —

ÉHjU — IP)

( 7 Г. „ü>2 — іп2(О — IP ) — Н 2W2 |2 І "

 

 

re| I 7Г. эш2

— гга2м — IP |2 со2Уф (ш)

 

I ( У Г^й)2, — іп^ы — І Р) { 7Г. эш2— іп2ш— IP) — /72ы2 р >

 

« f l 7 1гм2 — і / ц ш — г р2 Ш|2У ѳ (со)

 

‘М <°' ■

I ( / Г71ш2 _

ire jio —/jP) (7г э 0)2 _ m2(0 — IP) -

f 2f<o2 |2 +

 

 

 

ге |//2а)45ф (и)I

 

 

I ( 7 Г1)<о2 — irejco —

Z P )7 г( - э со2 — гга2 ш —

Z P ) _ң г шг |2 *

(4.587)

(4.588)

где спектральные

плотности Sb (ш) и £ф(ш)

в соответствии

с

заданным видом

корреляционных функций

(т) и

(т)

§ 4.6] ПРИМЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ 293

и

формулой

(1.124)

определяются равенствами

с /

\ _____ 2з0р.д (р.| 4- Ад)______.

 

8 1

’ *[(^ + Рд2 + А?)2 - 4 \ 2о>2]

 

 

 

 

___________ 2gijpe (но +

Ч)________ _

 

 

 

тс[(ш -- ірд)2— Ад] [(«-)- Що)2— Xg] I

 

2а|^(р| + ф

(4.589)

 

 

1

i t

[ (<*>2 + р | +

Х |) 2 — 4A |ü> 2 ]

 

 

 

_

2а|цф (Цф2+ А|)

 

 

 

IX [(ft) — г'Рф)2— А|] [(ш +

(>ф)3 — А|]

Подставляя (589) в (587) и (588) и интегрируя полученные вы­ ражения по ш от —со до -(-со, получим искомые дисперсии

D[a(0] и D[ß(0I- Доведем расчет до конца для дисперсии D [«(£)]. Записав для этой цели числитель второго слагаемого в (587) в виде полинома и учитывая при этом, что полиномы

[(іи> - f fXg)2 4- Х|],

[(ко -f- рф)2 -f- Х|],

{J ГГ) ^ Г.э“ 4 — [П1П2+ Я 2 + I P

(7 Гі) +

J г.э)]“ 2 +

+ РР2+

і [—(п2/ , ч + n j t' „) О)3 + (щ + п2) ZPu)]}

имеют корни только в верхней полуплоскости, формулу (587) можно представить в виде

с л.л__^Ogpg (pf +

Ад) п\н20)і ,

 

 

 

( ' ~

-------- Чіі --------------------------

Г

 

 

 

 

it|<?e(!“) |2

(гіі - 2IPJC,э) 0)4 +

12Р2ШЦ

 

 

2а|рф (р| +

А|) ПІ [/2. эО)6 +

 

+

------------------------

к

(іо,)"|2------------------------

>

(4.590)

где

 

 

 

 

 

Ql (s) — a?0s6 + a8s5 + a[|s4 + a8s3 + afs2+ afs -)- a\,

a 0

J T T ) J T . 8>

n j r э +

и ,/гч,

 

a\ =

2pe7ri}7r., +

 

«S = Ң +

X?) / г/

г.э + піЩ + H2 + lP (Jrn+ J T^) +

 

 

 

 

 

”f~ ^Ho ( ^ l J г . э “t~ ^2 J rij) >

al — (ni +

Щ) lP +

(Но + ^) K 7 P<э +

n2J Гт1) +

 

 

 

 

+ 2р.е [HjHj + Я 2 + / Р ( 7 г э + 7 Г1))],

< =

(и? +

X*) [п Л

+ Я 2 +

IP ( J rn +

7 Р ,)] +

 

 

 

 

 

+ 2 рѳ (пі + nè lp + PP2)

al =

(н| +

Xg) (щ +

nt) IP +

2 ^ l2P2,

al = (p2 + X2) l2P2,

а коэффициенты у полинома (s) отличаются от соответствую­ щих коэффициентов полинома ф” (s) только тем, что рѳ и Хд нужно заменить на рф и Хф соответственно.

294

ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ

ЛИНЕЙНЫМ И

УРАВНЕНИЯМИ

[ГЛ. 4

 

Интегрируя (590) по ш, получим

 

 

 

 

D [я (0) =

—^®

 

 

j

- (І(-0—|-

 

 

 

 

 

 

 

 

_ J 9 8 ( 4 I S

 

 

 

 

 

2 4 M 4

+ Ц)

n\

7 J\. 8ü>6 +

(и| — 2 Я / Г. g) »4 + ПРЧ ■d«0 .

(4. 591)

 

 

 

 

 

I.Oe 0 «) I

 

 

 

 

Подынтегральные выражения интегралов, входящих

в (591),

сов­

падают по своему виду с

выражением (1 . 117). Следовательно,

эти интегралы

могут быть

вычислены с помощью таблицы

1 . 1 .

Подставляя числовые значения примера и обозначая

коэффи­

циенты полинома,

стоящего в числителе первого интеграла, через

6 ®., а для

второго

интеграла

через М, получим Ь®= 1 ,

5®=

5 ®=

=

Ь®= Ь» = Ö* =

0,

Щ = 0 ,

Ь? = 0,

b f = / s . = 3èoO, Щ = (п\ —

•— 21PJT э) = —2,6534 • ІО5, bf = l2P2= 48,928 • 10s,

6 f =

0,

a?,=

=

9 -IO3',

aj =

8,22 • 103, a®= 4,84 • 1010,

a\ = 3,8723 • 109,

a« =

=

8,6202-IO9,

a®= 4,3474 • ІО5,

a®= 8,7094 • 10s,

a* = 9-103,

af = 9,3 •

103,

 

af = 4,84

• 1010,

af = 9,680 •

109,

 

af =

=

3,1465 • 1010,

af — 1,1367 • 106,

ci$= 3,1803 • ІО6.

Подставляя

эти значения в соответствующие формулы таблицы 1 . 1

и вычис­

ляя коэффициенты интегралов в формуле (591), получим

 

 

 

D [а (£)] = 1,5370 • ІО-8 рад2,

<за=

1,24 • ІО- 4

рад.

 

Для проверки возможности пренебрежения инерционными членами

в системе

уравнений

ГМ (359) нужно отбросить слагаемые 7Г8ß

и 7ri]ä и повторить все проведенные выше выкладки.

Того же

результата можно достигнуть,

положив в окончательной

формуле

(590) и

в

формулах

для

коэффициентов

а®., а|, Ь®. и

7Г =

= 7Г 8 =

0.

Идя

этим

путем,

замечаем,

что степень полиномов

QI (гш) и

 

(іш) уменьшается на 2 ,

и следовательно, будем иметь

D [»(*)] =

 

j

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

,

7

2<Фч Н + Н)

п$(“г“ 4 + г2/>2“2) л

(4.592)

 

 

+

-------- —

------1п ф '7.

,|2 -------------------- d w ’

 

 

 

где

<?4 (s) =

аУ +

a ? s 3 +

аУ + als +

a4>

 

 

 

 

 

a® =

 

+

Я 2,

 

 

 

 

 

 

 

а\ =

(«1 +

п 2) IP +

2 р ѳ ( щ щ +

Я 2),

 

 

 

а \ =

( 9 в +

х ѳ) К

п г +

Я 22 !і) ѳ+(п і + п і ) l P + P P 2,

 

 

al =

+

Xe) (ni +

nè lP +

2 Ы 2 р 2 1

 

 

 

«? =

W + XD

^

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы