§ 5.3] |
ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ |
337 |
£=20 м, |
z= —10 м , постоянная времени маятника |
Т —Мп— |
=0,08 сек, относительный коэффициент затухания маятника [см.
формулу (3.48)] |
С= б/2\/Jmgl = 0,5, а параметры |
корреляцион |
ных функций угла дифферента ф (t), угла крена |
0 (t) и рыскания |
tp (£) соответственно равны |
|
|
|
|
|
|
о| = |
(1,5° ) 2 = |
6,7 • ІО- 4 |
рад2, |
ц1 = |
0,075 1 /сек, |
Хх = |
0,95 |
1 /сек, |
ojj = |
(4,8°)а = |
7,0 • ІО- 3 |
рад2, |
ц, = |
0,04 |
1 /сек, |
Х, = |
0,42 |
1/сек, |
а2 = |
(1,5° ) 2 — 6,7 • ІО- 4 |
рад2, |
[а3 = |
0,2 |
1/сек. |
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Согласно (3.57), учитывая, что |
в данном |
случае |
\с — ric = 'tc = |
0, |
рассматриваемое |
уравнение колебаний ФМ имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X + |
+ »2(* + -y ) x = |
|
|
|
|
|
|
|
= —К [—X (Ф2 + |
Ф2 + |
ФФ) + |
z (Ф+ фѲ+ 2срѲ)], |
(5.192) |
где, |
согласно |
(3.46), k1 = n2jg. |
|
|
|
|
|
В соответствии с обозначениями (128) имеем |
|
|
|
|
X(t) = x (ф2 + Ф2 + ФФ) — 2 |
(ф + фѲ+ |
2фѲ), |
(5.193) |
|
Y { t ) = x ф. |
|
|
|
|
|
|
(5.194) |
Учитывая эти обозначения, |
уравнение (192) |
может быть перепи |
сано в виде |
|
|
|
X+ 2^Х + п2 |
1 + — Y (0~| X — |
(0> |
(5.195) |
где случайные функции X (t) и Y (t) — горизонтальное и верти кальное ускорения точки подвеса ФМ соответственно.
Случайная функция X (t) выражается нелинейно через углы качки корабля, однако в большинстве прикладных задач ее можно представить в виде
X (t) яа X + Ху (і), |
(5.196) |
где £ = М[У (£)] — математическое ожидание функции X (t), учи тывающее линейные и нелинейные члены функции X (t)\ Х х (t) — случайная часть функции X (t), учитывающая лишь ее линейные слагаемые, причем М [Х1 (і)]=0.
Для определения х применим к (193) операцию нахождения математического ожидания
X — М [х (ф2 -f ф2 + фф) — z (ф + 0ф + 2фѲ)], |
(5.197) |
Легко показать, что (см. § 2.2)
М [,ф| = М [фѲ]= М [фѲ] = 0. |
(5.198) |
22 А. А. Свешников, С. С. Ривкин
338 УРАВНЕНИ Я ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [ГЛ. 5
По аналогии с формулами (2. 21) и (2. 30) имеем |
|
М[Фа] = |
D [ф (i)J = ftfD [ф («)], |
J |
Г)199) |
М [ф ф ] = |
(0 ) = — 6 fD IФ (0 1 - I |
|
Подставляя (198) и (199) в (197), получим |
|
|
* = м[*<Р2] = XD [ф (*)] = |
*({!* + Ц) D [ 9 (0] = |
хЩО [<Р (0], |
(5-200) |
т. е. отклонение математического ожидания случайной функции X (t) от нуля обусловлено рысканием корабля.
Для случайной функции Х г (t), согласно (196) и (193), имеем
Тогда, подставляя (200) и (201) в (196), получим
X (t) г« хЩО [<р (£)] — |
(5.202) |
Спектральная плотность Sx (ш) случайной функции X (() при учете (2 0 2 ) имеет вид
Sx((o) = z2S$ (w) = г2и)*5ф (и>). |
(5.203) |
Для математического ожидания и спектральной плотности слу чайной функции Y (t) на основании (194) имеем
'£ = |
М[У(*)] = |
0, |
(5.204) |
Sy (ш) = |
x2S§ (о>) = |
ж2(о45ф (со). |
(5.205) |
Для решения уравнения (195) воспользуемся методом малого параметра (§ 5.2), введя в уравнение (195) параметр х:
X + 2 <*Х + «2[ і + * у Y (t)]X = k1X (t) |
(5.206) |
Будем искать решение последнего уравнения в виде ряда по степе ням параметра х, который формально будем считать малым (хотя в окончательных формулах и положим х = 1 ):
X = Хо + хХі + **Ха + ■• • |
(5.207) |
Подставив (207) в уравнение (206), учитывая, что n2/g=k1 [g m . (3.46) и (3.53)], и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях полученного равенства, будем иметь систему уравнений для определения Хо> Хи Хг> • •
Хо + |
2Е^Хо + |
п2Хо = кіХ (0. |
|
Ь + |
2^Хі + |
«2Хі = —КУ (t) Хо (0 . |
(5.208) |
|
|
|
Ь + 2&*Xs + п\ ч = —K Y (t) Xi (t),
І 5.3] |
ПРИМ ЕРЫ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ГУ |
339 |
Разделим уравнения (208) на пъ и принимая во внимание обо |
значение (3.51), |
перепишем их |
в |
виде |
|
Т2Хо + XТ%о + Хо — кХ (t), |
(5.209) |
т% + 2^1'Ь + Xi = |
—kY (t) Хо (0. |
Т% + 2іТѣ + Хі = - к ¥ (t)Xl(t). . |
|
Применяя к (207) операцию нахождения математического ожи |
дания и полагая |
х = 1 , получим |
|
|
|
|
Х = У.о + Хі + |
%2 + • • • |
(5.210) |
Для нахождения Хо применим к |
первому уравнению |
системы |
(209) операцию нахождения математического ожидания |
|
|
|
|
— |
(5.211) |
откуда по окончании переходного процесса получим |
|
|
X0 = |
fcr. |
(5.212) |
Подставляя сюда (2 0 0 ), имеем |
|
|
|
|
Хо - кхЪ\ D [<р (0J = |
jb lD [? (*)]• |
(5.213) |
Для числовых значений примера получаем |
|
Ь\ = |a|-J- Х| = |
0,045 1/сек2, |
Хо = 0,0615 • ІО- 3 рад = |
О1,2, |
т. е. величина Хо мала.
С физической точки зрения Хо обусловлено действием на маят ник центробежной силы инерции, возникающей при рыскании корабля.
Для определения Хі на основании второго уравнения системы
(209) имеем
Т% + X T Xi + Xi = —Ш I Y (t) Xo (*)]• |
(5.214) |
Чтобы воспользоваться этим уравнением, необходимо знать выражение для случайной функции Хо (У). Вначале определим Хі приближенно, а затем укажем точное решение. В рассматриваемом случае короткопериодного физического маятника, когда его по стоянная времени Т мала, согласно первому уравнению системы (209) приближенно можем принять
Xo( t ) ^ k X ( t ) = ± . X ( t ) , |
(5.215) |
т. е. считать, как это обычно принято в прикладной гироскопии, что короткопериодный маятник мгновенно устанавливается по направлению кажущейся вертикали.
340 |
УРАВНЕНИЯ ГУ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ |
[ГЛ. 5 |
Подставляя в (215) выражение (202), получим |
|
|
|
Хо (0 |
к {хЩО [<р (t)] — гф (0). |
(5.216) |
Для |
математического |
ожидания Хі |
Н£> основании уравнения |
(214) по окончании переходного процесса имеем |
|
|
|
Х1 = |
_Ш [Г(г)хо(*)]- |
(5-217) |
Учитывая (194) |
и (216), |
|
|
|
|
М [У (t) Хо(01 = |
М (Ажф (t) [хЪ\ D [<р (*)] — 2 |
$ (*)]} = |
(5.218) |
|
|
= |
—fcrzD [ф (t)] |
— kxzb\D [ф (£)] |
Подставляя (218) в (217), находим |
|
|
|
|
Xi = |
-g-bJD [<!>(*)]• |
(5.219) |
Для условий примера |
|
|
|
|
|
|
Щ= pf + |
Xf = 0,9081 |
1/сек2. |
|
Согласно (219) находим
Хі = —1,147 - ІО“ 3 р а д = — 4'.
Таким образом, Хі значительно больше ХоОстановимся кратко на физическом смысле математического
ожидания Хі угла отклонения маятника от вертикали в условиях нерегулярной качки, именуемого иногда систематическим откло нением. Пользуясь (215), приближенное выражение (217) для Хі
можно представить в виде |
|
Хі = —*2М [Y (t)X («)] = —кШух (0), |
(5.220) |
где R yx ( і) — взаимная корреляционная функция вертикальных и горизонтальных ускорений точки подвеса маятника при качке корабля.
Следовательно, математическое ожидание ул случайной функ ции Хі (t), характеризующее среднее значение угла отклонения маятника от вертикали, вызывается корреляционной связью вер тикальных Y (t) и горизонтальных X (t) ускорений точки подвеса маятника для одного и того же момента времени.
Числовые расчеты показывают, что при вычислении математи ческого ожидания угла отклонения ФМ в условиях качки необ ходимо в правой части уравнения (192) удерживать слагаемые второго порядка малости и учитывать случайное слагаемое Y (t), характеризующее вертикальную составляющую ускорения точки подвеса.
Составляющая Хг математического ожидания X определяется аналогичным образом из третьего уравнения системы (209).
