Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

искомую реализацию I (t, t^). Повторив решение задачи достаточное число раз и обработав результаты обычными методами статистики (см. гл. 8 ), можно получить оценки математического ожидания I (t, t^) и корреляционной функции К х (tx, t2), необходимые для применения формул (89) и (90).

Втом случае, когда нас интересует получение вероятностных характеристик решения уравнения (8 6 ) при заданных характери­ стиках случайной функции X (t), нахождение вероятностных характеристик решения уравнения а (t) с помощью машин может быть реализовано более простым способом. Для этого нужно, набрав уравнение (8 6 ) на машине, производить его решение до­ статочно большое число раз (см. гл. 8 ), вводя при каждом решении вместо случайных функций Â 2 (t) жX (t) их реализации, создавае­ мые искусственно для каждого решения, или используя для этого результаты натурных записей. Получаемые при каждом решении значения а (£) можно рассматривать как реализации, полученные на опыте, и производить их статистическую обработку для непо­ средственного определения оценок <х(£), D [а (£)] и других момен­ тов ординат случайной функции а (t). При производстве расчетов на цифровой вычислительной машине алгоритм обработки получае­ мых реализаций может быть введен в программу машины, и сле­ довательно, окончательным результатом расчетов будут являться интересующие нас величины. Некоторые другие способы приме­ нения машин для определения вероятностных характеристик ре­ шения уравнения, содержащего случайные функции, можно найти, например, в I42], [25].

Вкачестве второго способа рассмотрим применение метода малого параметра, который оказывается весьма эффективным в том случае, когда случайную функцию А г (t) можно представить в виде суммы неслучайного слагаемого а2 и случайной функции Y (t), являющейся малой, в смысле ее влияния на решение уравнения, т. е. когда можно положить

личиной, разлагая по его степеням решение уравнения (8 6 ), хотя в окончательных формулах будем полагать х = 1 .

Применение метода малого параметра в данном случае в прин­ ципе не отличается от применения этого метода, рассмотренного в предыдущем параграфе.

где, учитывая искусственный способ, которым был введен «малый» параметр х, по сути дела, малыми величинами различного порядка являются сами функции а . ((), а коэффициенты , равные единице

при любом /, введены для удобства выделения слагаемых одинако­ вого порядка малости. Подставляя (93) в (8 6 ) и добиваясь обраще­ ния в нуль членов одинакового порядка малости, получим систему дифференциальных уравнений второго порядка

и положив ч = 1 , замечаем, что и в этом случае решение уравнения

320 У Р А В Н Е Й Й Я Г У СО С Л У Ч А Й Н Ы М И К О Э Ф Ф И Ц И Е Н Т А М И ІГЛ. 5

(8 6 ) может быть представлено в виде (87), т. е. в виде t

а функции lj (t, х) определяются рекуррентными соотношениями (99) и, следовательно, являются нелинейными выражениями от ординат случайной функции Y (t). \

Формулы (100), (101) и (99) формально решают задачу выраже­ ния случайной функции а (t) через случайные функции, входящие в коэффициенты уравнения (8 6 ). Для того чтобы полученные фор­ мулы действительно давали решение поставленной задачи, необ­ ходимо, чтобы ряд (1 0 1 ) для возможных реализаций случайной функции Y (t) был бы сходящимся (можно дать и более строгое определение сходимости этого ряда), однако,как это уже отмеча­ лось выше, обычно довольствуются тем, что убеждаются в малом

Для получения приближений более высокого порядка в том случае, когда ординаты Y (t) и X (t) коррелированы, требуется знание моментов этих ординат более высокого порядка, чем второй.

и взаимные корреляционные функции [см. (1.28)], однако оконча­ тельные формулы усложняются. К счастью, во многих задачах гироскопии оказывается достаточным вычисление ä (t) с точностью не выше второго приближения, а для D [а (£)] бывает достаточным первое приближение. Очевидно, для стационарных (случайных функций выведенные выше формулы упрощаются, так как входя­ щие в эти формулы математические ожидания х и у будут постоян­ ными, а корреляционные функции и взаимные корреляционные функции будут зависеть только от разности аргументов, что позво­ ляет выполнить ряд интегрирований. Например, вместо формулы (105) в этом случае получим

нарны и нормальны, дисперсия а (t) с точностью до второго при­ ближения может быть вычислена проще, если воспользоваться спектральным разложением этих функций.

Действительно, для установившегося процесса из первого урав­ нения системы (94) на основании (1.97) получим, что спектральная

С другой стороны, так как это уравнение линейное, а X (t) — нормальная случайная функция, то а0 (t) — также нормальная. Следовательно, для определения спектральной плотности St ( а,) правой части Z (t) = —Y (t)a.0 (t) второго уравнения системы (94) на основании (1. 114) имеем