Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Г Л А В А Й

ГУ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ЛИНЕЙНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§ 5Л. Линейные уравнения, коэффициенты которых являются случайными величинами

1. ГУ, характеризуемые линейными уравнениями со случай­ ными коэффициентами. В прикладной теории гироскопов часто приходится иметь дело с системами линейных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются случайными вели­ чинами.

Основными причинами, вызывающими случайный разброс коэффициентов уравнений, является отклонение параметров ГУ от их расчетных значений. Так как параметры гироскопов вслед­ ствие погрешностей изготовления, а также вследствие изменения параметров прибора в процессе эксплуатации всегда несколько отличаются от их расчетных значений, то, строго говоря, коэф­ фициенты уравнений ГУ всегда содержат случайные величины. Некоторые из них существенно влияют на показания ГУ, а ряд других оказывают второстепенное влияние или вследствие малости дисперсий этих величин, или вследствие того, что коэффициенты, в которые входят случайные величины, мало влияют на показания прибора.

Простейшим примером уравнений ГУ, содержащих случайные величины, являются уравнения (3. 1 0 ) трехстепенного астатиче­ ского гироскопа в рамках прецессионной теории, имеющие вид

(5.1)

где Н и MXii M'. можно считать случайными величинами.

К такому же типу относится и уравнение (3. 29), характеризую­ щее азимутальное движение ГН при статической неуравновешен­ ности гироскопа

(5.2)

где вес гироскопа Р, кинетический момент гироскопа Н и смеще­ ние Іг центра тяжести гироскопа относительно точки подвеса являются случайными величинами.

а I, Р и Н — случайные величины.

Таким образом, практически у всех уравнений, приведенных в главе 3, коэффициенты этих уравнений, рассматривавшиеся как заданные постоянные, в общем случае нужно считать случайными величинами, и для исследования свойств решений этих уравнений, кроме вероятностных характеристик входящих в них случайных функций, необходимо располагать вероятностными характери­ стиками случайных коэффициентов.

Исчерпывающими характеристиками этих коэффициентов, как для всякой системы случайных величин, является их закон рас­ пределения. Однако, как будет видно из дальнейшего, обычно достаточной характеристикой этих величин являются их первые два момента, т. е. совокупности математических ожиданий этих коэффициентов и их корреляционная матрица.

2.Уравнение первого порядка со случайными коэффициен­

тами. Перейдем к рассмотрению различных типов уравнений со случайными коэффициентами.

Уравнение первого порядка, не содержащее зависимую пере­

где В — случайная величина, а X (t) — случайная функция, вероятностные характеристики которых предполагаются извест­ ными.

Будем считать В независимой от X (t). Интегрирование урав­ нения (1 2 ) дает

Применяя к (13) операцию нахождения математического ожи­ дания и учитывая взаимную независимость а0, В и Y (t), получим

Аналогичным образом, находя корреляционную функцию (13), получим

Ku{t,, і2) = 0 Ы + {І? + 0 \ В ] } К ^ і ѵ Q + y itJ y iQ D iB ] . (5.16)

Полагая в последнем равенстве tt=t^=t, для дисперсии угла а (t) будем иметь

D [а (*)]= D ы + + D \В\] D [Г (t)\ + [y{t)f D [В]. (5.17)

§ 5 . І ] УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИ ЧИ НЫ 303

Аналогичным образом вычисление дисперсии (21) дает

D [а (0] = D (.« (0)] +

t t

+ (D [В] + В2} j j Ещ(ix, + ix2) Kx (t — x„ t — x2) cM x2 +

0 о

tt

+D [B] ^ Je1(ix, + ix2) x (t — X , ) Ж(i — X 2 ) dx,dx2+

0 0

t t

-f 62 jJ[2?(ix,+ ix2)— ■E (ix,)jf?(ix2)Iж (t — X,)X(t —x2)dx,dx2 (5.25)

0 0

или, для нормального закона распределения и стационарного про­ цесса X (t) с нулевым математическим ожиданием,

Формулы (24) и (25) требуют пояснения, так как интегралы, входящие в эти формулы, растут с увеличением t, а для наиболее часто встречающихся случаев постоянного математического ожи­ дания X и экспоненциального затухания корреляционной функции Кх (т) растут неограниченно при t -> со. Этот результат про­ тиворечит физическому смыслу задачи и связан с тем, что предпо­ ложение о нормальном законе распределения случайной вели­ чины Л, в данном случае неприемлемо и должно быть отброшено. Действительно, предполагая Л , нормальной, мы тем самым с ко­ нечной вероятностью допускаем, что эта величина может прини­ мать отрицательные значения. Однако при Л, <С 0 уравнение (20) соответствует неустойчивой динамической системе, для которой обобщенная координата а (і) будет расти со временем. Поэтому, производя при вычислении і (і) и D [ а. (і) ] усреднение по различ­ ным значениям А „ мы и получим расходящийся результат. В дейст­ вительности в реальных гироскопических системах коэффициент Л, всегда положителен, т. е. рассматриваемая система всегда устой­ чива. Таким образом, предположение о нормальном законе рас­ пределения, которое обычно является допустимым при решении подобных задач, в данном случае неприемлемо и должно быть отброшено. Полученный результат, представляющий интерес с общетеоретической точки зрения, в задачах прикладной теории гироскопов обычно не играет существенного значения, так как разброс коэффициентов уравнения (2 0 ) вызывается неточностью

304 УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [ГЛ. 5

изготовления прибора и является малым в том смысле, что реше­ ние уравнения (2 0 ) можно разложить по степеням разности (Нх—йх) и воспользоваться более простыми приближенными формулами, применимость которых основана на допущении, что ни при каких реальных значениях А г система не может потерять устойчивость.

а (t) = а (0) -f- В I е~а'тХ (t — х) dx — (Ах — а:) В ^ e~a'zxX (t — х) dx -f-

u

Полученный ряд позволяет вычислить моменты а (t) с любой точностью. Так, например, ограничиваясь членами второго по­ рядка малости относительно {А±—вх) (т. е. сохраняя в окончатель­ ных выражениях центральные моменты случайной величины A t не выше второго), получим

о0

иT. Д. Полученные формулы существенно упрощаются в частных