Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2024
Просмотров: 300
Скачиваний: 1
§ 4.6] |
ПРИМЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ |
295 |
а коэффициенты полинома Q\ (s) отличаются от коэффициентов полинома Ql (s) только заменой индекса «О» на «Ф».
Для коэффициентов полиномов, стоящих в числителях (592), сохраняя прежние обозначения, получим
|
4 = 1 , |
4 = 4 = 4 = О, |
||||
|
Щ= п\, |
Щ= РР\ 4 = Щ= 0. |
||||
Подставляя числовые условия примера, получим |
||||||
а®= |
4,840 ■1010, |
4 |
= |
3,8722 ■10®, |
||
4 |
= |
8,620:1 |
• 1 0 й, |
4 |
= |
4,3474 • Ю5, |
а\ = |
8,7094 • ІО5, |
4 |
= |
9,6802 • 10®, |
||
4 |
= |
4,84 • 1010, |
4 |
= |
100, |
|
4 |
= |
3,1465 • 1010, |
4 |
= |
11,367 • ІО5, |
|
4 |
= |
3,1804 • 10е, |
4 |
= |
4 = о, |
|
4 |
= |
4,8929 • 10«, |
|
|
|
|
|
4 = 1 , |
4 = 4 = 4 = о. |
|
||
Подставляя |
эти значения |
в соответствующие формулы таблицы |
|||
и вычисляя коэффициенты в (592), находим |
|
||||
D [а (*)] = 1,5212 • ІО' 8 рад’2, |
аа = |
1,23 • 10' 4 |
рад. |
||
Сравнивая |
последний |
результат |
со |
значением |
D [ а(^) ] == |
= 1,5370 - ІО' 8 рад2, видим, что учет инерционных членов в рассматри ваемом примере не оказывает существенного влияния на дисперсию ошибки ГМ. Малое изменение дисперсии при отбрасывании инер ционных членов является оправданием использования формул прецессионной^теории при решении многих прикладных задач, однако при этом следует иметь в виду, что могут встретиться за дачи, при решении • которых существенное значение играет не только величина дисперсии ошибки а (і), но и более тонкая струк тура спектральной плотности »Sa (ш). Это может иметь место, на пример, при прохождении случайной функции а (t) через динами ческую систему, играющую роль фильтра. Если этот фильтр является нечувствительным к частотам, соответствующим спек тральной плотности найденной в рамках прецессионной теории, но пропускает частоты, возникающие при использовании полных уравнений, то учет инерционных членов может оказаться существенным.
Пример 4.17. Определить дисперсию ошибки a(t) инерциаль ной вертикали при работе последней в течение времени t, если ИВ установлена на самолете так, что ось наружного карданова кольца стабилизированной площадки лежит в плоскости симметрии самолета, угол тангажа & (t) и угол крена у (і) — независимые
296 |
ГУ , О П И С Ы В А Е М Ы Е Л И Н Е Й Н Ы М И У Р А В Н Е Н И Я М И |
[ГЛ. 4 |
стационарные случайные функции времени, в осях подвеса имеет место жидкостное трение, параметры ИВ Н, / г э, / г1і, пх= п 2—п заданы, а корреляционные функции &(t) и у (t) имеют вид
Ка (х) = о|е-^ІВ ^cos Xöx + ^ siu Ха | х |) ;
Щ (т) = |
н1т| ^ со.ч Хтх -f ~ sin Хт I х Ij . |
|
Р е ш е н и е . Рассматриваемая ИВ описывается системой урав |
||
нений (335), в которой ф (t) нужно заменить на &(t), |
а Ѳ (t) — на |
|
у (<). Так как в данном случае п1 = п 2, а начальные условия яв
ляются нулевыми, то справедлива формула (382) |
и следующая |
||
из нее формула |
(384): |
|
|
|
t t |
|
|
D [* ( * ) ] = S S \p к х2) я*, (ті — т2) + |
|
|
|
|
о о |
|
|
+ Q (Т1 , h) |
(хі — хг) + 2N (т1 . тг) |
(*! — s ) \ d \ d i 2, (4. 593) |
|
где ѵх и ѵ2 определяются формулой (380), Р, Q и |
N — форму |
||
лами (385), а Xj |
(t) и Х 2 (t) — формулой (380), в которой ф нужно |
||
заменить на &, а Ѳ — на у. Выполнив последнюю замену (пренебре
гая при этом /гу по сравнению с НЬ, |
а пЬ по сравнению |
с Н у), |
|||
получим |
|
|
|
|
|
|
« 2# 2 |
я - . , \ |
« 2 ~ |
|
|
|
(№ + «2)2. К а |
— |
|
|
|
к *><?)■■ |
«2Я2 |
2 |
Я |
2 |
(4.594) |
|
(№ + « ) |
|
|
||
(t)= о.
Всоответствии с формулой (380)
= - |
У 1 + |
]/ 1 -{- |
ѵ— ] / Jr — 1)24 • 1 0 3 1 /сек, |
И2 |
|
g . = —14,1. Ю-М/сек. |
|
|
|
||
<2 У 1 + /Г2 |
|
|
|
Следовательно, |
| ѵ2| |
и в формулах (385) для полиномов |
|
Р ( т1, т2) и Q ( Т1} |
х2) слагаемыми, имеющими множитель ѵ2, можно |
||
пренебречь сравнительно со слагаемыми, имеющими множитель ѵг Выполнив эти преобразования и учитывая (594), вместо (593) получим
[sh Vjtj sh v2x2 cos VjTj cos v{z2Ka (x2 — Xj) -f-
D [.y > ]= - £ . ( (
о о + ch ѵ2хх ch v2x2 sin v1 x1 sin vxx ( x 2 — xx)] dxxdx2-
§ 4 . 6 ] |
ПРИМЕРЫ |
НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ |
297 |
||||
Воспользовавшись формулами |
|
|
|
|
|||
|
sh а sh ß = |
[ ch (а + ß) — ch (а — ß)]/2 , |
|||||
|
ch а ch ß = |
[ch (а — ß) + |
ch (а -f- ß)]/2 , |
||||
|
sin а sin ß = |
[cos (а — ß) — cos (а + |
ß)]/2 , |
||||
|
cos а cos ß = |
[cos (a — ß) -|- cos (а -f- ß)J/2 , |
|||||
последнюю формулу можно переписать в виде |
|
||||||
D [а (i)l = |
t |
t |
|
|
|
|
|
|
{[ch v2 (Xl + x2) — ch v2 (x2 — xx)] X |
||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
X [cos V, |
(X j + X ,) + cos Vj (x2 — X j) ] К ъ (x2 — |
X j)-f [ch v2 (xL -j- x2) + |
|||||
+ ch v2 (x2 — Xj)][cos vj (x2 — Xj) — cos Vj (x2 + |
x^] |
(x2 — xx)} dxxdx2. |
|||||
Переходя от переменных интегрирования х2 и х2 к перемен |
|||||||
ным интегрирования х = х2 — х1; |
£ = х2 -[-х1, получим |
||||||
|
t |
(2t—т |
COS |
|
|
|
|
D [а (0.1 = |
— Ш 5 |
— ТМ f ^ Ch |
+ |
|
|
||
|
О |
I |
X |
|
|
|
|
-)- ch v2£ cos VjX— cos vj ch v2x — cos v2x ch v2x) Kb (x) -)- (ch v2£ cos v j—
— ch v2£ cos VjX-(- cos Vjl ch v2x — cos ѵхх ch v2x) (x)] d l J dx.
Интегрирование по £ может быть выполнено нѳзависимо?от
вида корреляционных функций К ь (х) |
и |
К-, (х). |
Если 'при' этом |
||
учесть малость |ѵ2| сравнительно с |
ѵ1( |
уа и ут, |
то послеіинте- |
||
грирования |
D [а (0] |
примет вид |
|
|
|
D[a(f)] = - |
Im 0! HFH cos Vj (2t — x) — |
|
|||
|
jlL |
|
|
|
|
2x |
2 |
2 |
л |
|
|
— Щ cos v,x |
— ^ sin VX(2t — x) + |
-g- Sin vxxj K b (x) + |
|||
+(sin Vj (2t — x) — sin Vjx) — 4 (t — x) cos VjxJ ä ^ (x)J dx.
При заданном в примере |
значении времени t, которое зна |
|
чительно превосходит время |
корреляции |
случайных процессов |
&(f) и f (t), верхний предел в последнем |
интеграле может быть |
|
положен равным сю. Поэтому, принимая во внимание, что для
принятого вида |
корреляционных |
функций Кь (х) и |
(х) после |
||
Кь(х) = |
—а$ (у! + Х|) e-w>M (cos Хэх — g |
sin Xe | x |) , |
|||
K.<(x) = |
—o| (u.2 -f- X?) |
(cos XTx |
r |
smXT |
|
|
|
|
|
||
298 |
ГУ , О П И С Ы В А Е М Ы Е |
Л И Н Е И Н Ы М И |
У Р А В Н Е Н И Я М И |
[ГЛ. 4 |
||||||||
выполнения интегрирования по т получим |
|
|
|
|
|
|||||||
D [а (0 ] = |
{J[(4fsin2V |
+ ^ cos 2Ѵ + |
т) |
“ |
|
|
||||||
|
— 2 sin 2vjf • 7(ö>-f- ^4г cos 2vji |
|
sin 2 v ^ |
7(ö) — |
|
|
||||||
|
|
2 ( 1 + cos 2 vxt) /(») + |
■(cos 2Vji — 1) 7(f) -f- |
|
|
|||||||
где |
|
+ |
i |
(sin 2vjt - |
2v/) 7(f) + |
47(f)]}, |
(4.595) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7f) |
|
sin VjTdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
_64 + 4) |
|
f4 + |
|
+ 4 , |
~~ 4 ~ 4 |
|
||||
|
|
|
|
2 Xa |
|
f4 + (vi + ^a) 2 |
4 + (7i — ^a) 2 . |
|||||
7(9j __ — ^ К ъ (т) cos |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
о |
_ °\ 64 + 4) |
|
|
|
|
щ ~ |
ь |
|
|||
|
|
|
- ѵі |
|
|
|||||||
|
|
— |
|
Щ |
|
4 + (vi + ^s) 2 |
4 + Ha —vi)2 |
|||||
7(ö) = |
■— ^ TCa (t)t sin v1 t^t= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
__ 2aI (p-I H- |
} |
|
p.9____________ fT9_______ |
|
|
||||||
|
|
2l* |
I 4 + (Vi + )ч>)? |
4 + Hi - h)2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
_ |
^a 64 + У , + 4) |
p9 (^x9—Ц — |
|
|||||
|
|
|
|
|
[p& + (vi + ^a)2] 2 |
Ha + Hi — ^a) 2] 2 |
J ’ |
|||||
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7(*) = |
— ^ Äs (t) t cos vxxdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
4 6*5 + 4) I |
— У!_____ |_ |
|
2 \д — Уд |
. |
|
|
||||
|
|
|
1 Ра + Hi + ^s) 2 |
4 + На —vi) 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 vjfia |
|
|
2 |
(2 Xa — vj) 4 |
I |
|
|
|
|
|
|
[4 + Hi ■+ ^a) 2] 2 |
[4 + На — vi) 2] 2 |
J |
|||||
a 7(f), |
7|f), |
7(f) и 7(f) |
отличаются от |
7(9), |
J ^ \ |
J ^ \ 7(®) соот |
||||||
ветственно только тем, что всюду индекс «&» нужно заменить на индекс «у».
Подставляя величины 7(s), 7(&), 73(9), 7(e), 7jf), 7|f), 7(f), 7(f) в (595), получим окончательное выражение для D [<* (£)].
