§ 5.2] У РАВНЕНИ Я , СОДЕРЖАЩ ИЕ СЛУЧАЙНЫ Е ФУНКЦИИ 323
получим
С /..Л __ ______ (м)__________ |
(5.112) |
|
' ' — [(со2 — 0 2 )2 + а&Ц > |
|
где |
|
|
|
s„ И =—*<ssxy Н —yS*£Н, |
(5.113) |
S*„0 (ü)) |
|
5 .Н |
|
|
-ü)2 |
-f" flg |
|
|
|
Возвращаясь к (93) и используя (1. 91), имеем для второго прибли жения
8а(ш) — S" (ш) + ^ (ш) + |
(о>) + 'S1«,«,,(«), |
(5.114) |
что для дисперсии а (і) даст |
|
|
СО |
Sa((.o)d(o. |
|
D [<*(£)]= j |
(5.115) |
—СО |
|
Наконец, в качестве третьего метода нахождения вероятност ных характеристик решения уравнения (8 6 ) рассмотрим приме нение теории марковских процессов. В отличие от метода малого параметра, для применения которого при вычислении первых моментов решения не требуется добавочных предположений о виде закона распределения ординат функций Y (t) и X (t), применение теории марковских процессов возможно только в том случае, когда эти функции [являются нормальными, стационарными и имеют дробно-рациональные спектральные и взаимные спектральные плотности. В этом случае, как было отмечено в § 1.3, решение урав нения можно рассматривать как компоненту многомерного марков ского процесса, вероятностные свойства которого полностью харак теризуются многомерной плотностью вероятности /, определяемой уравнением (1.147), т. е. уравнением
дх +1 2 |
зд у£у : М - т 2 2 |
J - 1 |
J —1 i= i |
д* |
(5.116) |
дуудуі (bj,f) = О, |
где п — число измерении процесса; ijj — значения ординат про цесса в момент т, а коэффициенты а., bj, являются функциями
т, Уи У • • •> У„ и просто выражаются через коэффициенты урав нения (8 6 ) и параметры спектральных плотностей X (t) и Y (t). Уравнение (116), при соответствующих начальных и граничных условиях, полностью определяет плотность вероятности / системы случайных величин, образованной из п компонент марковского процесса, а следовательно, определяет и плотность вероятности ординат процесса а (t), для получения которой достаточно проин тегрировать плотность / по всем возможным значениям остальных
324 УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [ГЛ. 5
компонент процесса. Аналитическое решение уравнения (116) обычно связано с существенными трудностями, однако прибли женное решение этого уравнения может быть получено с любой необходимой точностью и не связано с принципиальными за труднениями, особенно если вычисления производятся на цифро
вой вычислительной |
машине. |
|
Проиллюстрируем составление уравнения (116) на примере. |
Предположим, что |
|
|
Х = у = 0, |
Ку (т) = а2е~ЫтІ, Кх (т) = |
(5.117) |
В этом случае X (t) и Y (t) являются стационарными решениями дифференциальных уравнений
|
* ( 0 + th X W = ° W W i( 0 , |
(5.118) |
|
Y (t) -)- [х2 F (t) — ау\/2р2 |
(t), |
|
|
где ^ (t) и ? 2 |
(і) — взаимно некоррелированные случайные функ |
ции, имеющие характер белого шума. Введя обозначения |
|
І7г(і) = а(0 , |
U2(t)= a(t)y U3(t) = X(t), |
Ut (t)= Y (t) (5.119) |
и учитывая (92), вместо уравнения (8 6 ) и системы уравнений (118) получим систему четырех уравнений первого порядка
& i= U „
Ü2~ —ait'i. (a2 + Ui) иX+ u3,
ü 3 = - * 1 U3 + vx sj2ihh(t), |
(" } |
Üi = —p2Ui + oy \]2]xz \2{t). |
|
Решения полученной системы полностью определяются значениями их ординат в начальный момент, не зависят от предшествующего хода процесса и, следовательно, являются компонентами четырех мерного марковского процесса.
Интегрируя обе части каждого уравнения системы (120) в пре
делах от t до т=£ -)-Д, обозначая U . — |
Uj (т) = Y . и учитывая |
формулы (1.132) и (1.133), определяющие |
коэффициенты урав |
нения Колмогорова, получим *) |
|
® і = Ун â2= — 'ЧУ 2 — (<Ч + Уі) У1 + Ун â3 = — P i Узу |
âi = — ржи |
К = |
Z w l, |
bu = |
(5.121) |
bn= bl2 — b13 |
= bu |
= b2i = |
b23 — b31 = btl — b32 = bi2 0. |
*) Коэффициенты уравнения Колмогорова, в отличие от (1.147), обозна чены в данном случае âj, чтобы отличить их от коэффициентов дифферен
циального уравнения (79).
§ 5.2] У РАВНЕНИ Я , СОДЕРЖАЩИЕ СЛУЧАЙНЫ Е ФУНКЦИИ 325
Таким образом, второе уравнение Колмогорова для данного случая имеет вид
(Vif)— |
[(«iу 2+ а2Уі — Уз + УіУі) — |
üsD — |
|
~~ |
{ЬЛ22) |
Рассмотренные выше приближенные методы определения ве роятностных характеристик решения уравнения (79) применимы и к исследованию общего уравнения со случайными коэффициен тами типа (80), однако расчетные формулы соответственно услож няются.
3. Физический маятник. Рассмотрим применение полученных результатов к исследованию конкретных ГУ.
Начнем с рассмотрения физического маятника, характеризуе мого уравнением (83), показания которого используются для кор рекции ГУ. В этом случае в соответствии с обозначениями в (8 6 ) и (92), положив координату точки подвеса маятника z=0, имеем
ах = 2 уг, |
а2 = |
пг, |
x(t) = - k £ c, |
Г ( 0 |
= |
(5.123) |
- у ( С с - 4 ) - |
В данном случае X (t) и Y (t) |
независимы, и поскольку г= 0 , |
то из формулы (89) получаем |
|
|
|
Х = |
0. |
(5.124) |
Так как вертикальные ускорения, вызванные орбитальным дви жением центра тяжести корабля и килевой качкой, малы сравни тельно с ускорением силы тяжести, функцию Y (t) можно считать малой и, следовательно, применить метод малого параметра.
В соответствии с (106) и (107) для дисперсии угла х (0 во вто_ ром приближении, учитывая, что у = 0 и, следовательно, І, (t, х )=0 , получим
t t
D [х (01 = S j |
— Ti) lo (t — тг) к |
х (т 2 — ті) dzid x 2 + |
|
Оо |
|
|
|
t |
t |
|
|
+ ( |
S м (Zj (t, Tj) Zj (t, |
x2)] Kt (x2 — Tj) d^d-ц, |
(5.125) |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
• |
где первое слагаемое в правой части дает дисперсию в первом при ближении, второе слагаемое — поправку к первому приближению,
326 |
УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ |
[ГЛ. 5 |
а 10 ( х) |
и М Ui (t, Tj) |
(t, x2) ] |
в данном |
случае в соответствии |
с (8 8 ) и (107) определяются равенствами |
|
|
|
Іо(х) — — |
с”т sin (?гV1 — |
(5.126) |
|
t |
t |
|
|
|
М [h (t, |
Xj) lx (t, x2)] = j |
j h i t — xj) l0(x; — Xj) l0(t — x'() X |
|
|
*1 |
T2 |
|
|
|
|
|
X k К — x2) Ky « |
— XI) *1*1- |
(5.127) |
При |
заданных выражениях |
(123) для |
функций X (t) |
и Y (t) |
и характеристиках качки корабля, приведенных в главе 2 , все интегралы в (125) могут быть взяты, причем расчеты показывают (см. пример 5.3), что поправка второго приближения в дисперсию весьма мала сравнительно с величиной дисперсии, рассчитанной по первому приближению.
Если воспользоваться для уравнения физического маятника уравнением (3.57), в котором сохранены и члены второго порядка малости относительно скоростей и ускорений качки, то вместо
|
(123) для случайных функций X (t) и Y |
(t) |
будем иметь |
|
|
X (t) = |
—кг[jjff + ѴР — х (Ф2 + |
<Р2 + |
<И>) + |
|
|
|
|
|
+ |
2 (Ф + |
+ |
2 <pÖ)], |
(5.128) |
|
у (<) = |
— |
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае |
по-прежнему у = 0, |
но |
|
|
|
|
|
|
|
X — |
Арго? |
0 |
|
|
|
(5.129) |
|
^так как М [<р21ф 0, а М [ $ 2 + |
<|>$] = |
у М |
[фф]| = о ). |
Следова |
|
тельно, математическое ожидание %(t) |
в соответствии с форму |
|
лами (102) и (103) для первого приближения имеет вид |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
(5.130) |
|
|
|
4 ( t ) = x ^ l 0 (t — x)dx, |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
а для второго приближения |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(t) = %^ l0(t |
т) di |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
(5.131) |
|
— |
j |
S l o ( t —Ti) l o(X1 — |
x) R |
yx(x — |
xi) |
|
|
