Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 283

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 5.2]

У Р А В Н Е Н И Я , С О Д Е РЖ А Щ И Е С Л У Ч А Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И И

327

С учетом (126) интегрирование в

(130) может быть выполнено,

и мы получим

 

 

 

 

Х(0 = ^

[і -

е & (cos п VI“ , t +

sin и \/Г

•С27

(5.132)

Второе приближение в соответствии с (131) и

(128)

дает по­

правку, пропорциональную произведению xz. Эта поправка яв­ ляется существенной. Поправка к (131) за счет перехода к третьему приближению оказывается незначительной. Также несуществен­ ной в этой задаче является и поправка к дисперсии %(t), связанная с переходом от формулы (123), учитывающей только линейные члены в выражении для X (7), к формуле (128).

4. Поплавковый интегрирующий гироскоп. В качестве второго примера рассмотрим уравнение поплавкового интегрирующего гироскопа (82). Спецификой этого уравнения является то, что, в отличие от уравнения ((8 6 ), в котором в соответствии с (92) слу­ чайная функция является малой сравнительно с постоянной, вхо­ дящей в коэффициент А г (t), в уравнении (82) случайным является весь ^коэффициент у искомой переменной ß (t). Однако и в этом случае метод малого параметра оказывается применимым, по­

скольку все произведение

(t) • ß (t) в данной задаче можно рас­

сматривать

как малую величину. Итак, обозначив

 

x ( t ) = - r -

[#CDc (t) -j- / п>rCi)^ (t) - ( Л « - Л Н ( ‘К (* )]’

(5.133)

JИ.

 

 

7 (0 = /

тт.

“eW. « 1 = 7 ^ - .

 

J

J

и . г

 

уравнение

(82) можно переписать в виде

 

 

 

ß + «iß + *Y (t) ß — X (t),

(5.134)

где вспомогательный параметр х будем считать «малой величиной первого порядка», хотя в окончательных формулах положим х = 1 .

Приняв, как обычно,

 

 

ß (0 — ßo (0 +

xßi (0 + х2Рг (0 + • • •

(5.135)

и решая уравнения,

определяющие ß0 (t), ß ^ ) , . . .,

будем иметь

(считаем начальные

условия

нулевыми)

 

ß0 (t) = e-“‘l j

(т) dr = j e-^t-^X (т) d t,

(5-136)

ио

£

ßiW = ~ S ^ ' ^ ß o ( T ) F ( x ) dr,

(5.137)

328 УРАВНЕНИ Я ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [ГЛ. 5

что

после интегрирования

по t даст для функций ß . (t)

выраже­

ния,

не отличающиеся по фбрме от решения

(1 0 0 ),

т. е.

 

 

 

t

 

 

 

 

 

ß(*) =

J l(t,

z)X(x)dx,

 

 

(5.138)

 

 

О

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

l(t,

t) = 2

lj(t, t),

 

 

(5.139)

 

 

3—0

 

 

 

lj (t, x) определяются рекуррентными соотношениями (99), а

 

l0(t, z) = l0( t - x ) = ±

.

[

(5.140)

В рассматриваемом ГУ измеряемой величиной является инте­ грал от правой части равенства (133). Следовательно, интерес представляют не моменты случайной функции ß (t), а моменты ошибки ГУ е (t), определяемой равенством

<

e ( 0 = ß W - i r S X (t ) d x -

( 5 Л 4 1 )

о

 

Подставляя сюда ß(£) из (138), получим

 

t

 

e (f)= J [z (i, T )-i-]x (T )d x .

(5.142)

Последняя формула позволяет определить е (і ) и D [е (£)] так же, как это было показано выше для физического маятника, при замене

l(t, т)

на (t, і)----i - j .

Отличие заключается

только

в том,

что

в данной задаче, если учитывать в (133) нелинейные члены, X ^

0,

что несколько усложняет расчеты (см. пример 5.4).

 

 

5.

Гировертикаль. Наконец, в качестве последнего примера

рассмотрим уравнение (84) для ГВ, корректируемой от сильно за-

демпфированного маятника. Обозначив

 

 

 

 

 

а, = -

 

(5.143)

 

 

М. 3

 

 

 

1

 

 

 

это уравнение можно переписать в виде

 

 

 

Р +

«і[1+*Г(*)]Р +

аЛ І+* У (0]Р =

■ X ( t ) ,

(5.144)

§ 5.2] У РАВНЕНИ Я , СОДЕРЖАЩ ИЕ СЛУЧАЙНЫ Е ФУНКЦИИ 329

где Y (t) и X (t) выражаются через угол дифферента корабля ф (t) формулами (85).

Особенность уравнения (144) заключается в том, что случайная функция Y (t) входит в оба коэффициента уравнения. Поэтому вы­ веденные выше общие формулы для уравнения типа (8 6 ) в данном случае неприемлемы, хотя функцию Y (t), исходя из физических соображений, можно считать «малой», и следовательно, примене­ ние метода малого параметра возможно и в этом случае. Для вы­ вода необходимых формул будем считать условно коэффициент к

в уравнении (144) малым

(что эквивалентно

предположению

о малости произведения k Y

(t)) и будем искать

решение в виде

ряда

 

 

ß (0 — ßo (0 +

^ßi 00 + &2ß2 (0 + • • •

(5. 145)

Подставляя (145) в (144) и последовательно приравнивая слагае­ мые в левой и правой части равенства, имеющие множителями коэффициент к в одинаковых степенях, получим

Po +

ß iß o +

®2ß o --

j % (t),

 

 

ßl +

ßlßl +

a2ßl =

-- Y {t) («ißo +

a2ßo)>

(5.146)

ß2 +

ЯіР2 +

a$2 =

— Y {t) (^lßl +

ß2ßl)>

ßy +

«ißy+

«2ßy =

— Y (t) {aßj^ + a2ßy_i),

 

Полученная система рекуррентных уравнений отличается от си­ стемы (94) только правыми частями равенств. Поэтому ее решение в принципе не отличается от решения системы (94). Решая первое уравнение системы, получим (считаем начальные условия нуле­ выми)

t

=

(5.147)

О

где 10 (z) определяется (95). Подставляя (147) во второе уравнение системы (146), получим после простых преобразований

 

t

 

ßi (t) = j r ^ Y

\ l[ (t , z) X (t) dz,

(5.148)

* M . 3 *

J

 

 

0

 

где импульсная переходная функция l[ (t, т) будет отличаться от импульсной переходной функции (t, z), определяемой равен­ ством (97).

330

УРАВНЕНИ Я ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

[ГЛ. 5

Простые преобразования дают,

что в данном случае

 

l[(t,

і

а2/0 (т1— x)l Y(ij)dxv

 

х )= — [ Z0(f — ХХ) [ві/0(Xj — т) +

(5.149)

 

T

 

 

Аналогичным образом может быть получена и общая рекуррент­ ная формула, связывающая импульсные переходные функции l'j (t, х) и z;_! (t, т), которая будет несколько сложнее формулы (99).

Подставляя решение /-го

уравнения системы (146),

записанного

в виде

t

 

 

 

=

T) Z (x) dx’

(5-150)

 

о

 

в формулу (145), получим возможность записать решение уравне­ ния (144) в виде

 

t

 

Р (t) =

\ V (t, х) X (X) dx,

(5.151)

м. з

0

 

где

 

 

со

 

 

*'(*,*)= 2 Ä'M*. X).

(5.152)

У=о

^

 

Разумеется, решение (151)-имеет смысл только в том случае, когда ряд (145) сходится. Общее доказательство сходимости ряда и в этом случае представляет существенные трудности, од­ нако обычно довольствуются только установлением факта доста­ точно быстрого убывания поправок к моментам ординат случайной функции ß (t), получаемым при переходе к следующим приближе­ ниям, т. е. используют рекомендации, относящиеся к применению метода малого параметра в задачах, не имеющих вероятностной природы [81]. Дальнейший порядок вычислений моментов ординат ß (t) не отличается от порядка вычисления моментов ординат а (t) решения уравнения (8 6 ), рассмотренного выше.

§ 5.3. Примеры на исследование ГУ, описываемых линейными дифференциальными уравнениями

со случайными коэффициентами1

1. Гироскопические устройства, характеризующиеся линей­ ными уравнениями, коэффициенты которых являются случай­ ными величинами. Рассмотрим несколько примеров применения общих формул § 5.1 к исследованию динамики ГУ, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, у которых коэф­ фициенты являются случайными величинами.

§ 5.31

ГІРИМЕРЫ НА

ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ

 

331

Пример

5.1. Определить

математическое

ожидание ä(t)

и

дисперсию

D [а (<) ] азимутального ухода оси

авиационного

ГН

вследствие статической неуравновешенности гироскопа, если вер­

тикальное ускорение W

(t) центра тяжести самолета является ста­

ционарной случайной функцией времени,

 

 

©,(<) =

(),

 

 

(5.153)

К„у (t) —

1т I (cos Xi -f у- sin X) т |),

(5.154)

где

 

jj. = 0,7 1 /сек,

Х= 6 1 /сек.

 

= 12 • ІО3 см2/сек*,

 

Кинетический момент Н и смещение Іг центра тяжести гиро­

скопа являются независимыми случайными величинами;

h = H 0=

=4000 Г см сек (расчетное

значение); lz= 0;

аА=13 Г

см сек;

оіж= 3 *ІО- 4 см. Вес ротора гироскопа Р=450 Г; время работы при­ бора 1=60 мин.

Р е ш е н и е . Уравнение прецессионного движения оси гиро­ скопа в азимуте при наличии статической неуравновешенности

ротора определяется формулой (2) (cos ß0«H,

W = W

 

 

 

&= Et t {1 + 7

w »)-

(5Л55)

Положив в соответствии с (61) и (62)

 

 

 

 

 

в = ^ - , X(t) = l + ±

w 9(t),

(5.156)

уравнение

(155)

можно переписать в виде (12), т. е.

 

 

 

&= BX(t).

 

(5.157)

Так

как

7г = 0,

то из (156)

следует,

что 6 =

0 и согласно (157)

а =

0 ; поэтому при а (0 ) = 0

имеем

 

 

 

 

 

 

S(f) = 0.

 

(5.158)

Следовательно, при усреднении показаний ряда ГН не возни­

кает

систематическое

отклонение

в азимуте (см. пример 4. 3).

Согласно формуле (67)

имеем

 

 

 

D Г* (*)] =

£

(і +

°l) {D [У № + l2},

(5.159)

где

на основании (14)

 

 

 

 

t

(5.160)

F ( i) = J X ( i1) * 1.

о

Смотрите также файлы