§ 5 . 1 ] |
УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИ ЧИ Н Ы |
305 |
3.Уравнение второго порядка со случайными коэффициен
тами. Перейдем к рассмотрению уравнения |
второго порядка, |
т. е. уравнения вида |
|
ос -(- /Ijd -j- А2а = X (t), |
(5.35) |
где коэффициенты A t я А 2 являются случайными величинами, не зависимыми от ординат случайной функции X (t). Будем считать для простоты начальные условия нулевыми. Тогда в соответствии с (4. 147) и (4. 150) решение уравнения (35) мо?кет быть предста влено в виде
t |
|
|
ос (t) = - ^ I е~ѵ-тХ (t — т) sin ѵт dr, |
(5.36) |
о |
|
|
где |
________ |
|
р = 4 л г, |
Ѵ= ] / Л 2 - І Л ? . |
(5.37) |
Если закон распределения системы случайных величин А ѵ
А 2 известен, то можно считать известной и плотность вероятности
/(р, ѵ) системы случайных величин р, ѵ. Поэтому все моменты ординат случайной функции а (t) могут быть вычислены. Например,
для математического ожидания а (t) имеем
t |
СО |
|
|
а (t) = |
^ ^ -і- е~ѵ-тх (t — т) sin ѵт • / (р, |
ѵ) dp. dv dz. |
(5.38) |
0 |
— со |
|
|
Однако формулы такого типа практически оказываются не |
пригодными для |
вычисления, так как нахождение |
плотности |
/ (р, ѵ) по заданному закону распределения |
системы случайных |
величин (Аг, Л2) связано с определенными трудностями (даже для нормальной системы величин получается слитком громоздкое выражение), а вычисление интегралов типа (38) обычно возможно только численное.
Вычисления существенно упрощаются, если отклонения слу чайных коэффициентов от их математических ожиданий можно считать малыми. Поскольку в прикладной теории гироскопов эти отклонения вызываются погрешностями изготовления ГУ, то этот случай мы и рассмотрим подробней. Разложив р и ѵпо степе
ням «малых» величин |
(А х—ах) и (А2—а2), |
получим |
|
І* = у |
йі + у ( 4 і ~ ®і)> |
|
(5.39) |
|
< -• У ^ |
Ш |
л і |
‘ (5.40) |
|
2 Jj |
! ѵ9^ |
1 |
|
j= 1
20 А . А . С в е ш н и к о в . С. С. Р и в к и ң
306 У Р А В Н Е Н И Я ГУ СО С Л У Ч А Й Н Ы М И К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т А М И [ГЛ. 5
где введены обозначения |
|
|
|
■V |
1 |
Ло = Ап а„ ■ |
|
(5-41) |
T ß |
— |
Поскольку моменты случайных величин А ги А 2 предполагаются заданными, можно вычислить и все моменты системы случайных величин (р, ѵ). Например,
|
|
|
|
СО |
|
«к |
= |
ѵ" = |
ѵо - 2 М К - ^ | т г М ( Л І 1 , |
(5.42) |
где |
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
М И 3] = |
- |
і < , |
M f^] = |
a^ + iâ f a li + i â 1 ^ . ) + 1 L !A(«1) |
(5.43) |
и т. д., |
где |
— центральный момент порядка / случайной вели |
чины Л 1( а последняя формула написана для случая, когда |
и |
А 2 — независимые |
случайные величины. Подстановка (39) и |
(40) в (36) |
позволяет получить разложение а (t) по степеням слу- |
чайных величин у (Лх—■äj) и Л3, которые в данной задаче можно считать малыми. Производя это разложение и сохраняя только
первые степени «малых» случайных величин, получим |
|
|
t |
) |
|
* (t) « |
j с |
2 а,Т {sin ѵ0т + 2 ^ ( ѵ fos ѵ0т — sin ѵ0х) л з — |
|
|
о |
— у х (Лх — äj) sin v0xl X (f — x) dt. |
(5.44) |
|
|
Находя математическое ожидание и дисперсию последнего выражения, учитывая при этом (43) и сохраняя в окончательном
выражении |
центральные моменты случайных величин А г и А % |
не выше вторых, получим |
|
|
|
|
â (i)= — J e |
8 |
(sin v0x+ ^ |
(—v„tcos v0t+ |
sin v0x)| X * (t - x) dx, |
|
|
|
|
|
|
|
(5.45) |
D L« (*)] = |
4 |
f f e |
2 a,(T'+T2)G (xlf x2) Kx (t — x„ |
t — x2) dxjdx2 — [â (i |
|
|
|
|
|
|
|
*(*)]2, |
|
|
|
|
|
|
|
(5.46) |
где G (xj, |
x2) — тригонометрический полином, содержащий |
sin ѵ0х,, |
cos v0x1; sin""v0x2, cos v0x2, в коэффициенты которого входят |
ові, a^, |
äj и â2. |
D [X (£)] |
можно считать малой величиной, |
как и диспер |
Еслй |
сии ajj и |
a^, |
то, |
отбрасывая |
члены, содержащие |
произведения |
I 5.13 |
УРАВНЕНИЙ, |
СОДЕРЖАЩИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ |
307 |
|
*г) и |
*г). получим |
|
* /
sin ѵит1 sin v0t,Ä 't (£ — тр £ — t0)
о о
2
e 2 X (t — z) (v0t cos VqT— sin ѵ()т) dz -f-
t t
X ( t |
---- Xl) X ( t ---- X2) s i n |
V0X1 ( V0X2 C0S V0X2 ---- |
|
|
— sin ѵ()т2) dz^dz^, |
(5.47) |
В этом случае первое |
слагаемое в (47) |
даст дисперсию |
а. (t), |
вызванную случайным характером правой части уравнения, а ос тальные члены суммы дают дисперсию, вызываемую случайным характером коэффициентов уравнения. Следовательно, в линейном приближении влияние на а (t) разброса коэффициентов уравнения и случайного характера правой части уравнения можно рассматри вать отдельно, а затем получающиеся при таком рассмотрении дисперсии нужно сложить для нахождения окончательного выра жения для дисперсии a.{t).
Таким образом, для уравнений первого и второго порядка возможно получить разложение моментов решений этих уравнений по моментам случайных величин, входящих в коэффициенты левых частей уравнений, если написать явное выражение решения через коэффициенты уравнений, а затем произвести разложение этого выражения по степеням отклонений случайных величин от их математических ожиданий.
4. Уравнения, порядок которых выше второго. В том случае, когда порядок уравнения выше второго, общее выражение для его решения не удается записать в явном виде, так как для нахождения импульсной переходной функции I ( т) в соответствии с форму лой (1. 78) необходимо знать корни s . характеристического уравне ния, которые для уравнений более высокой степени, чем вторая, не могут быть выражены явно через коэффициенты уравнения *). Однако приведенное выше разложение решения по степеням откло нений от математических ожиданий случайных величин, входя щих в левую часть уравнения, может быть положено в основу
*) Для уравнения третьей степени, хотя такое выражение и может быть написано, но формулы принимают слишком громоздкий вид.
308 |
У Р А В Н Е Н И Я ГУ СО С Л У Ч А Й Н Ы М И К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т А М И |
[ГЛ. 5 |
получения приближенных формул и в этом случае. Один] из »мето дов, основанный на использовании подобных разложений, был разработан Б. Г. Доступовым [25] и заключается в следующем.
Пусть решение а некоторого уравнения зависит от независимых случайных величин Ѵу, F2, . . ., Ѵт, входящих в левую часть уравнения (или системы уравнений), где т может отличаться от порядка рассматриваемого уравнения. В этом случае решение уравнения, кроме аргумента t, будет зависеть от значений слу чайных величин, как от параметров, т. е. можно написать
a = a (t; 1Д, Ѵ'2, . . . . V J . |
(5 .4 8 ) |
Если отклонения (V.—ѵ.) являются физически малыми вели
чинами, как это обычно и имеет место в конкретных задачах, то, разложив функцию а по степеням этих малых величин и ограничи ваясь только линейной частью разложения, получим
а (t; V v Ѵ 2, . . ., F J = а (t; v v v , , . . ., v j + |
|
|
da (t ) |
|
|
+2 dvj |
-i' |
(5.49) |
y=i |
|
|
где через d a ( t ) / d V j обозначена производная от а по параметру Vj,
в которой после выполнения дифференцирования все случайные величины V ■заменены их математическими ожиданиями гь.
Из (49) следует, что (считаем случайные величины V ■взаимно независимыми)
|
|
vv V. » |
• • •’ |
Vm}i |
Ки(^3’ |
да (tj) |
да (t2) |
_2 |
— |
dVj |
|
дь-j |
° V |
|
j= 1 |
|
|
|
|
|
)
|
«ч.
|
■ |
R . |
|
|
|
4SI
|
|
|
I
|
J |
1 |
|
|
<•».
|
|
|
J= 1 |
|
|
|
|
(5 .5 0 )
(5 .5 1 )
(5 .5 2 )
Таким образом, для определения первых двух моментов ординат случайной функции а (t) достаточно располагать значениями част ных производных да (t)jdvj, а еще лучше — значением произведе
ний этих производных на а,., |
т. е. значениями |
ОѴj |
а... Для по- |
лучения |
У |
|
J |
этих произведений |
удобен следующий прием. Заменим |
в исходном дифференциальном уравнении одну из |
случайных ве |
личин Vj |
суммой (Vj + kjOCj), |
где kj — пока произвольное число, |
а все остальные случайные величины заменим их математическими ожиданиями. Полученное решение этого уравнения <Ху в соответ
ствии с (48) можно представить в виде a .(t)=a(t; vlt ѵ2, . . . , V j _ lt
