Файл: Свешников А.А. Вероятностные методы в прикладной теории гироскопов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 10.04.2024

Просмотров: 284

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

332

УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

[ГЛ. 5

 

Согласно (1.89) для дисперсии 0[У(£)] имеем

 

 

t

(5.161)

 

D [yW ] = 2 j( « - t)^ ( T )d x ,

 

О

 

где

в соответствии с (156) и (154)

 

 

^*(т) = '^ - еН1|1|(сачХт + Т sin XIтl).

(5.162)

 

 

Так как 1/ц = 1/0,7=1,43 сек мало по сравнению с временем работы прибора ^=3600 сек, то верхний предел в интеграле (161) можно положить равным бесконечности, т. е. написать

D [Г (t)] = 2t 5 Кх (т) dx = 2izSx (0) t,

(5.163)

о

 

где переход. от корреляционной функции к спектральной плот­ ности совершен на основании общей формулы (1. 96).

Учитывая формулы (162), (1. 125) и (1. 126), вместо (163) по­ лучим

=

 

(5ЛМ)

Подставляя (164) в (159), для дисперсии D[a(t)] имеем

 

4

а\ Р

(5.165)

D K *)] = - f ( ! + ) Й Н a‘l

р 2 _)_ 1 2 ~Ь t) t.

Принимая во внимание числовые значения примера, находим

D [a (t)] — 14,77 • ІО' 3

рад2.

 

Среднее квадратическое значение ошибки ГН будет

aa = \/D[a(£)] =0,1215 p a d ' l l 0.

В связи с большим значением оа установленный на самолете ГН следует периодически корректировать, например, от магнит­ ного или иного компаса. Дискретность коррекции по времени может быть установлена по формуле (165), исходя из допустимой дисперсии ухода оси ГН.

Пример 5.2. Определить математическое ожидание и диспер­ сию ошибки авиационной гировертикали, основанной на исполь­ зовании трехстепенного астатического гироскопа с маятниковой

коррекцией, имеющей линейную характеристику.

Отклонение

X (t) маятника-корректора относительно вертикали,

вызываемое

§ 5.3 3

ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ

333

колебаниями самолета, является стационарной случайной функ­ цией со следующими характеристиками:

X —

М Гх (/)! = о,

(5.160)

А'х(т) — a|e-HT|(cos Хт + f- sin X| х |^,

(б.167)

где

а2у; = (1° ) 2 = (0,0174)2 рад2, ц — 0,2 1/сек, А= 3,51(сек.

Моменты сил трения в осях подвеса ГВ можно не учитывать и в качестве уравнения движения ГВ по координате а взять урав

нение (3) (хі=Х» л^*=(?«:= 0 ). т- е-

 

Tâ.-\-a. = x (t),

(5.106)

где постоянная времени Т системы коррекции

определяется со­

отношением (4)

 

Т = 4 - ;

(5.169)

S — крутизна характеристики коррекции.

Вследствие производственных погрешностей и изменения усло­ вий эксплуатации прибора Н и S являются независимыми нор­ мальными случайными величинами с заданными математическими

ожиданиями и средними квадратическими отклонениями:

h= H 0=

=2100 Г см сек,

°h= l

Г см сек, 3=105 Г см/рад, ав=0,35 Г смірад.

Р е ш е н и е .

Приведем уравнение

(168) к общему виду (20)

где

 

а -)- А га — ВХ (t),

(5.170)

 

 

 

 

S

 

 

 

А

П

1

(5.171)

 

 

1

-- D -- т ---

Ң 1

 

 

 

Х (*)=/(*)■

 

(5.172)

 

формулами (69)

имеем

 

 

 

т

s

 

 

(5.173)

 

 

 

 

 

 

 

ЗІ = 0 1 =

— ( 1 +

ДІ- \ а 2 + —

(5.174)

 

 

 

hl \ ^ Я2 ) 8 т Я* k

 

 

&ахЬ

a(V

 

 

 

(5.175)

Для определения математического ожидания азимутального

ухода а (£) оси ГН воспользуемся выражением (70) [а (0) =

0]

 

â (t) =

Бу (t) — з\ух (t) +

у af>y2 (t),

(5.176)

334

 

УРАВНЕНИ Я ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

[ГЛ. 5

где согласно (31) и (30)

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у (t) =

^ е~а^ х (t — х) dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і

 

 

 

 

 

 

(5.177)

 

 

 

Уі (/) =

I е~“‘тхх (t — х) dx,

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

у2(t) =

I e~ü^x%x{t—x)dx.

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как по условию примера X (t) — %(t) = 0,

то

 

 

 

 

 

9(*) = Уі {*) = уЛі) = °

 

 

(5.178)

и,

следовательно, на основании (176)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S=

0.

 

 

 

 

 

(5.179)

 

Для

 

определения дисперсии

D [ a ( i ) L

согласно формуле (71),

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

[ « ( * ) ]

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

P

K y {t, t) + a \ [ K 9 (t,

t) +

y 2 (t) +

b2K

yi{t,

t ) + b 2y 2 (t)-~

 

 

 

— A 5 R „ t(t, t ) ~ 2 b y ( t ) g 1(t)-\-b2R yy,(t,

*)].

 

(5.180)

 

Принимая во внимание (178) и учитывая,

 

что К

у (t,

t)— D

[ У (t)],

K

yi(t, f) = D L3^i(if)3 перепишем выражение

(180)

в виде

 

D [ « it) ] =

В Ю [ Y (* )] + öS ( D [Y ( 0 ] +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ b2D \ Y , { t ) ] - b b R yyi{t,

t) +

 

b \ R yy,(t,

t)),

(5.181)

причем,

согласно (30),

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y (t) =

j

е ~ * * Х (t —

x) dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

(5.182)

 

 

 

Y x (t) ~

^

e_a'TtX (t —

x )

dx,

 

 

о

t

Y 2 ( t) = J e ^ x 2X (t - x) dx.

5 5.3]

ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ

335

Входящая в (181) дисперсия D[F(f)] определяется выражением

(32), т. е.

t t

D[F;(i)l = S 5 e-3‘ (T‘+Tj)^ (t2 — xt) dxjdtj.

(5.183)

0 0

Аналогично для дисперсии D fFj^)],

учитывая (182),

получим

t

t

 

 

D [Fj (*)] = j

J e~5<(’i+'*) x jx ^

(x2 — xx) dx^x,.

(5.184)

о 0

Наконец, для определения взаимных корреляционных функций Лт (t, t) и ЯуУі (t, t), перемножая правые части (182) и находя ма­ тематическое ожидание результата, учитывая при этом (178), имеем

 

 

 

 

 

t

t

 

 

 

 

 

 

Е УУі (*.

0

=

5

5

e ~ä ' (Tl+T,)X2 ^

(X2 —

Xl)

 

 

 

 

 

о

о

 

 

 

 

(5.185)

 

 

 

 

 

t

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R y y , (0

0

=

5

5

е”“‘ (Т‘+Ті)І ^

(Т2 —

Xl)

 

 

 

 

 

о

 

о

 

 

 

 

 

Вводя

новые

переменные

интегрирования т2 — х: =

т и xt -f-

-j-x2 = S,

интеграл (183)

можно представить в виде

 

 

 

 

 

 

 

t

>lt-г

 

 

 

 

D [F(i)] = S ^ 5

e-ätd$jKx (z)fc.

(5.186)

Так как t^>i/äv

то приближенно имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

D[F(*)] =

i $ e - ^ ( x ) d x .

(5.187)

Учитывая (172), (167)

и выполняя интегрирование, получим

 

 

D[F(<)] =

аХ

Ч +

2р

 

(5.188)

 

 

 

 

 

 

 

Ч

(Ч + fO2 + *-2 *

 

Вычисляя аналогичным образом интегралы (184) и (185), по­ лучим

DIM *)]:

°Х

Ч + 2р.

.

°х

®і + 5аг(х + Зр.2 — X2 ,

(5.189)

: Щ (Ч +

Р)2 +

^ Щ

 

[(«I + Р)2 + ^ J2

 

Я It

А _

_!l

Ді +

4дfix +

4aiP2 +

(5.1 ПО)

'Ѵ*'1'

’

2 в?

( ( « 1

+ р)2 + X2 ] 2

 

 

 

П

 

 

 

 

336

УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

[ГЛ. 5

Сопоставление формул (185) показывает,

что

 

 

і) = -

>) ■

(5ЛГ|1>

Подставляя числовые значения примера в формулы (173) и (174), находим

äj = Б = = 0,05 1 /сек, ^ = ^ = 5,55 ■10~8 1/сек2.

По формулам (188), (189), (190) и (191) определяем величины

D |T(f)] = 0,221 • ІО"3 сек2,

D [7 (f)] = 3,95

• ІО"2

сек*,

 

Ryy, = 9,88

• ІО- 4

сек3,

 

RyPi = 3,95 • ІО-2

сек2.

 

Подставляя вычисленные значения Ъ, а\,

D[7(f)], D [7 1 (f)J,

R yy,, Ryy, в формулу (181), находим величину

дисперсии D[a(i)|

отклонения оси гироскопа от вертикали

 

 

D [а (f)] = 0,553

• ІО" 6

рад2,

 

откуда для среднего квадратического значения имеем

aa = \/D[a(f)] = 0,744 • І0~3рад = 2,7 угл. мин.

Из приведенного расчета следует, что оя = const, т. е. вслед­ ствие наличия маятниковой коррекции ошибки ГВ из-за отклоне­ ния его параметров от расчетного значения не растут со временем. Величина самой ошибки для авиационной ГВ незначительна. Этот вывод принципиально отличается от полученного в примере

5.1для ГН, у которого отсутствует коррекция в азимуте.

2.Гироскопические устройства, характеризующиеся линей­ ными дифференциальными уравнениями, коэффициенты которых являются случайными функциями. Приведем несколько примеров применения общих формул § 5.2 к исследованию точности ГУ, дви­ жение которых характеризуется линейными дифференциальными уравнениями с коэффициентами, являющимися случайными функ­ циями времени.

Пример 5.3. Определить математическое ожидание ошибки ФМ, плоскость качания которого совпадает с диаметральной пло­ скостью корабля, если орбитальное движение корабля можно не учитывать. Углы качки и рыскания корабля являются нормаль­ ными стационарными случайными функциями времени с равными нулю математическими ожиданиями, а корреляционные функции имеют вид (2. 13).

Дано,

что маятник

установлен в

диаметральной

плоскости

в точке с

координатами

(относительно

центра тяжести

корабля)

Смотрите также файлы