Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

§ 5.i 1 УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 309

Таким образом, мы получаем следующую схему определения дисперсии решения уравнения: исходное уравнение должно быть решено (пг+1 ) раз — первый раз при замене всех случайных ве­ личин их математическими ожиданиями, остальные гп раз — при замене /-й случайной величины на v .-\-kj^Vj, а остальных случай­

ных величин — их математическими ожиданиями. Результат пер­ вого решения дает <х(t), остальные решения позволяют вычислить D [ а (t) ] по формуле (55) (и по аналогичной формуле для Ка (tv t2)).

В формулу (54) входит неопределенная постоянная^., от значения

которой, по смыслу решаемой задачи, не должна зависеть левая часть этой формулы. Поэтому при выборе &. нужно руководство­

ваться следующим правилом: эти постоянные должны быть вы­ браны настолько малыми, чтобы отношение (54) действительно не зависело от их значений. Очевидно, что чем меньше будут к . ,

тем меньше будет зависеть (54) от значений этих постоянных, так как полученные выше формулы имеют в своей основе при­ ближенную формулу (53), которая тем более точна, чем меньше к . ш

С другой стороны, очень малые значения &. являются нежелатель­

ными, поскольку в окончательную формулу (55) входят разности (£)—ä (t), которые при малых к . будут также малы, и следо­

вательно, для получения достаточной точности необходимо реше­ ния уравнения находить с большой точностью. Поэтому значения /с.

обычно выбираются путем проб таким образом, чтобы согласовать эти два противоречивых требования. Сам расчет особенно удобно проводить на цифровой вычислительной машине, так как, набрав на машине исследуемое уравнение, нужно получить ряд его ре­ шений при изменении только некоторых его коэффициентов, что легко реализуется.

Решение первого из этих уравнений может быть явно выражено через X (t) по формуле

Таким образом, все функции а (t) линейно выражаются через

правую часть исходного уравнения X (t), и следовательно, мо­ менты ординат этих функций могут быть выражены через моменты ординат функции X (t) того же порядка.

Возвращаясь к (57), замечаем, что любые моменты а (t) просто выражаются через моменты случайной величины V и моменты орди­ нат случайных функций а . (t). Например, для математического

ожидания и дисперсии имеем (считаем V не зависящей от X (t))

Итак, задача определения моментов решения исходного урав­ нения формально решена. Для того чтобы полученные таким об­ разом окончательные формулы можно было бы действительно счи­ тать решением рассматриваемой задачи, необходимо не только убедиться, что все используемые при этом разложения в ряды являются сходящимися, но и оценить величину остаточного члена при сохранении в ряде нескольких первых его членов. Доказа­ тельство сходимости этих рядов обычно бывает связано с суще­ ственными теоретическими трудностями, однако при применении метода малого параметра обычно довольствуются тем, что убеж­ даются в достаточно быстром убывании величины слагаемых в окон­ чательных формулах, например, в формулах типа (60).

5. Гироскоп направления. Рассмотрим применение выведен­ ных выше общих формул к исследованию отдельных ГУ.

Начнем с рассмотрения азимутального ухода ГН, описы­ ваемого уравнением (2). Это уравнение типа (12), где положим

(3(0) = 0 ,

Будем считать кинетический момент Н и смещение центра тяжести Іг гироскопа независимыми случайными величинами. Допуская

Принимая для вертикального ускорения точки установки ГН выражение (2. 34), получим

T. e. дисперсия ухода ГН, вызванная случайной статической не­ уравновешенностью гироскопа, растет со временем по квадратич­ ному закону, будучи пропорциональной дисперсии небаланса гироскопа Iг. Наличие случайных ускорений места установки ГН приводит только к постоянному слагаемому в величине дисперсии а (t), т. е. не вызывает нарастания ошибки со временем.

Аналогичным образом исследуются и уравнения (1) и другие уравнения ГУ, характеризуемые одночленными линейными урав­ нениями первого порядка.

6 . Гировертикаль. Уравнения (3) для ГВ с маятниковой кор­ рекцией являются двучленными линейными уравнениями пер­ вого порядка, т. е. принадлежат к уравнениям типа (2 0 ), где в дан­ ном случае (рассмотрим первое из уравнений (3))

и В нельзя считать независимыми.