Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Определяя математическое ожидание и дисперсию последнего выражения, находим (с точностью до центральных моментов вто­ рого порядка)

(5.76)

где обозначено

Аналогичным образом исследуются и другие гироскопические устройства, описываемые линейными дифференциальными урав­ нениями не выше второго порядка. Для уравнений более высокого порядка необходимо применение приближенных методов, сущ­ ность которых была изложена выше.

§ 5.2. Линейные уравнения, коэффициенты которых являются случайными функциями

чайными функциями времени. В соответствии с методами, которые могут быть использованы при анализе вероятностных свойств решений таких уравнений, целесообразно рассмотреть уравнения трех типов: уравнение первого порядка или система двух уравне­ ний первого порядка, сводимая к одному уравнению первого по­ рядка с комплексными коэффициентами; линейное уравнение более высокого порядка, чем первый, все коэффициенты которого яв­ ляются постоянными величинами, кроме коэффициента у искомой функции, который является случайной функцией времени, и наконец, общий случай, когда все коэффициенты линейного урав­ нения являются случайными функциями времени. Таким обра­

где большими буквами обозначены случайные функции времени,

а8 (<), А (г) и Z (t), входящие в уравнение (78), могут быть ком­

плексными.

Уравнение (78) подробно было рассмотрено в § 4.4, где были приведены примеры ГУ, описываемых подобными уравнениями. Как было там показано, нахождение моментов ординат решения этого уравнения 8 (t) может быть доведено до расчетных формул, если закон распределения ординат функций А (t) и Z (t) известен.

Поэтому остается рассмотреть уравнения типа (79) и (80). Уравнение первого типа встречается весьма часто при решении задач прикладной теории гироскопов. Например, к уравнению этого типа относится уравнение (3. 114) гиротахометра при слу­ чайных колебаниях объекта (Мт= 0 , М = 0 )|

случайными функциями времени, а остальные коэффициенты урав­ нения — постоянные. К этому же типу относится уравнение (3. 163) поплавкового интегрирующего гироскопа (МАм—0, Ü/T= 0, М=0)

Наконец, уравнением такого же типа описываются колебания физического маятника, установленного и качающегося в диамет­ ральной плоскости корабля; оно имеет вид (3. 57), т. е.

где в правой части равенства сохранены только члены первого порядка малости, а индекс «2» отброшен. Ускорения орбитального движения Іо (t) и Со (t), так же как и угол дифферента корабля ф (t), здесь являются стационарными случайными функциями времени.

В качестве примера уравнения (80) можно привести уравнение ГВ, корректируемой от сильно задемпфированного маятника

§ 5.2] У Р А В Н Е Н И Я , СО Д Е РЖ А Щ И Е С Л У Ч А Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И И 317

получим

t

ции I (t, Zx) известны, то определение моментов решения урав­ нения (8 6 ) можно считать законченным.

Рассмотрим методы определения вероятностных характеристик I (t, іх). Так как написать решение линейного дифференциального уравнения

в общем виде невозможно, то решения у1 (t) и у2 (t), входящие в фор­ мулу (8 8 ), не могут быть явно выражены через случайную функцию

чайной функции А 2 (t) невозможно и является неизбежным приме­ нение какого-либо приближенного способа их определения.

Рассмотрим три основных способа, находящих свое применение при решении задач подобного типа.

В качестве первого способа рассмотрим применение вычисли­ тельных машин. Этот способ является универсальным и может быть применен как для уравнения второго порядка, так и для урав­ нения (80), т. е. линейного уравнения любого порядка, содержа­ щего в коэффициентах случайные функции. Так как произведение I (t, t1)dt1 дает отклик системы, описываемой уравнением (8 6 ) в момент времени t на единичный импульс, поступивший на вход системы в интервал времени (il5 t1-\-dt1), то для получения реали­ зации случайной функции I (t, Zx) достаточно набрать на вычисли­ тельной машине левую часть уравнения (8 6 ), выбрав в качестве А 2 (t) одну из реализаций этой случайной функции, подать вместо X (t) в качестве правой части этого уравнения единичную функ­ цию, меняющую свое значение скачком в момент времени tl с нуля на 1 , а затем определить значение производной по tx получаемого таким образом решения в момент t, Найденный результат и даст